文档内容
思想 04 运用转化与化归的思想方法解题
目 录
01 运用“熟悉化原则”转化化归问题.................................................................................................1
02 运用“简单化原则”转化化归问题.................................................................................................5
03 运用“直观化原则”转化化归问题.................................................................................................9
04 运用“正难则反原则”转化化归问题...........................................................................................13
01 运用“熟悉化原则”转化化归问题
1．（2024·广东清远·高三校考阶段练习）在 中， ， 于D，点E在
线段 上，点 关于直线 的对称点分别为 ，则 的面积的最大值为 .
【答案】
【解析】在 中， ,由正弦定理： 即 ，
则 ，所以 ，得 ，
由点 关于直线 的对称点分别为 可知 ，又 ，所以点 在以A为圆心 为半径的圆弧上运动（如图），
延长 交圆弧于点P,
当 运动至点P时, 的边 上的高最大，此时 ，
此时 的面积取得最大值为 ，
故答案为：
2．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）若 ，且 ，则 的最大值为
.
【答案】
【解析】由题意令 （ ），则
，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）设两个向量 和 ＝ ，其中 为实数.若 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵2 ＝ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得 ≤m≤2，
∴ ，又∵λ＝2m－2，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图， 是两个新建小区， 到公路 的垂
直距离分别为 ，且 ，中国移动决定在线段 两点之间找一个点P建立一
个信号塔（P不与 重合），当P对 两地的张角 越大时，信号的辐射范围越大．①当 为直角时， ；
②当 ，信号的辐射范围最大．
【答案】 1或2/2或1 /
【解析】设 ，
，
①当 时，
，
解得 或2，所以此时 或 ；
②当 时， ，
由题意，张角 要达到最大， ，
令 取负数时，
对应的是钝角， 时， ，
当且仅当 时取等，由正切函数单调性可知，
此时张角为 达到最大．
即 .
故答案为：1或2；5．（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数 ，若方程 在 上有两个
不相等的实数根 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
而 ，
所以当 时， ，
在[3,4]上单调递减，当 时 ,
∴在 上 , 上 ,
所以 在 上单调减， 上单调递增，
,
因为方程 在 上有两个不相等的实数根 ， ，
可知 .
由 得 ， ，
所以 ，因为 ，
所以设 ， ， ，
则 .
故答案为：
02 运用“简单化原则”转化化归问题
6．（2024·四川成都·统考模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，E为线段BD
中点，将△ABC沿AD折成大小为 的二面角，连接BC，形成四面体 ，若P是该四面体表面或内
部一点，则下列说法错误的是（ ）
A．点P落在三棱锥 内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点P在平面ACD上，且满足 ，则点P的轨迹长度为
D．若点P在平面ACD上，且满足 ，则线段PB长度为定值
【答案】D
【解析】如图示，由题意可知 底面BCD,由于E为线段BD中点，
故 ,
故P落在三棱锥 内部的概率为 ,故A正确；
若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上，
如图示，设CD的中点为F,AD的中点为G,连接EF,FG,EG,
则平面EFG 平面 ABC,
则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF,
由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，故 ,
则 ,故B正确；
若点P在平面ACD上，且满足 ，以D为原点，DC,DA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，则 ,设 ，则 ，
即 ，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧 （如图示），由
可得 ，则 ,
则点P的轨迹长度为 ,故C正确；
由题意可知 ,故 平面ADC,
故 ,由于P在圆弧 上，圆心为M,
故PD的长不是定值，如上图，当 位于N点时， ,
当 位于T点时， ,故线段PB长度不是定值，D错误，
故选：D
7．（2024·四川泸州·统考三模）已知三棱锥 的底面 为等腰直角三角形，其顶点P到底面
ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为
（ ）
A．6π B．30π
C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，设底面等腰直角三角形 的边长为 ，
三棱锥 的体积解得：
的外接圆半径为
球心 到底面 的距离为
，
又 顶点P到底面ABC的距离为3，
顶点 的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面 和截面圆之间时，
球心 到该截面圆的距离为 ，
截面圆的半径为 ，
顶点P的轨迹长度为 ；
当球心在底面 和截面圆同一侧时，
球心 到该截面圆的距离为 ，
截面圆的半径为 ，
顶点P的轨迹长度为 ；
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为
故选：D．
8．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知正三棱锥 的底面边长为 ，外接球表面积为 ，
，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】依题意， ，解得 ，
由 是正三角形可知：其外接圆半径为 ，
设点S到平面ABC的距离为h，故 ，
解得 或 ，
则 或 （舍去），
故 ，则 ,而 ，故 为等腰直角三角形， ，
故 为等腰直角三角形， ,则 ,
又 ,故 平面SCM，
取CB中点F，连接NF交CM于点O，则 ,则 平面SCM ,
故 平面SCM，则 ，
要求 最小，首先需PQ最小，此时可得 平面SCM，则 ；
再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中 位置，
当 共线且 时， 的最小值即为 的长，
由 为等腰直角三角形，故 ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
可得 ， ，
故选：B.
