文档文本内容
专题 04 勾股定理 50 道压轴题型专训（10 大题型）
题型一 勾股定理的证明方法压轴
题型二 用勾股定理解三角形压轴
题型三 网格中的勾股定理压轴
题型四 勾股定理与折叠问题
题型五 勾股定理的逆定理压轴
题型六 勾股定理的应用
题型七 勾股定理中的最短路径
题型八 勾股定理的最值问题
题型九 用勾股定理解决等腰三角形存在性问题
题型十 勾股定理综合
【经典例题一 勾股定理的证明方法压轴】
1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之
间的面积转化证明勾股定理 ．如图2，小明连结 后发现 ．
（1） ；
（2）当四边形 的面积为22时，正方形 的面积为 ．
2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，
如图，设直角三角形的边长分别是 ，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若 ，四边形 与 面积之和为
13.5，则正方形 的面积为 .
3．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究
【问题背景】
勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两
张全等的直角三角形纸片 ，按照图1的方式摆放，点 与点 重合，点 ， ， ， 在
一条直线上，连接 ，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于 ， ， 之间的等量关系，从而验证
勾股定理．
【变式探究】
（1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点 与点 重合，点 在 边上，连接
， ，线段 与 交于点 ．
①图2中线段 与 的位置关系为 ；
②智慧小组发现四边形 的面积可以表示为以 或 为公共底边的两个三角形的面积之和，也可
表示为梯形 与 的面积之差．请按照这样的思路利用四边形 的面积验证勾股定理；
【拓展应用】
通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度．
（2）如图3，在 中， ， 于点 ， ， ．
①请计算线段 的长；②在图3的基础上，取 边上的点 ，连接 ，使得 ，得到图4．点 是 边上的一个动点，
过点 作 和 的垂线，垂足分别为点 ， ．若 ，请直接写出 的长．
4．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的
拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点D在
边上，顶点B、F重合，连接 ．设 交于点G，若 ， ，
， ．请你回答以下问题：
(1)填空： ， ；
(2)请用两种方法计算四边形 的面积，并以此为基础证明勾股定理．
5．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，
人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，
下面试举三例，一起领略其魅力．
(1)【验证】图1是由两个边长分别为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼成，
试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理；
(2)【应用】如图2， 和 都是等边三角形，点 在 内部，连接 、 、 ． 若
， ， ，求 的长；
(3)【提升】如图，在一般三角形 中， ， ， ， 是 边的中线． 在一般三角形中，如何用 、 、 表示 ．
【经典例题二 用勾股定理解三角形压轴】
6．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在 中， ， ， ，点 ， ，
分别在边 ， ， 上，连结 ， ．已知点 和点 关于直线 对称．若 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·全国·期中）如图， ，连接 ，C是 上一点，
，连接 交 于D点，若 ，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 是 上一点，将
沿 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上．已知 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形 中，对角线 ，F为 上一点，连
接 交 于点E， ，已知 ，且 ．（1）则 的长是 ；
（2）若 ，且 ，则 ．
10．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活
动．
如图①，已知，在 中， ， ， ，点D是边 上一动点， 于点
(1)【操作判断】如图②，将 沿直线 折叠，点C恰好与点A重合，则 与 的数量关系是
______；
(2)【问题解决】在（1）的条件下，求 的长；
(3)【问题探究】将 沿直线 折叠，点C落在边 上的点F处，连接 ，当 是等边三角
形时，直接写出 的面积．
【经典例题三 网格中的勾股定理压轴】
11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的
广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【已有认识】由于 由此得到在数轴上寻找 所表示的点的方法，如图1．（1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内，
①画出顶点在格点的 ，其中 ，
②直接写出 的面积=___________，点C到 边的距离为___________．
（2）【拓展运用】①在图3中，设 轴， 轴， 于点C，则
___________ ___________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，
②图4中，平面直角坐标系中有两点 为x轴上任一点，则 的最小值为
___________；
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最大值为：
___________．
12．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示．(1)如图 中，点 是线段 上一点，先画出 的高 ；再在 上画出一点 ，使 ．
(2)如图 中，先在边 上画出一点 ，使 ；再在 内画出一点 ，使 ．
13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】
(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段 的长度
为 ，线段 的长度为 ．
①请结合图1，试说明 ；
②在图2中，请尝试构造三角形，比较 与 的大小；
③在图3中，请尝试构造四边形，比较 与 的大小；
【迁移运用】
(2)如图4，线段 ， 为线段 上的任意一点，设线段 ．则 是否有最
小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点 的位置；如果没有，请说
明理由．
14．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画图（画图过程用虚线，画图结
果用实线）
图1 图2
(1) 的周长为_________；
(2)如图1中画 的 边上的高 ；
(3)如图1中画 的角平分线 ；
(4)作线段 使 且 （ 不与 重合），在图2中画出点F．
15．（24-25八年级上·北京昌平·期末）【阅读学习】
如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为
该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、 ， ，
， ，可知 ，所以点 就是 的勾股点．
(1)如图2，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点在格点（小正方形的顶点）上，， ， 三个点中，___________是 的勾股点；
(2)如图3， 为等边三角形，过点 作 的垂线，点D在该垂线上，连接 ，以 为边在其右侧
作等边 ，连接 ， ．
①求证： ；
②判断点 是否为 的勾股点，并说明理由；
③若 ， ，直接写出等边 的边长：_____________．
【经典例题四 勾股定理与折叠问题】
16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，点D是
的中点，将 沿 翻折得到 ，连接 ， ，则线段 的长等于（ ）
A． B． C． D．2
17．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ， ， ，以
为边在 上方作一个等边 ，将四边形 折叠，使 点与 点重合，折痕为 ，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在 中， ， ， ，点D是 边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作 交 于点E，将 沿直线 翻折，点
B落在射线 上的点F处，当 为直角三角形时， 的长为 ．
19．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片 折叠，使点C与点A重合，点D落在点
处，折痕为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
20．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形 ， ，点P是射线 上的
动点，连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形．
(1)当点Q落在边 上时， _____；
(2)当直线 经过点D时，求 的长；
(3)如图2，点M是 的中点，连接 ．
