思想03数形结合思想（讲）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第三篇 思想方法篇 思想03 数形结合思想（讲） 考向 速览 方法技巧 典例分析 一．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时， 由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带 来的负面效应． （2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易 出错． （3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选 择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别 是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 二．特别提醒 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这 就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图 象，由图求解；利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 （3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证． 三. 命题规律 1．数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点 （1）集合的运算及Venn图； （2）函数及其图象； （3）平面向量 （4）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （5）方程（多指二元方程）及方程的曲线； （6）对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解； （7）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点）， 做好知识的迁移与综合运用【与函数方程思想相结合】． 2．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图象和 性质；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等． 01 研究图形的形状、位置关系、性质等 【核心提示】 1.函数图象与性质应用问题：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因 此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点： ①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否 用函数图象解决问题； ②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象； ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化； ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论． 2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折 (关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系． 【典例分析】 典例1.（河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四））函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项 ；再利用特殊值即可排除选项 ，进而求解. 【详解】函数 的定义域为 ，且 ， 所以 是奇函数，图象关于原点对称，排除 选项， 只需研究 的图象，当 时， ，则 ，排除 选项. 故选： ． 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断 图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 利用函数值考察特征点，排除不合要求的图象．（5）应用导数研究函数的性质，考察图象升降的快慢、极值 点，发现图象差别.利用上述方法排除、筛选选项． 典例2.（2022·北京·统考模拟预测）已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解. 【详解】对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误； 对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误； 对于 ，当 时， ，所以 ，且 时， ， ；当 时， ，所以 ，且 时， ， ，故选项 正确； 对于 ，当 时， ，则 ，所以 ，故选项 错误， 故选： .典例3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆 的左焦点．若椭圆 C上存在两点A，B满足 ，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆C的右焦点为 ，连接 ．由椭圆的性质分析出以 为直径的圆与椭圆有公共点，得到 ，消去 ，即可求出离心率的取值范围. 【详解】设椭圆C的右焦点为 ，连接 ． 由椭圆的性质得， ， ，即椭圆上存在点A，满足 ，即以 为直径的圆与椭 圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为 ，所以只需 ，所以 ，即 ，所以椭圆C的离心率的取值 范围为 ． 故选：C 02 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围 【核心提示】 含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中 含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的 意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时 还要考虑适当地运用数形结合思想. 【典例分析】典例4.（全国·高考真题（文））已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导 数求出直线 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数 的图像，和函数 的图像. 由图像可知：函数 的图像是过原点的直线， 当直线介于 与 轴之间符合题意， 直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为 ， 求其导数可得 ，因为 ，故 ， 故直线 的斜率为 ， 故只需直线 的斜率 . 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.典例5.（2020·天津高考真题）已知函数 若函数 恰有 4个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根 即可， 令 ，即 与 的图象有 个不同交点. 因为 ， 当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意； 当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意； 当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ， 令 得 ，解得 （负值舍去），所以 . 综上， 的取值范围为 . 故选：D.典例6.（2015·全国·高考真题（理））设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使 得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可 得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围. 