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思想 04 运用转化与化归的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
2．（2020·全国·统考高考真题）设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
【答案】
【解析】方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，
.
故答案为： .
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,
由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，
∴ .3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互
不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
_________．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为AC的
中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）由于 ， 是 的中点，所以 .
由于 ，所以 ，所以 ，故 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意 ， ，三角形 是等边三角形，
所以 ，
由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 .
，所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以
过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ，
所以 .[方法二]：等体积转换
， ，
是边长为2的等边三角形，
连接
【方法技巧与总结】
将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已
有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、 建系等方
法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．
2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特
殊化、等价转化、不等转化等 方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解
答，达到解决复杂问题的目的．
3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，
有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为
直观的问题来解决．
4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很
少，此时从反面考虑较简单．
【核心考点】
核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
【典型例题】
例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，
且BD=1，E为AC的中点，AE= ，cosB= ，∠ADB= ．
(1)求AD的长；
(2)求△ADE的面积．
【解析】（1）在△ABD中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由正弦定理 ，知 ．
（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，
即 ，
∴DC2-2DC-5=0，解得 （负值舍去）．
∴ ，
从而 ．例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC
是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点， ，则球O的表面积为____________ .
【答案】
【解析】由于P-ABC为正三棱锥，故 ，从而△EPF为等边三角形，且边长EF=1.
由此可知侧面PAC的高PE=1，故棱长 .
还原成棱长为 的正方体可知，
P-ABC的外接球的直径长恰为正方体的体对角线长 ，
从而表面积为 .
故答案为： ．
例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为
____________．
【答案】 ．
【解析】 ， ，则 ，
，当且仅当 ，即 ， 时
等号成立，
所以 最小值是 ．
故答案为： ．
例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，
AB=3，BC=6，且 ，若M，N是线段BC上的动点，且 ，则 的最小值为
___________
【答案】
【解析】 ，则 ，
如图，建立平面直角坐标系， ， ， ， ，
， ， ，，当且仅当 时，取得最小值 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，
， 是边长为2的正三角形， 分别是 ， 的中点， ，则球 的体
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ， 分别为 ， 中点， ，且 ，
为边长为2的等边三角形， ，
又 ， ， ，
在 中，由余弦定理 ，
作 于 ， ， 为 中点，
又 ， ，解得 ，
，
又 ， ， ， 两两垂直，即三棱锥 是以 ， ， 为棱的正方体的一部分；
所以球 的直径 ，解得 ，
则球 的体积 ，
故选：D.
核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
【典型例题】
例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中， ，
AB=2，则AD长度的取值范围________.
【答案】
【解析】
如图所示，延长 ， 交于E，
平行移动CD，当C与D重合于E点时， 最长，
在 中， ， ，AB=2，由正弦定理可得 ，
即 ，
解得 ；
平行移动CD，到图中AF位置，即当A与D重合时， 最短，为0.
综上可得，AD长度的取值范围为
故答案为： .
例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥 中， 分别为 的中点，记
三棱锥 的体积为 ， 的体积为 ，则 ____________【答案】
【解析】由已知 设点 到平面 距离为 ，则点 到平面 距离为 ，
所以，
例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，
PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么点P到平面ABC的距离为___________.
【答案】
【解析】设 在平面 内的射影为 ，则 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
过 作 ，垂足分别为 ，
由于 ，所以四边形 是矩形.
由于 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ；同理可证得 .
所以 ， ，
，即 到平面 的距离是 .
故答案为：
例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设 ， ， 为正数，且 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ， ， ， ，
在平面直角坐标系中画出 ， ， 的图象及直线 ，结合图象知 ．
方法二 令 ，则 ，
易得 ， ， ，
又当 时，函数 在 上单调递增，且 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故选：D.
核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
【典型例题】
例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
的图象如图所示，那么满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 的图像关于原点对称，由此画出函数 在 上的图象，在同一坐标系内画出 的图象，
因为 ， ，所以 ，
又 ， ，
所以 的图象与 的图象交于 和 两点，如图，
所以结合图像可知， 的解集为 .
