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思想 04 运用转化与化归的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
2．（2020·全国·统考高考真题）设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互
不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
_________．
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为AC的
中点．(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
【方法技巧与总结】
将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已
有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、 建系等方
法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．
2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特
殊化、等价转化、不等转化等 方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解
答，达到解决复杂问题的目的．
3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，
有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为
直观的问题来解决．
4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．
一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很
少，此时从反面考虑较简单．
【核心考点】
核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
【典型例题】
例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，
且BD=1，E为AC的中点，AE= ，cosB= ，∠ADB= ．(1)求AD的长；
(2)求△ADE的面积．
例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC
是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点， ，则球O的表面积为____________ .
例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为
____________．
例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，
AB=3，BC=6，且 ，若M，N是线段BC上的动点，且 ，则 的最小值为
___________
例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，
， 是边长为2的正三角形， 分别是 ， 的中点， ，则球 的体积
为（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
【典型例题】
例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，
，AB=2，则AD长度的取值范围________.
例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥 中， 分别为 的中点，记三棱锥 的体积为 ， 的体积为 ，则 ____________
例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，
PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么点P到平面ABC的距离为___________.
例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设 ， ， 为正数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
【典型例题】
例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
的图象如图所示，那么满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为
，向量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2 D．
例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，
使得 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形 , , ,将 沿矩形的对角线 所在的
直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
B．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
C．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，
若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为
__________．
例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K， ， 三类不同的
元件连接成一个系统.当K正常工作且 ， 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K， ， 正
常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统 ， ．当元件
A、B、C都正常工作时，系统N 正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统
1
N 正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 正常工作的概率为
2 1
___________，系统 正常工作的概率为___________．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知 满足 ，若存在实数，使得不等式 成立，则实数k的最小值为（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，
是椭圆 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则
椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数 的最大值为M，最小值
为m，则 等于（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列 是公比不等于 的等比数列，若数列 ， ，
的前2023项的和分别为 ， ，9，则实数 的值（ ）
A．只有1个 B．只有2个 C．无法确定有几个 D．不存在
5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（ ）
①已知点 ，则 外接圆的方程为 ；
②已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为 ；
③已知点 在圆 上， ，且点 满足 ，则点 的轨迹方程为
.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，
且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 在
内的概率是 ，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是
（ ）A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知M为圆C： 上的动点，P为直线l： 上的
动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数 ， 图像一个
最高点是 ，距离点A最近的对称中心坐标为 ，则下列说法正确的有( )
A． 的值是6
B． 时，函数 单调递增
C． 时函数 图像的一条对称轴
D． 的图像向左平移 个单位后得到 图像，若 是偶函数，则 的最小值是
10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数 ，若过点 （其中 是
整数）可作曲线 的三条切线，则 的所有可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点A
是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．椭圆C的离心率为
C．存在点A使得 D． 面积的最大值为12
12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
① ；② ， ，当 时，都有 ；③ ，下列选
项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ， D． ，使得
三、填空题
13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥 中，底面边长与侧棱长均为 ，点 ， 分别是棱， 上的点，且 ， ，则 的长为______．
14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数 的图像在 上恰好有一个点的纵坐标为 ，
则实数 的值可以是__________（写出一个满足题意 的值即可）．
15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R的函数 则关于
t的不等式 的解集为________.
16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点 可以作两条直线与曲线 相切，则实
数a的取值范围是______．
17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一点，点
坐标为 ，则 的最大值为________．
