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思想 04 运用转化与化归的思想方法解题
【目录】
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考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题..........................................................................................................3
考点二：运用“简单化原则”转化化归问题..........................................................................................................4
考点三：运用“直观化原则”转化化归问题..........................................................................................................6
考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题......................................................................................................7
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已
有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、 建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．
2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特
殊化、等价转化、不等转化等 方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解
答，达到解决复杂问题的目的．
3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，
有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为
直观的问题来解决．
4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．
一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很
少，此时从反面考虑较简单．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
2．（2023·全国·统考高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（2023·全国·统考高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱
与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
7．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
8．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
【例1】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式
，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐
角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则
的取值范围是 ．
【变式1-1】（2024·辽宁·高三校联考期末）抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇
池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两
点之间的距离，现取两点E，F，测得 公里， ， ， ，
则M，N两点之间的距离为 公里．【变式1-2】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校考阶段练习）在锐角三角形 中，内角 所对的边
满足 ，若 存在最大值，则实数 的取值范围是 ．
【变式1-3】（2024·江西·高三校联考开学考试）已知 中， ， ，则
面积的最大值是 .
考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
【例2】（2024·北京顺义·高三统考期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
称为“阳马”．现有一“阳马” ， 平面 ， ， 为底面 及其
内部的一个动点且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·上海普陀·统考一模）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 ，腰和上底
长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱 的所有棱长均为1，点
P、M、N分别为棱 、AB、 的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的
过程中，以下结论中正确的是（ ）A．直线 与直线CP可能相交 B．直线 与直线CP始终异面
C．直线 与直线CP可能垂直 D．直线 与直线BP不可能垂直
【变式2-3】（2024·广东深圳·高三校联考阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，
用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器
的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A． cm B．1cm C． cm D． cm
【变式2-4】（2024·广西·高三校联考阶段练习）如图，四棱柱 的底面是边长为2的正方
形，侧棱 平面ABCD，且 ，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段 上的一个动点（不含
端点），过P、E、F的平面记为 ，Q在 上且 ，则下列说法正确的个数是（ ）．
①三棱锥 的体积是定值；
②当直线 时， ；
③当 时，平面 截棱柱所得多边形的周长为 ；
④存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍．A．1 B．2 C．3 D．4
考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
【例3】（2024·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知函数 ，
又当 时， ，则关于x的不等式 的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·北京东城·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）设 ，数列 中 ，
， ，则（ ）
A．当 ， B．当 ，
C．当 ， D．当 ，
【变式3-3】（2024·北京·高三景山学校校考阶段练习）已知斐波那契数列 满足： ，
，若 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C．59 D．60考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【例4】（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考三模）设 ， ， ， ，则（ ）
A．在这四个数中至少存在两个数 ， ，满足
B．在这四个数中至少存在两个数 ， ，满足
C．在这四个数中至多存在两个数 ， ，满足
D．在这四个数中至多存在两个数 ， ，满足
【变式4-1】（2024·四川资阳·高三四川省资阳市雁江区伍隍中学校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，
圆C的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆
C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知圆 和两点 ，
，若圆C上至少存在一点P，使得 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·浙江·校联考三模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 长
的尺子，要能够量出长度为 到 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现
有一根 的尺子，要能够一次量出长度为 到 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个
刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