① 的最小值为_____；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长．【经典例题五 勾股定理的逆定理压轴】
21．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图： 中， ， ，中线 ，则 长为
（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在 中．点 是 边上的一点．连接 并延长到点
，使得 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
23．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图， 中， ， ，垂足为 ，在下
列说法中：
① 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
② 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
③以 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形；
④ ， ， 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形；
其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号）24．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图 ， 均为正方形．
问题：（ ）若图 中的 为直角三角形， 的面积为 ， 的面积为 ，则 的面积为________；
（ ）若 的面积为 ， 的面积为 ，同时 的面积为 ，则 为________三角形．
探究二：图形变化：
（ ）如图 ，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什
么关系，并说说你的理由；
（ ）如图 ，如果直角三角形两直角边长分别为 和 ，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上
面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
25．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）数形结合是数学中的一种重要思想方法，它将抽象的数学语言
和直观的几何图形结合起来，通过“以数解形”或“以形助数”的方式，使复杂问题简单化，抽象问题具
体化．
（1）如图，在 中， ，过 作 ， ， ，则 ．
画一画：以数解形
（2）如图，线段 ，过点 作直线 ，用直尺和圆规在直线 上找一点 ，使得 ，
要求使用两种不同方法．（不写作法，保留作图痕迹）探究应用：
（3）如图，在 中， ， ，用直尺和圆规在线段 上找一点 ，使得 到
的距离等于 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【经典例题六 勾股定理的应用】
26．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校
国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗
缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．
将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离
旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为
（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
27．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C
构成等腰三角形 ．图甲是梯子两脚架夹角A为 时的示意图，图乙是由图甲当点 与点 的
距离缩小 ，而点A与地面的距离增大 时的示意图，若点A与地面的距离为 时，则此时点
与点 的距离是 ．28．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架 米长的梯子 斜靠在竖直的墙 上，这时B到墙
底端C的距离为 米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于 位置，恰与原位置 关于墙
角 的角平分线所在的直线轴对称．
29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严
重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从 市向西北方向移动到 市的
大致路线，A是某个大型农场，且 ．若A， 之间相距 ，A， 之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为 ，则台风中心的移动速度是多少？
30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年
来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，
．请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积
之间的关系，可得到勾股定理：
______，
______，
______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理 ．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
【经典例题七 勾股定理中的最短路径】
31．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为 ，
底面周长为 ，在盒子外壁离上沿 的点 处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部 的点 处有
一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点 处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）A． B． C． D．
32．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点
为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如
图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正
方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上
爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是
cm
34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，
人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个
新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S ABCD＝ ，
梯形
S EBC＝ ，
△
S AECD＝ ，
四边形
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使
得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式 的最小值＝ ．
35．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面
上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【经典例题八 勾股定理的最值问题】
36．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知
（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使 最小？将下面解决问题的思
路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点 ，作点A关于l的对
称点 ， 与直线l相交于点C．连接 ，易知 ，从而有 ．这样，在
中，根据“ ”可知 与l的交点P即为所求．
解决问题
（2）如图②，在 中， ，E，F为 上的两个动点，且 ，求
的最小值．
变式研究
（3）如图③，在 中， ，点D，E分别为 上的动点，且 ，
请直接写出 的最小值．
37．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）问题提出(1)如图①，在 中， ， ， ．若点 是边 上一点，则 的最小值为 ；
问题探究
(2)如图②，在 中， ， ，点 是 的中点．若点 是边 上一点，试求
的最小值；
问题解决
(3)某市一湿地公园内有一条四边形 型环湖路，如图③所示．已知 米， 米，
， ， ．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一
条由 连接而成的步行景观道，其中，点 分别在边 ， 上．为了节省成本，要使所
修的这条步行景观道最短，即 的值最小，求此时 ， 的长．（路面宽度忽略不计）
38．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，动点
从点 出发，以每秒 的速度向终点 运动，设运动的时间为 秒．
(1)当 为何值时，线段 把 的面积平分？
(2)当 为何值时， 为等腰三角形？
(3)点 在运动过程中，在 边上是否存在一点 使得 最小？若存在，请直接写出这个最小值，
若不存在，请说明理由．
39．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在 内部有一点 ， 是正三角形，连接、 、 ，将线段 绕 顺时针反向旋转 至 ，
①求证： ；
②调整P点的位置，使 最小，求此时 和 的大小.
