文档内容
专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 勾股定理的证明方法
题型二 以弦图为背景的计算题
题型三 用勾股定理构造图形解决问题
题型四 用勾股定理解三角形
题型五 勾股定理与折叠问题
题型六 求最短路径问题
题型七 勾股定理的逆定理求解
题型八 勾股定理逆定理的实际应用
题型九 勾股定理中的新定义问题
题型十 勾股定理的综合问题
【经典例题一 勾股定理的证明方法】
1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：人教版八
年级上册的数学教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方
公式： （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，
也可以用图形关系解决代数问题．
(1)观察图2，请直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______．
(2)如图3，这是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角
三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的结论．请写出该结
论，并写出推导过程．
(3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图4，其阴影部分的面积为
22；将B放在A的内部得到图5，其阴影部分（正方形）的面积为9．则正方形A，B的面积之和为______．2．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．在 中， ，若 ， ， ，请你利用这个图形说明
．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按如图
2所示的方式放置， ， ， ， ，连接 ， ，用
a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从
而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
3．（2023上·福建宁德·八年级统考期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（ ）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验
证勾股定理吗？(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（ ， ，
（ ）， ）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在
边上，连接 ， ）
解：用两种方法计算四边形 的面积，
方法1：四边形 的面积 _______，
方法2：四边形 的面积 _______，
因为这两种方法都表示四边形 的面积，可得等式：_______．
化简可得： ．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图
形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
4．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该
定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明．
5．（2024上·江苏镇江·八年级统考期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已
知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理： ，得 ，则
，得到： ．
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知 的三边长分别为 ，如何计算 的面积？据记
载，古人是这样计算的：作 边上的高 ．以 的长为斜边和直角边作 （如图3），其
中 ．
(1)用古人的方法计算 的值，完成下面的填空：
=[（__________） （__________） ]-[（__________） -（__________） ]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成 面积的计算过程；
(3)你还有其他计算 的面积的方法吗？写出解答过程．【经典例题二 以弦图为背景的计算题】
6．（2024下·全国·八年级课堂例题）如图是“赵爽弦图”，其中 、 、 和 是四个
全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理
设 ，取 ．
(1)正方形 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
(2)求 的值．
7．（2024上·广西南宁·八年级统考期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量
用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的
方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图 ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示
图中大正方形的面积．
方法 ： ______；方法 ： ______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
(2)如图 ，大正方形是由四个边长分别为 的直角三角形（ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两
种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 之间的数量关系；(3)在（ ）的条件下，若 ，求斜边 的值．
8．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图1，在 中， ， ， ，
．将 绕点O依次旋转 、 和 构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵
爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年
在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用图1证明勾股定理；
(2)请利用图1说明 ，并说明等号成立的条件；
(3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形 中， ， ．若
，则这个四边形的最大面积为__________．
9．（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）综合与实践
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》
中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边
为c．(1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出 ， ， 满足的关系：
．
(2)如图4，以 的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断 ， ， 的关系并证明．
(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为 ， ，
直接写出该飞镖状图案的面积．
10．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理；
(2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这
三个图形中面积关系满足 的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为 ，请判断 的关系并证明．
【经典例题三 用勾股定理构造图形解决问题】
11．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）在 中， ，且 ．
(1)当 是锐角三角形时，小明猜想： ．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点 作 ，垂足为 ．设 ．
∵在 中， ，
在 中， ① ，
∴ ① ．
化简得， ．
② ．
其中，①是______；②是______．
(2)如图②，当 是钝角三角形时，猜想 与 之间的关系并证明．12．（2023上·四川雅安·八年级四川省名山中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充
满着魅力．
【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作
两个点）， ， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为
______千米．
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，
使得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最
小值为多少？画图并写出解题过程．
13．（2023上·江西南昌·九年级校联考开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形
少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之
间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
（1）【提出问题】已知 ，求 的最小值
（2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】
①如图，我们可以构造边长为1的正方形 ，P为 边上的动点．设 ，则 ．则