故选：C.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角
为 ，向量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设 ，
则由 得 ，
由 得
因此， 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数
，使得 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】令 ， ，显然直线 恒过点 ，
则“存在唯一的整数 ，使得 ”等价于“存在唯一的整数 使得点 在直线
下方”，
，当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在 上
递增，
则当 时， ，当 时， ，而 ，
即当 时，不存在整数 使得点 在直线 下方，
当 时，过点 作函数 图象的切线，设切点为 ，则切线方程为：
，
而切线过点 ，即有 ，整理得： ，而 ，解得 ，
因 ，又存在唯一整数 使得点 在直线 下方，则此整数必为2，
即存在唯一整数2使得点 在直线 下方，
因此有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形 , , ,将 沿矩形的对角线 所在
的直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
B．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
C．存在某个位置,使得直线 和直线 垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
【答案】A
【解析】如图所示：作 于 ， 于
翻折前 ，易知存在一个状态使 ，满足 ， ，
平面 ， 平面 ，故 正确 错误；
若 和 垂直， 平面 ， 平面 ，不成立，故 错误；
若 和 垂直， 故 平面 ， 平面 ， ，因为 ，故
不成立，故 错误；故选：
例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，
若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为
__________．
【答案】
【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径
的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：
（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，
即3k2≤4k，∴0≤k≤ ，故可知参数k的最大值为 .
例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K， ， 三类不同的元
件连接成一个系统.当K正常工作且 ， 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K， ， 正常工
作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.
【答案】
【解析】因为 ， 同时不能正常工作的概率为 ，
所以 ， 至少有一个正常工作的概率为 ，
所以系统正常工作的概率为 ，
故答案为：
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统 ， ．当元件
A、B、C都正常工作时，系统N 正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统
1
N 正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 正常工作的概率为
2 1
___________，系统 正常工作的概率为___________．【答案】 0.648 0.792
【解析】分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件 ， ，
．
因为事件A、B、C是相互独立的，系统N 正常工作的概率为
1
．
系统 正常工作的概率
．
故答案为：0.648；0.792.
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知 满足 ，若存在实数 ，
使得不等式 成立，则实数k的最小值为（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】A
【解析】构造函数 ， 为奇函数，且在 上单调增，
由已知可知 ，
，即 ，
所以，存在实数 ，使得不等式 成立，
又 ， .
故选：A.
2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，是椭圆 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ，所以直线 的方程为 ，
因为 ，所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线 的方程为 ．
联立 ，解得 ， ．
因为 为等腰三角形， ，
所以 ，即 ，
整理得： ．
所以椭圆 的离心率为 ．
故选：D.
3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数 的最大值为M，最小值
为m，则 等于（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】依题意 ，
故令 ，所以 ，
所以函数 为奇函数，所以 ，故 ，
所以 .故选：C.
4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列 是公比不等于 的等比数列，若数列 ， ，
的前2023项的和分别为 ， ，9，则实数 的值（ ）
A．只有1个 B．只有2个 C．无法确定有几个 D．不存在
【答案】A
【解析】设 的公比为 ，
由 ， 可得：
为等比数列，公比为 ， 为等比数列，公比为 ，
则 ①， ②，
③，①×②得： ④，
由③④得： ，解得： ，
故实数 的值只有1个.
故选：A
5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（ ）
①已知点 ，则 外接圆的方程为 ；
②已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为 ；
③已知点 在圆 上， ，且点 满足 ，则点 的轨迹方程为
.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】对于①，线段 的中垂线的直线方程为 ，线段 的中垂线的直线方程为 ，故圆心为
，半径为 ，即圆的方程为 ，故①正确；
对于②，设 ，由 ，则 ，整理可得 ，故
②正确；
对于③，设 ， ，则 ， ，由 ，则 ，即 ，
在 上， ，整理可得 ，故③正确.
故选：D.
6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，
且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义：
，
所以 ，
设 ，因为 ，则
在 中，由余弦定理得： ，
化简得： ，即 ，
从而有 ，
整理得 ，（当且仅当 时等号成立）
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 在
内的概率是 ，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为学生成绩服从正态分布 ，且 ，所以 ，
， ，
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是 ，则从参加这次考试的学生
中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是 .
故选：A.
