文档内容
第三篇 思想方法篇
思想03 数形结合思想（讲）
考向 速览
方法技巧 典例分析
一．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，
由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带
来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易
出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选
择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别
是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
二．特别提醒
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这
就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；
（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图
象，由图求解；利用数形结合探究方程解的问题应注意两点
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．
三. 命题规律
1．数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点
（1）集合的运算及Venn图；
（2）函数及其图象；
（3）平面向量
（4）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；
（5）方程（多指二元方程）及方程的曲线；
（6）对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解；
（7）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），
做好知识的迁移与综合运用【与函数方程思想相结合】．
2．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图象和
性质；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．
01 研究图形的形状、位置关系、性质等
【核心提示】
1.函数图象与性质应用问题：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因
此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：
①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否
用函数图象解决问题；
②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；
③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；
④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．
2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折
(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．
【典例分析】
典例1.（河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四））函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
典例2.（2022·北京·统考模拟预测）已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）A． B． C． D．
典例3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆 的左焦点．若椭圆
C上存在两点A，B满足 ，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
02 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围
【核心提示】
含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中
含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的
意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时
还要考虑适当地运用数形结合思想.
【典例分析】
典例4.（全国·高考真题（文））已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例5.（2020·天津高考真题）已知函数 若函数 恰有
4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
典例6.（2015·全国·高考真题（理））设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使
得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
03 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系
【核心提示】
熟练掌握常见函数的图象以及函数图象的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下
左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．
【典例分析】
典例7.【多选题】（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
典例8.（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正实数 ，若 ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
典例9.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，若 为函数 的极大值点，
则（ ）
A． B． C． D．
04 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式
【核心提示】向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结
构的代数形式，如斜率、距离公式等．应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：
①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；
④根式——可考虑两点间的距离.
【典例分析】
典例10.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交
AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
典例11. （2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱ABC−A B C 中，AC⊥BC，AC=2√3，BC=2，
1 1 1
A A =2√7， 为线段 上动点，AP+PC 的最小值为______，当tan(∠PAB+∠PC B )最大时，
1 1 1 1
BP
=
______.
BP
1
典例12.（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ．
(1)证明：当 且 时， ；
(2)若存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数m的取值范围．
05 构建几何模型研究代数问题
【核心提示】
1.在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解
决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通
过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．
②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．
③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．
2.几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分
利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.
【典例分析】
典例13.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知平面向量 ， 满足 ， ，
的夹角为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
典例14.（2022·浙江新昌·高三期末）如图，正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面
上的动点，且 平面 .记 与平面 所成角为 ， 与 所成角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
典例15.（2022·全国·高三专题练习）求方程 的实根个数．
06 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值等问题
【核心提示】
1.在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型
并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：
①比值——可考虑直线的斜率；
②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；
④根式——可考虑两点间的距离.
2.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含
的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：
①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；
②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置
关系等进行分析与求解；
③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．
3.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进
行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：
①通过数形结合建立相应的关系式；
②通过代数形式转化为二元二次方程组的解 的问题进行讨论．
【典例分析】
典例16.（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知函数 ，且 ，
则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例17.（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知 ,且 ,i为虚数单位,则 的最大值是
_______．
典例18. （2023·吉林·统考二模）已知函数 ，点 、 是函数 图象上不同的两个
点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是___________.
07 构建方程模型或函数模型，结合其图象研究零点的范围与个数问题
【核心提示】
讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造
函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函
数图象的交点个数问题；fx