03 运用“直观化原则”转化化归问题
9．（2024·四川凉山·统考一模）已知 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由已知可知 ，
所以 .
故选：A
10．（2024·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）若 ， 是函数
的两个不同的零点，且 ， ， 这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关
于 的不等式 的解集为（ ）
A．{ 或 } B．{ 或 }
C．{ 或 } D．{ 或 }
【答案】C
【解析】依题意，由 ， 是函数 的两个不同的零点，
可知 ， 是一元二次方程 的两个不同的根，
由根据根与系数的关系，可得 ，
因为 ，所以 ，又因为 ， ， 这三个数可适当排序后成等比数列，
所以只有 为该等比数列的等比中项才满足题意，
即 ，
因为 ， ， 这三个数可适当排序后成等差数列，
所以只有 不能为该等差数列的中项，
当 为等差中项时，
根据等差中项的性质有 ，
当 为等差中项时，
根据等差中项的性质有 ，
综合 ，可得 ，
所以不等式 ，解得 或 .
故选：C
11．（2024·上海徐汇·高三上海中学校考期末）已知实数x，y，z满足 ，则下列
说法错误的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最大值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【解析】对于C，由 ，
整理得， ，可以看作关于 的一元二次方程，
所以 ，
即 ，可以看作关于 的一元二次不等式，所以 ，解得 ，
当 时， ， ，
所以x的最大值是 ，故C正确；
对于B，由 ，
即 ，
即 ，
令 ， ， ，则 ，
即 ，即 ，
由 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，
所以
即 ，即 ，
所以 ，
即 ，
即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
对于D，所以 的最大值是 ，故B正确；由 ，即 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最大值是 ，故D正确；
对于A，取 ， ， ，
则 ，
而 ，
又 ，
而 ，
所以 ，故A错误.
故选：A.
12．（2024·全国·高三对口高考）将正整数按如下规律排成一列： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，……，则第60个数对是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可知，其点列的排列规律是 的和从 开始，
依次是 逐渐增大，其中 也是依次增大，
当 时，只有 ，1个；
当 时，有 ，2个；
当 时，有 ，3个；
……
当 时，有 ，10个；
此时，共有 个，
所以，当 时，依次是： ……，
所以第 个数对为 .
故选：C.
04 运用“正难则反原则”转化化归问题
13．（2024·广西梧州·高三蒙山中学校考开学考试）5个正四面体，每个四面体各面上分别标有A，B，
C，D，同时掷出，连掷3次，则至少一次全部出现同一字母的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设“同时抛出一次全部都是同一数字”为事件 ，则 ，再分别表示“同时抛出一次
不都是同一数字”的概率以及抛出3次都不是同一数字的概率，最后求对立事件的概率.设“同时抛出一次
全部都是同一数字”为事件 ，则 ,
则“同时抛出一次不都是同一数字”的概率是 ,
那么抛出3次都不是同一数字的概率是 ，
则至少一次全部出现同一字母的概率为 .
故选：D
14．（2024·全国·高三专题练习）已知矩形 , , ,将 沿矩形的对角线 所在的
直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
B．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
C．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
【答案】A
【解析】如图所示：作 于 ， 于
翻折前 ，易知存在一个状态使 ，满足 ， ，
平面 ， 平面 ，故 正确 错误；
若 和 垂直， 平面 ， 平面 ，不成立，故 错误；
若 和 垂直， 故 平面 ， 平面 ， ，因为 ，故
不成立，故 错误；
故选：15．（2024·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直
线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为
__________．
【答案】
【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径
的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：
（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，
即3k2≤4k，∴0≤k≤ ，故可知参数k的最大值为 .
16．（2024·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统 ， ．当元件
A、B、C都正常工作时，系统N 正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统
1
N 正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 正常工作的概率为
2 1
___________，系统 正常工作的概率为___________．
【答案】 0.648 0.792
【解析】分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件 ， ，
．
因为事件A、B、C是相互独立的，系统N 正常工作的概率为
1．
系统 正常工作的概率
．
故答案为：0.648；0.792.
