文档内容
专题 04 利用二次函数求解最值问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用二次函数求线段最值的问题..............................................................................................................1
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题..........................................................................................................6
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题........................................................................................................11
题型四、利用二次函数求周长最值的问题............................................................................................................18
题型五、利用二次函数求面积最值的问题............................................................................................................24
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用二次函数求线段最值的问题
1．（2025·福建·二模）如图，已知二次函数 的图像与x轴交于 ，B两点，与y轴交
于点C，作直线 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作 于点Q，当线段 取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为 ，再求解 ， ，再求解一次
函数的解析式即可；
（2）如图，过 作 轴交 于 ，连接 ， ，设 ，则 ，
，再利用二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数 的图像与x轴交于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
令 时， ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为 ；
（2）解：如图，过 作 轴交 于 ，连接 ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，当 时， 面积最大，而 为定值，
∴此时 最大，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问
题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键．
2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
，连接 ．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 ，交线段 于点E．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点E在该抛物线的对称轴上，求 的长；
(3)过点D作y轴的平行线，交 于点F，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线 的表达式为 ，抛物线的对称轴是直线 ，可得点E的坐标是
，再由勾股定理得 ，即可求解；
（3）设点D的坐标为 ，则点F的坐标为 ， ，可得
，最后由二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：分别将点 ， ， 代入 ，得 解得
∴该抛物线的表达式为 ；
（2）解：设直线 的表达式为 ．
将点 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ．
∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴点E的坐标是 ，
∴ ；
（3）解：设点D的坐标为 ，
则点F的坐标为 ， ，
∴
，
∵ ， ，
∴当 时，DF`有最大值，最大值是 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定
理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2025·安徽合肥·二模）如图，点 、 、 在抛物线 上．(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是线段 上一个动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，求线段 长度最大时点 的坐标．
(3)点 是抛物线上的动点，在 轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）将 、 的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将 点横坐标代入抛物线的解析式
中.
（2） 的长实际是直线 与抛物线的函数值的差，可设 点的横坐标为 ，用 分别表示出 、 的
纵坐标，即可得到关于 的长、 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得 的最大值.
（3）存在.如图，设抛物线与 的交点为 ，由题意 ，可知 轴，分图中四种情形，利用平
行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可.
【详解】（1）解：将 代入 ，得到 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）将 点的横坐标 代入 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 分别代入，得 ，解得： ，
∴直线 的函数解析式是 ，
设 点的横坐标为 ，则 、 的坐标分别为： ，
∵ 点在 点的上方，∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
（3）存在．满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
理由：如图，设抛物线与 轴的交点为 ，由题意得 ，
∵ ，
∴ 轴， ，
当点 与点 重合时，
①当 是平行四边形 的边时，即 ，则 ， 得 ，
②当 是平行四边形 的对角线时，即 ，则 得 ，
当点 在 轴的上方时，令 ，解得 ，
∴ ，
由平移的性质可知 ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的
最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用．
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
4．如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 为该抛物线对称轴上的一点，当 最小时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线 ，连接 交对称轴于点 ，由点 、 关于对称轴
对称可得 ，即得 ，由两点之间线段最短，可知此时 的值最
小，利用待定系数法求出直线 的解析式，进而即可求解；
【详解】（1）解：把 代入抛物线 得， ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵抛物线 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
连接 交对称轴于点 ，
∵点 、 关于对称轴对称，
，
，
由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，最小值即为线段 的长，设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
．
5．（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点B，C，与y
轴交于点A，其中 ．
(1)求抛物线的函数表达式
(2)如图1，连接 ，点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 轴交 于点K，过点K作
轴，垂足为点E；求 的最大值并求出此时点P的坐标；
【答案】(1) ；
(2) 的最大值为4，此时点P的坐标为 ．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关
知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点A坐标，进而求出直线 解析式，设出点P坐标，进而表示出点K，点E的坐标，则可表
示出 ，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解；把 代入 中得： ，
∴ ，
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：在 中，当 时， ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为4，
∴ 的最大值为4，此时点P的坐标为 ．
6．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和
，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形 的面积；
(3)若直线 与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得 有最大
值，并求出最大值；
(4)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 时， 最大值为