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知M为圆C： 上的动点，P为直线l： 上的动
点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
【答案】BD
【解析】圆C： 得圆心 ,半径
∵圆心 到直线l： 得距离
∴直线l与圆C相离
A不正确，B正确；
C不正确，D正确；
故选：BD．
9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数 ， 图像一个最
高点是 ，距离点A最近的对称中心坐标为 ，则下列说法正确的有( )
A． 的值是6
B． 时，函数 单调递增C． 时函数 图像的一条对称轴
D． 的图像向左平移 个单位后得到 图像，若 是偶函数，则 的最小值是
【答案】AD
【解析】由题意可知， ， ，即 ，其中 为 的最小正周期，
又因为 ，所以 ，故A正确；
当 时， ，由 ，可得 ，
此时 ， ，满足题意；
当 时， ，由 ，则 无解，
综上所述， ，
从而 是一个偶函数，故 在 上不单调，故B错误；
又因为 ，所以 不是函数 图像的一条对称轴，故C错误；
对于选项D:由题意可得， ，若 是偶函数，
则 ， ，即 ， ，
又因为 ，所以 的最小值是 ，此时 ，故D正确.
故选：AD.
10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数 ，若过点 （其中 是整
数）可作曲线 的三条切线，则 的所有可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABCD
【解析】由题知 ，设切点为 ，则切线方程为
，将 ， 代入得 ；
令 ，则 ，
或 时， ； 时， ，
的极大值为 ，极小值为 ，由题意知 ，又 为整数，.
故选：ABCD.
11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点A是
椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．椭圆C的离心率为
C．存在点A使得 D． 面积的最大值为12
【答案】AD
【解析】由椭圆的标准方程，得 ， ，
，且 ， ；
对于A：由椭圆的定义，知 ，
即选项A正确；
对于B：椭圆C的离心率 ，
即选项B错误；
对于C:设 ，则 ，
若 ，则 ，
则 ，即 ，
联立 ，得 （舍）
即该方程组无解，即不存在点A使得 ，
即选项C错误；
对于D：当点A为上、下顶点时， 的面积取得最大值，
即 ，
即选项D正确.
故选：AD.
12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
① ；② ， ，当 时，都有 ；③ ，下列选
项成立的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ， D． ，使得
【答案】ACD
【解析】由① ， ，得 为偶函数，
② ， ，当 时，都有 ，得 在 上单调递减，
，故A正确；
即 或 ，解得 或 ，故B错误；
由 ，得 ，若 ，则 或 ，解得 ，故C正确；
由 为R上的偶函数，在 单调递减，在 单调递增，
又因为函数 的图象是连续不断的，所以 为 的最大值，所以 ， ，使得 ，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥 中，底面边长与侧棱长均为 ，点 ， 分别是棱
， 上的点，且 ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】 三棱锥 底面边长与侧棱长均为 ， 三棱锥 各个面均为等边三角形，
，
，
，即 ．故答案为： .
14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数 的图像在 上恰好有一个点的纵坐标为 ，
则实数 的值可以是__________（写出一个满足题意 的值即可）．
【答案】 （答案写 内任意的实数都正确）.
【解析】因为函数 的图像在 上恰好有一个点的纵坐标为 ，
令 ，由 ，得， ，即 ，
原命题等价于，函数 的图像在 上恰好有一个点的纵坐标为 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为： （答案写 内任意的实数都正确）.
15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R的函数 则关于
t的不等式 的解集为________.
【答案】 .
【解析】函数 的定义域为R.
因为 ，所以 ，所
以 ，
即 是奇函数.
因为 为增函数，所以 为减函数，所以 在R上为减函数.
所以 可化为 .
所以 ，解得： 或 .
故答案为： .
16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点 可以作两条直线与曲线 相切，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】设切点坐标为 ，
，故斜率为 ，
切线方程为 ，代入 得 ，
整理得 ，
构造函数 ， ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以 在 时取得极小值也即是最小值 ，
当 时， ，当 时， ，
要使过点 可以作两条直线与曲线 相切，
则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一点，点
坐标为 ，则 的最大值为________．
【答案】
【解析】由 可知 ，
设椭圆右焦点 ，则
，
当且仅当 ， ， 共线时且当 在 的延长线上时等号成立．的最大值为 ，
故答案为： .