（2）如图在直角三角形 中， ， ，在其内部任取一点 ，求 的最小
值.
40．（2022·山东德州·一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张
角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在
△ABC内部，此时 ， 的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到 处，连接 ，此时
，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出
______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使 ，
，求证： ．(3)如图4，在直角三角形ABC中 ， ， ， ，点P为直角三角形ABC的费马
点，连接AP，BP，CP，请直接写出 的值．
【经典例题九 用勾股定理解决等腰三角形存在性问题】
41．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在 中， ， ， ，若点
P从点C出发，以每秒 的速度沿折线 方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运
动时间为 秒（ ）．
(1)若P点在边 上且满足 ，则此时 ________；
(2)若P点恰好在 的角平分线上，求此时 的值；
(3)在P点运动的过程中，当 为何值时， 是等腰三角形，直接写出 的值．
42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图， 中， ， ， ，若动点M从
点C出发，沿着 的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒 ，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝ 时， 平分 ；
(2)求t为何值时， 为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着 的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒 ，若M、N两点
同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线 把 的周长分成
相等的两部分？
43．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图， ，垂足为 ，且 ， ．点 从 点
沿射线 向右以 个单位/秒的速度匀速运动，同时点 从 点沿线段 向点 以 个单位/秒的速度匀
速运动，当点 到达终点 时，点 也立即停止运动，连接 、 ，设点 运动的时间为 秒．(1)当 为何值时， 是 的中线？
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由；
(3)是否存在 的值，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理
由．
44．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为 ， ，斜边为
）
(1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出 结论吗？如果能，请写出证
明过程；
(2)当 ， 时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边
， 分别与 轴、 轴重合（如图3中 的位置）．点 为线段 上一点，将 沿着直线
翻折，点 恰好落在 轴上的 处，
请写出 、 两点的坐标；
若 为等腰三角形，点 在 轴上，请求出符合条件的所有点 的坐标．
45．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图， 中， ， ， ，若点 从
点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒 ．(1)若点 在 上，且满足 ，则此时 的值；
(2)若点 恰好在 的角平分线上，求此时 的值；
(3)在点 运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．
【经典例题十 勾股定理综合】
46．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判
定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在 和 中， ， ， ．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长 至D，使 ，连接 ．
因为 （已知）， ，
所以
所以 （全等三角形的对应边相等）．
…
所以
所以【实践解决】
(1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；
(2)小嵊进行了如下的思考：如图2， 和 都是等腰直角三角形，且 ．连
接 ，若 ， ， ，求 的长；
(3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3， 是等腰直角三角形， ，P是
外一点， ， ， ，求线段 的长．
47．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在 中， ，作 的中点 ，过 作
，分别交 、 于 、 ，我们称 为等腰 的“内接直角三角形”．设 ，
．
(1)如图①，当 时，若 ， 时，求内接直角三角形 的斜边 的长；
(2)如图②，当 时，若 、 分别在 、 的延长线上，则内接直角三角形 的斜边满足：
；（用含a，b的式子表示）
(3)拓展延伸：如图③，当 时， 与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若
不满足，请探索 与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论．
48．（24-25八年级上·北京平谷·期末）【问题探究】
小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题：
如图1，在 中， ， 为 的中点，点 在 边上(点 不与点 ， 重合)，连接
，过点 作 交 于点 ，连接 ．求证∶ ．小冬的做法如图2：延长 到点 ，使 ，连接 ， ，证明 ，经过推理使
问题得到解决
(1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________．
(2)如图，在 中， ， 为 的中点，点 在 的延长线上，连接 ，过点 作
交射线 于点 ，连接 ．
①补全图形；
②试判断 ， ， 三条线段之间的数量关系，并证明．
49．（2023·江西九江·模拟预测）已知 ，点 是平面内任意一点（不与点 ， ， 重合），若点
与 ， ， 中的某两点的连线的夹角为直角，则称点 为 的一个“勾股点”．
(1)如图（1），若点 是 内一点， ， ， ，试说明点 是 的一
个“勾股点”；
(2)如图（2），已知点 是 的一个“勾股点”， ，且 ，若 ，
，求 的长；
(3)如图（3），在 中， ， ，点 为 外一点， ， ，
，点 能否是 的“勾股点”，若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
50．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在 中， ， ，点D是 边上一点，连
接 ，过点B作 的垂线，垂足为E．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，以 为直角边作等腰直角 （B，E，F三点按顺时针排列）， ，连接 ，
过点C作 交直线 于点G，猜想 与 的数量关系并证明；
(3)若 ， ，求 的长．