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论
的思想求解是解题的关键．（1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线 ，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可；
（2）求出C、D的坐标，连接 ，根据 列式求解即可；
（3）求出 的长，进而求出 的长，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分 ， ， ，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值
和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和 ，且顶点横坐标为1，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：令 ，则 ，解得 ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ．
（3）解：当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ．
（4）解：∵对称轴为直线 ，
∴抛物线上横坐标为 的点关于直线 的对称点的横坐标为4，
①当 时，
当 时，最大值为 ，
当 时，最小值为 ，
∴ ，解得 （舍）．
②当 时，
当 时，最大值为4，当 时，最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，
当 时，最大值为4，当 时，最小值为 ，
∴ ，
∴ （舍）， （舍）
综上所述，n的取值范围为 ．
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题
7．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线 过点 ，且它的对称轴为 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当 的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在 上方时，M是抛物线上的动点，求 的最大值．
【答案】(1)(2)P的坐标为 或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出直线 的函数解析式为 ，进一步得到点Q的坐标为 ．设点P的坐标为 ，得
到 ，即可求出答案；
（3）连接 并延长交抛物线于点M，则点M即为所求． 的最大值为 的长．过点A作抛物线
对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，且它的对称轴为
∴
解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，
设直线 的函数解析式为 ，把点 代入，得 ，解得 ．
∴直线 的函数解析式为 ，
设 和对称轴 的交点为点Q．
当 时 ，
∴点Q的坐标为 ．
∵点P在对称轴上，∴设点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 或 ．
∴点P的坐标为 或 ；
（3）如图2，连接 并延长交抛物线于点M，则点M即为所求． 的最大值为 的长．
过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
即 最大值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴
交于点C，点P为直线 上方抛物线上一动点．
(1)求直线 的解析式；(2)过点 作y轴的平行线交 于点M，求线段 时点 的坐标；
(3)过 作 轴，交 于M，当 的值最大时，求 的坐标和 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 和 的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数
的图象与性质是解题关键．
（1）先根据抛物线的解析式求出点 的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）设点 的坐标为 ，则 ，再根据 建立方程，解方
程求出 的值，由此即可得；
（3）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，先求出 ，
再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得．
【详解】（1）解：当 时， ，
解得 或 ，
∵抛物线 与 轴交于点 和点 ， 在 的左侧，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：设点 的坐标为 ，
由（1）可知， ，
∵点 为直线 上方抛物线上一动点，∴ ，
∵过点 作 轴的平行线交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
（3）解：由题意，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由二次函数的性质可知，当 时， 的值最大值，最大值为 ，
此时 ，
综上，点 的坐标为 和 的最大值为 ．
9．如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形 面积最大，此时P点的坐标为______，
四边形 的面积的最大值为______．
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使 值最大，求Q点坐标及 的最大值．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)此时 点的坐标为 ，四边形 的面积的最大值为
(3) ， 的最大值为
【分析】（ ）先由直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求出点 ，点 ，然后利
用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（ ）过 作 轴于点 ，交 于点 ，设 ，则 ，则 ，
然后由 得出 ，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）首先得到抛物线对称轴为直线 ，然后得到当点B，Q，P三点共线时， 取得最大值，即
的长度，然后由勾股定理求出 的最大值为 ；求出 所在直线表达式为 ，将
代入 求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴点 ，点 ，
∵抛物线 交于 ， 两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：如图，过 作 轴于点 ，交 于点 ，设 ，则 ，
∴ ，
则
，
当 时， 有最大，最大值为 ，
∴ ，
此时 点的坐标为 ．
（3）如图所示，
∵抛物线 ；
∴抛物线对称轴为直线
∵
∴当点B，Q，P三点共线时， 取得最大值，即 的长度，如图所示，∵ ，
∴ ．
∴ 的最大值为 ；
设 所在直线表达式为
∴
∴
∴ 所在直线表达式为
∴将 代入
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问
题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键．
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
10．已知，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求点A、B、C三点的坐标；
(2)过点A作 交抛物线于点P，求四边形 的面积；(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点M，使 的周长最小？若存在，请直接写出
周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)存在，
【分析】（1）分别令 ，求出点 和点 ，点 的坐标即可；
（2）先求出直线 的解析式，进而求出 的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点 的坐标，
再利用分割法来求解即可；
（3）延长 到点 ，使 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 与 的交点即为
点，易得到 ，进而求出点 ，易得到 解析式，联立直线 解析式组成方程组求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
解得 ；
点坐标为 点坐标为 ；
当 时， ，
点坐标为 ．
（2）解： ，
∴设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ；
直线 解析式： ．
，设直线 的解析式为： ，把 代入得：
；
则直线 解析式为： ，
联立解析式有：
解得 ， ；
点坐标为 ；
．
（3）解：存在．
延长 到点 ，使 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
与 关于 对称，且 为 的中点，
点坐标为 ， ，
∴ 的周长为： ，
∴当 在线段 上时， 的周长最小，
同（2）法可得：直线 的解析式为 ；
联立方程组 ，
解得
点 的坐标为 ；
此时， ，
的周长最小值为 ；
在线段 上存在一点 ，使 的周长最小为 ．
【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求
法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键．
11．如图，抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ．(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出 点的坐标并计算
的周长；若不存在，请说明理由；
(3)设点 在第四象限，且在抛物线上，当 的面积最大，求此时点 的坐标．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)存在， ， 的周长为