线段__________ 线段__________；
②在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求 的最大值．
14．（2023下·广东广州·八年级校考期中）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然， ， ．请
用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，
可得到勾股定理： __________________， __________________；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点
P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 的最小值（ ）．15．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为
5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设
计了两条路线．
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示：
这路线一的长度为 ；则 ；
路线2：高 底面直径BC，如图（1）所示：
设路线2的长度为 ：则 ；
为比较 和 的大小，我们采用“作差法”：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
小明认为应选择路线2较短．
(1)问题类比：
小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出 与 的大小；
(2)问题拓展：
请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 时，高为 ，蚂蚁从A点出发沿圆柱表
面爬行到点C，当 满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．
(3)问题解决：
如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两
条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）
【经典例题四 用勾股定理解三角形】
16．（2024上·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，已知 ，分别以 为边，在 外侧作等
边 和等边 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)当 时，求证： ．
(3)当 ， 时，求 与 的面积和．
17．（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）如图所示，在 中， 是 边的中点，
连接 ．把 沿 翻折，得到 ， 与 交于 ，连接 ．若 ，
求点 到 的距离．18．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）在 中， ，点P为线段 上任意一点（P与B，
C不重合），连接 ．
(1)若 ， ，
①求 的最小值．
②当 时，求 的长．
(2)若 ， ，请用含m，n的代数式表示 ，并说明理由．
19．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，且
，过点D作 于点E．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
20．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）在 中， ， ， ．
(1)若 ，则a，b，c满足的数量关系为 ；
(2)若 为钝角三角形， ， ，直接写出c的取值范围；
(3)如图，若 为锐角三角形，c为最长边．求证 ．
【经典例题五 勾股定理与折叠问题】
21．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）已知 ，且 ，把 和 拼
成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若 ， ．
(1)求 的长；(2)将 沿 折叠，点B落在点F处，延长 与 相交于点G，求 的长．
22．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落
在点 处， 交 于点 ，重合部分是 ， ，点 是对角线 上一点， 于点 ，
于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的值；
(3)若 ．求 的面积．
23．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
24．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在Rt 中， ，点 为 上一点．
(1)如图①，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，若 ，则 的长为______；
(2)如图②，Rt 中， ，将 折叠，使点 与 的中点 重合，折痕为 ，求
线段 的长；
(3)如图③，若 ，点 为 边上一点，连接 ，且 ，将 沿 折叠，当点
恰好落在 边上时，求线段 的长；
(4)如图④，若 ，点 为 的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点 恰好落在
边的中线 上时，则 ______是三角形，请说明理由．
25．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）在长方形 中， ， ，点 是射线 上一
个动点，连接 并延长交射线 于点 ，将 沿直线 翻折到 ，延长 与直线 交于
点 ．(1)求证： ；
(2)当点 是边 的中点时，求 的长；
(3)当 时，直接写出 的长．
【经典例题六 求最短路径问题】
26．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个
长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路
径，依据是 ．
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯
的宽 ，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点 处出发，翻越木块后到达点
处需要走的最短路程．
27．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作 ，
，连接AC，EC.(1)当点C满足什么条件时， 的值最小？
(2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式 的最小值.
28．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
方法探究
（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据
“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应
的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______ ．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A开始，绕侧
面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为 ，高为 ，杯底厚 ．在玻璃杯外壁距杯口 的点A
处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最
短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
29．（2023上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）对于平面直角坐标系 中的图形G和图形G上的
任意点 ，给出如下定义：将点 平移到 称为将点P进行“t型平移”，点
P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型
平移”．
例如，将点 平移到 称为将点P进行“1型平移”，将点 平移到
称为将点P进行“ 型平移”．
已知点 和点 ．(1)将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为 ．
(2)①将线段 进行“ 型平移”后得到线段 ，点 ， ， 中，在线段 上的点
是 ．
②若线段 进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ．
(3)已知点 ，点M是线段 上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为
，当t的取值范围是 时， 的最小值保持不变，最小值是 ．
30．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的 取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高 为12厘米，底面直径 为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 厘米.将
圆柱沿着 将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时
最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线
（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两
种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b
（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r
与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?