【详解】设 ， ， 由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当 时， ；当 时， . 所以，函数 的最小值为 . 又 ， . 直线 恒过定点 且斜率为 ， 故 且 ，解得 ，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 03 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系 【核心提示】 熟练掌握常见函数的图象以及函数图象的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下 左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系． 【典例分析】 典例7.【多选题】（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可. 【详解】令 、 ，则 、 ， 在同一坐标系中分别绘出函数 、 、 的图像， 因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ， 所以 ， ，解方程组 ， 因为函数 与 互为反函数， 所以由反函数性质知 、 关于 对称， 则 ， ，所以 ， 当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确. 故选：BC 【点睛】关键点睛：对于零点关系问题，往往把函数零点转化方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问 题，另外本题要注意函数 与函数 是反函数，故两个交点A、B关于点 中心对称. 典例8.（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正实数 ，若 ， ，则 的大小关系 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据已知关系式的特征可构造函数 ，利用导数可求得 单调性，并确定 的图象， 根据 ，结合图象可确定 的大小关系. 【详解】令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 又 ，当 时， 恒成立，可得 图象如下图所示， ， ， ； ， ， ； 综上所述： . 故选：D. 【点睛】关键点点睛；本题考查构造函数比较函数值大小的问题，解题关键是能够根据已知关系式的结构特征， 准确构造函数，将问题转化为函数值大小关系的比较问题，从而利用导数确定函数的单调性和图象来进行求解. 典例9.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，若 为函数 的极大值点， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】 若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 . 有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的. 当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 . 综上所述， 成立. 故选：D 04 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式 【核心提示】 向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结 构的代数形式，如斜率、距离公式等．应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： ①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离； ④根式——可考虑两点间的距离. 【典例分析】 典例10.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交 AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为 ____________． 【答案】1 【分析】 设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即可求出最 值. 【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ， ， ， 为边长为 的等边三角形， ， ， ， ， 所以当 时， 的最小值为 . 故答案为：1； . 典例11. （2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱ABC−A B C 中，AC⊥BC，AC=2√3，BC=2， 1 1 1 A A =2√7， 为线段 上动点，AP+PC 的最小值为______，当tan(∠PAB+∠PC B )最大时， 1 1 1 1 BP = ______. BP 14√7−2 −2+4√7 【答案】 ## 9 9 【解析】 【分析】 以 为轴，将四边形 旋转到与四边形ABB A 同在一个平面内，利用当 、 、C 三点共线时，可 1 1 1 求得AP+PC 的最小值；设BP=t(0≤t≤2√7)，则B P=2√7−t，利用基本不等式可求得 1 1 BP tan(∠PAB+∠PC B )，利用等号成立的条件求出t的值，即可求得 的值. 1 1 BP 1 【详解】 由已知条件知AB=√AC2+BC2=4， 以 为轴，将四边形 旋转到与四边形ABB A 同在一个平面内， 1 1 连接AC 交 于点T，此时 、 、C 三点共线距离最小，点T满足使AP+PC 最小， 1 1 1 易得AC =√ (2+4) 2+(2√7) 2=8， 1 设BP=t(0≤t≤2√7)，则B P=2√7−t， 1BP t 在Rt△ABP中，tan∠PAB= = ， AB 4 B P 2√7−t 在Rt△B C P中，tan∠PC B = 1 = ， 1 1 1 1 B C 2 1 1 t 2√7−t + tan∠PAB+tan∠PC B 4 2 所以，tan(∠PAB+∠PC B )= 1 1 = 1 1 1−tan∠PAB⋅tan∠PC B t(2√7−t) 1 1 1− 8 8√7−2t = ， t2−2√7t+8 令x=4√7−t，则2√7≤x≤4√7， 2x 2x2 2 f (x)= = = 令 (4√7−x) 2 −2√7(4√7−x)+8 x2+64−6√7x x+ 64 −6√7 x 2 1 8+3√7 ≤ = = =8+3√7 √ 64 8−3√7 (8−3√7)(8+3√7) . 2 x⋅ −6√7 x 当且仅当x=4√7−t=8时，即当t=4√7−8时，等号成立， BP 4√7−8 (2√7−4)(4+√7) 4√7−2 此时 = = = . BP 8−2√7 (4−√7)(4+√7) 9 1 4√7−2 故答案为： ； . 9 典例12.（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ． (1)证明：当 且 时， ； (2)若存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出函数 的大致图象，结合 且 ，及函数的单调性知， ，再结合函数的解析式化简及基本不等式可证明 ；（2）分 ， 或 三种情况分别讨论求解m的取值范围，最后综合讨论结 果可得答案. 【详解】（1）证明：函数 的图象可由 的图象向上平移1个单位， 然后保留x轴上交点以及其上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到， 其图象如图示： 由 且 知， ， ， ， 则由 得 ， 由于 ，（因为 ，故等号不成立）， 故 ，即 . （2）由题意存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ， 可知 ； 由 可知当 或 ，则必有 ，不合题意； 当 时， ，而 ，与 矛盾； ∴ 或 ， 当 时，由 是减函数知， ，即 ， ，得 ，不合题意，舍去； 当 时，由 是增函数知， ， 即 ， ，即 ， ， ∴ 是方程 的两个不相等实根，且这两根均大于1， ∴ 且 ， ，解得 ， ∴实数m的取值范围是 . 05 构建几何模型研究代数问题 【核心提示】 1.