【经典例题七 勾股定理的逆定理求解】
31．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方
式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目
中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例：已知 ，求a、b的值．
解： （第一步）
（第二步）（第三步）
（第四步）
(1)以上解答中从第______步出现错误，请写出正确解答的全部过程；
(2)在 中， ， ， ．
①若 是等腰三角形，且满足 ，试求 的周长；
②若 ，且 ，求 中最大边上的高．
32．（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图1，在 中， ， ，点 为
内任意一动点，
(1)当 时，求 的度数；
(2)当点 满足 时，
①求 的度数；
②如图2，取 的中点 ，连接 ，试求 ， ， 之间的数量关系并说明理由．33．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．连接 ， ，
延长 到点E，使得 ．
(1)如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关系．并
证明．
34．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
，
(1)求证： ；
(2)求证： ， ；
(3)求证： （提示：尝试用两种不同的方法表示梯形 的面积）；35．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）【综合与实践】
建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项
工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子 上打13个等距的绳结，做成如图①所示
的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案：
小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直 、 分别绕绳
结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出 ，则 ．
小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将 中点O固定，拉直 绕点O旋转一定
的角度（小于 ）到 的位置，画出 ，则 ．
问题解决：
(1)填空：在小歌的方案中， 依据的一个数学定理是 ；
(2)根据小智的方案，证明： ；
(3)工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档
与竖档 是否垂直．画出简图，并说明理由．【经典例题八 勾股定理逆定理的实际应用】
36．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方
针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给
八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为 ， ， 时，一边的小明很快给出这块试验
基地的面积．你求出的面积为______ ．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为 ， ， 如图），你能帮助他们求
出面积吗？
37．（2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行
小范围绿化，要在一块如图所示的 地块内进行绿化改造，点D为 内一点， ，
米， 米， 米， 米．
(1)若将原来的 路段由水泥路改造成一条鹅卵石路，改造成本为每米 元，请问改造此路需要花费多少
元？
(2)若需要在阴影部分区域种植草皮，种植草皮的费用是每平方米 元，那么在阴影部分区域种植草皮共
需投入多少元？38．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．
在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬
纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ）和一个边长为 的正方形，请
你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
(2)一个零件的形状如图③，按规定这个零件中 和 都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸
（单位： ）如图④所示，这个零件符合要求吗？
39．（2023上·山东威海·七年级威海经济技术开发区皇冠中学校联考期中）台风是一种自然灾害，它以台
风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向
由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ，
，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．试问：
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为 千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 处时，
海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？40．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼： 栋， 栋， 栋， 栋， 处为小区入口．为方便小区居民传递爱
心，物业管理处准备在小区的一条主干道 上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心
衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活
动．
任务一实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），
进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道 与 交于点 ， ．小组成员又借助电子角度
仪测得 ．
道路 长度（米）
40
30
30
18
32
25任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路 的长；
(2)道路 __________米；
(3)任务三方案设计
①根据以上探究，请你在主干道 上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点 表示），并画出需要
增设的小路 ；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号）
【经典例题九 勾股定理中的新定义问题】
41．（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）定义：若 是 的三边，且
，则称 为“方倍三角形”．
(1)若 是“方倍三角形”，且斜边AB= ，则该三角形的面积为____．
(2)如图， 是“方倍三角形”，且 ，求证： 为等边三角形．
(3)如图， 中， ， ， 是 边上一点，将 沿 进行折叠，点 落在
点 处，连接 ， ，若 为“方倍三角形”，且 ，求 的长．42．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）【问题背景】教材阅读材料告诉我们，全等三角形的三个基本
事实是进行演绎推理的重要依据．它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形
定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换（轴对称、平移与旋转）而相
互重合．
利用动态的全等三角形定义，上图中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是______，可以
看作通过平移变换得到的全等的是______，可以看作通过旋转变换得到的全等的是______．（填序号即
可）
【问题呈现】在 中， 为边 上一点（不与 重合），连接 ，过点
作 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 延长线于点 ，点 为 中点，连接
．
（1）求证： ；（2）若将（1）中两个全等三角形看作动态变化的两个三角形，那么其中一个三角形可以看作是由另一个
三角形通过图形的______基本变换而相互重合（填：“轴对称”、“平移”或“旋转”），简述变换的主
要过程______（包含变换的基本要素）；
（3）直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】问题背景：③，②，①；问题呈现：（1）见解析；（2）旋转， 绕着点 顺时针旋转
与
43．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角
形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三
角形．
(1)如图1，在仁智三角形 中， ， 为该三角形的仁智线， ， ，则 的度
数为______．
(2)如图2， 为等腰直角三角形， ，F是斜边 延长线上一点，连接 ，以 为直角
边作等腰直角三角形 （点A，F，E按顺时针排列）， ， 交 于点D，连接 ．
当 时，求证： 是 的仁智线．
(3)如图3， 中， ， ．若 是仁智三角形，且 为仁智线，请同学们把
图形补充完整，并求 的面积．
44．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角
形．(1)【初步尝试】如图1，已知 中， ， ， ，P为 上一点，当
__________时， 与 为积等三角形；
(2)【理解运用】如图2， 与 为积等三角形，若 ， ，且线段 的长度为正整数，
求 的长；
(3)【综合应用】如图3，已知 和 为两个等腰直角三角形，其中 ， ，
，F为 中点．请根据上述条件，回答以下问题．
① 的度数为__________°．
②试探究线段 与 的数量关系，并写出解答过程．
45．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）定义：有一条中线和一条角平分线互相垂直的三角形称为“垂
美三角形”．
(1)如图， 中，角平分线 和中线 相交于点 ， ．
①求证： 是垂美三角形；
②直接写出边 与 的数量关系：______．
(2)在（1）的条件下，若垂美三角形 是直角三角形，求 的值．
【经典例题十 勾股定理的综合问题】46．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，若E是 延长
线上一点，连接 ，以 为腰作等腰直角三角形 ，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)试探究 、 和 之间的数量关系，并说明理由；
(3)把点E是 延长线上一点改成点E是直线 上一点，其它条件不变，连接 ，若 ，
，直接写出 的值．
47．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）在 中， ．
(1)特例证明：如图1，点D，E分别在线段 上， ，求证： ；
(2)探索发现：将图1中的 绕点C逆时针旋转 （ ）到图2位置，（1）中的结论还成立
吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，点D在 内部，当 时，若 ， ， ，求线段
的长（直接写出答案）．
48．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在 中， ，是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒 个单位的速度向右运动，设点 的运
动时间为 ，连接 ．
(1)当 秒时，求 的面积；
(2)若 平分 ，求 的值；
(3)过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为何值时，能使 ？
49．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，在等边 中，线段 为 边上的高线．动点
在线段 （点 与点 重合除外）上时，以 为一边且在 的下方作等边 ，连接 ．
(1)若 ，则 ＝ 度， ＝ 度；
(2)判断 与 是否相等，请说明理由；
(3)如图2，若 ， 、 两点在直线 上,且满足 ，试求 的长．
50．（2024上·浙江金华·八年级校考阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图 ，在四边形中， ，垂足为 ，若 ， ， ，则 的长为 ．
他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 ，垂足为 ，那么在四
边形 中有四个直角三角形，利用勾股定理可得 ，
， ”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 与
之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．
(1)请你直接写出 的长．
(2)如图 ，分别在 的边 和边 上向外作等腰 和等腰 ，连接 ．
若 ， ，连接 ，交 于点 ，当 时，求 的长；
如图 ，若 ， ， ，当 时，求 的面积．