在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解 决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通 过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点： ①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题． ③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论． 2.几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分 利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论. 【典例分析】 典例13.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知平面向量 ， 满足 ， ， 的夹角为 ，若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设 ， ， ， ，利用数量积和模长的坐标表示求得 点的轨迹即可求 解.【详解】因为 ， ， 的夹角为 ， 所以 ， 不妨设 ， ， ，则 ， ， 则 ，解得 或 ， 设 ，由 得 在以 为圆心，1为半径的圆上， 或 所以 的最小值为 . 故选：C 典例14.（2022·浙江新昌·高三期末）如图，正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 上的动点，且 平面 .记 与平面 所成角为 ， 与 所成角为 ，则（ ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】 【分析】 利用作图，构造出 和 ，分别求 和 ，比较后，即可判断选项. 【详解】 如图，取 ， ， 的中点 ， ， ，连接 ， ， ， ， ， ，设棱长为2， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， ，同理 平面 ，，且 ， 所以平面 平面 ，所以点 在线段 上， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 或 为 ， ,当点 在 的中点时， 最小，此时 最大，最大值是 ，当点 与点 ， 重合时， 最大，此时 最小，最小值是 ，当点 在 的中点时， ，当点 与点 ， 重合时， 最小， , ， ， ， 所以 ， ， ， 所以 . 故选：D 典例15.（2022·全国·高三专题练习）求方程 的实根个数． 【答案】2 【分析】将方程根的个数转化为函数图象交点个数，利用数形结合求解即可． 【详解】方程 的实根个数就是函数 与 图象的交点的个数， 表示的 的上半部分， 在平面直角坐标系中画出函数 与 的图象，可知有2个交点， 故方程 的实根个数为2. 06 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值等问题 【核心提示】 1.在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型 并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有： ①比值——可考虑直线的斜率； ②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离； ④根式——可考虑两点间的距离. 2.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含 的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点： ①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等； ②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置 关系等进行分析与求解； ③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论． 3.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进 行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种： ①通过数形结合建立相应的关系式； ②通过代数形式转化为二元二次方程组的解 的问题进行讨论． 【典例分析】 典例16.（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知函数 ，且 ， 则当 时， 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 判断函数 的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线 和圆的位置关系，结合数形结合和 的几何意义即可得到结论. 【详解】 由题意可知， 的定义域为 ， 由 ，得 ， 所以 在 单调递增， ， 所以 为奇函数，有 ， ∴ ， 整理得 ， 时 即 的取值区域如下图阴影部分所示： ∴ 表示直线 在过图中阴影部分的点时斜率 ， 即问题转化为直线与阴影区域有交点时， 的取值范围， 当与半圆相切， 取最大值， 而此时圆心 到 的距离 ，得 ； 当交半圆于右端点 时， 取最小值为 ，所以 的取值范围 . 故选：A. 典例17.（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知 ,且 ,i为虚数单位,则 的最大值是 _______． 【答案】4 【分析】根据复数的几何意义可知:复数z表示以 为圆心的半径为1的圆C,而 表示圆C上的点到的距离,结合图形即可得 的最大值. 【详解】解:记 ,因为 , 即 ,所以复数z表示以 为圆心,半径为1的圆C, 而 ,表示圆C上的点到 的距离, 所以距离最大为圆心到 的距离再加上半径, 故 的最大值为 . 故答案为:4 典例18. （2023·吉林·统考二模）已知函数 ，点 、 是函数 图象上不同的两个 点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是___________. 【答案】 【分析】作出函数 的图形，求出过点过原点且与函数 的图象相切的直线的方程，以及函数 的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出 的取值范围. 【详解】当 时， ，则 ， 所以，函数 在 上为增函数； 当 时，由 可得 ，即 ， 作出函数 的图象如下图所示：设过原点且与函数 的图象相切的直线的方程为 ，设切点为 ， 所以，切线方程为 ， 将原点坐标代入切线方程可得 ，即 ， 构造函数 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在 上单调递增，且 ， 由 ，解得 ，所以， ， 而函数 的渐近线方程为 ， 设直线 与 的夹角为 ，设直线 的倾斜角为 ， 则 ， 结合图形可知， . 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数 的图象相切的直线的方程以及函 数 的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.07 构建方程模型或函数模型，结合其图象研究零点的范围与个数问题 【核心提示】 讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造 函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函 数图象的交点个数问题；fx0 ，解得 ，即 ； Δ=81−48m≤0 故选：C. f xmx  x23x2  ex 典例24.（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若函数 在R上单调递增，则实数m 的取值范围是______. [e,) 【答案】 fxm  x2x1  ex 0 m  x2x1  ex 【分析】求出函数的导数，结合题意可知 在R上恒成立，即 在R 上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可. f xmx  x23x2  ex 【详解】因为函数 在R上单调递增， fxm  x2x1  ex 0 故 在R上恒成立， m  x2x1  ex 即 在R上恒成立， g(x)  x2x1  ex g(x)  x2x2  ex 设 ，则 ， 当x<2或x1时，g(x)0，当2