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）连接 ， 交直线 于点 ，则此时 的周长最小，求得直线 的解析式为 ，
得出 ，勾股定理求得 即可求解；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则 ，由 的面积为
，得出关于 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，
解得：
∴此抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，连接 ， 交直线 于点 ，∵ 关于直线 对称，
∴ ，
的周长为 ，此时 的周长最小，
∵ ，令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得，
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为： ；
（3）解：如图，过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则 ，∴ 的面积为
，
当 时， 的面积最大
当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
，直线 经过点 ，且与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)连接 ，求 的面积；(3)如图2，直线 与抛物线对称轴交于点 ，在 轴上有 两点（ 在 的右侧），且 ，若
将线段 在 轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形 的周长最小，求出此时周长的最小值．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题
的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）求出点E坐标，再求出 ，进而可得出答案；
（3）由E，F为定点，可得当 的和最小时，四边形 的周长最小，将点 向右平移2个单
位长度得到点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 ，过点 作 交 轴于
点 ，则 ，而 三点共线，故此时 的值最小，可得 ，
， ， ，从而求出 ， ，
即知四边形 周长的最小值为2．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）∵直线经过点 ，
∴直线 的表达式为 ．
由 ，
解得 或 ，
∴ ．
∵直线 交 轴于点 ，在 中，令 ，则 ，
∴ ．
∴ ．
（3）∵ 为定点，
∴线段 的长为定值，
∴当 的和最小时，四边形 的周长最小．如解图，将点 向右平移2个单位长度得到点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点
，过点 作 交 轴于点 ，则 ，
∵ 三点共线，
∴ ，
此时 的值最小．
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
∵ ， ，
∴直线 的表达式为 ．
∵点 为直线 与 的交点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ．
∴四边形 周长的最小值为 ．题型五、利用二次函数求面积最值的问题
13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过 ， ， 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使 的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）先设所求二次函数的解析式为 ，再把 ， ， 代入函数解
析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
（2）连接 ，交对称轴于P，P即为使 的值最小，设直线 的解析式，把B、C的坐标代入即
可求得系数，进而求得解析式，令 时，即可求得P的坐标．
（3）先分析出四边形ACMB面积 ，结合 是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，
则 的面积最大，再整理得 ，结合二次函数的图象性质，得开口向
下，当 时， 有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答．
【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为 ，把 ， ， 代入 得
，
解得 ，
∴这个二次函数的解析式是： ．
（2）解：∴ ，
∴抛物线的对称轴为 ，
连接 ，如图所示：
设直线 的解析式为 ，
∴
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴P点的坐标为 ；
（3）解：过点 作 轴，分别与 轴和 交于点 ，连接 ，如图所示：则四边形ACMB面积 ，
∵ 是一个定值，
∴要使四边形ACMB面积最大，则 的面积最大，
设 ，
则 ，
∴ ．
则
∵
∴开口向下，当 时， 有最大值，
∴即 时，四边形ACMB面积最大，
此时把 代入 ，
得 ，
∴ ．14．（2025·宁夏银川·一模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B到直线 的距离；
(3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当 的面积最大时，点P的坐标以及最大面积．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、待定系数法等知识，数形结合是解题
的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用等积法进行解答即即可；
（3）求出直线 的解析式为 ,设点P的坐标为 ，作 轴交直线 于点 ，则
，得到 的面积 ，利用二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：把 代入 得到，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
设点B到直线 的距离为 ，则 ，
∴
解得 ，
即点B到直线 的距离为 ，
（3）设直线 的解析式为 ．
∴
解得
∴直线 的解析式为 ,
设点P的坐标为 ，作 轴交直线 于点 ，
则 ，
则
∴ 的面积
当 时， 有最大值 ，
此时
此时点P的坐标为
15．如图，已知抛物线经过点 ， ， 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段 上的点（不与B，C重合），过M作 轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，
请用含m的代数式表示 的长；
(3)在（2）的条件下，连接 ， ，是否存在点M，使 的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点M，当 ， 最大值为
【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）用 ，即可得出结果；
（3）根据 的面积等于 ，列出二次函数解析式，求值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 三点，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式： ；
（2）解：设直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
又∵ 轴，
∴ ，
∴ ；
（3）解：存在，
点
．
则∵ ，
当 时， 最大，最大值为 ．
在 中，
当 时，
．
综上所述，存在点M，当 ， 最大值为 ．
一、单选题
1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 在抛
物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当四边形 的周长最小时，点D的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结 交对称轴于D
点，如图，先证明四边形 为平行四边形得到 ，则 ，利用等线段代换得到四边形
的周长 ，根据两点之间线段最短可判断此时四边形 的周长最小，再解方程得 ，从而确定抛物线的对称性为直线 ， ，接着确定 ，然后利用
待定系数法求出直线 的解析式为 ，于是解方程组 得到D点坐标．
【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时四边形 的周长最小，
令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
设过点 ， 的直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵抛物线 的对称轴为 ，∴解方程组 得 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数， ）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题．
二、填空题
2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线 过点 ，点 ．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是 上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接 ， ，则 面积的最大值为
．
【答案】
【分析】（1）先根据抛物线 经过点 ， ，求出抛物线的解析式，再化为顶点
式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线 ，再设过点C且与直线 平行的直线解析式为 ，根据当
直线 与抛物线 有唯一的公共点，求出 ，从而可得关于 的方程求出 ，
从而可得 ，进而可求得点D的坐标，再求出此时 的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；（2）设直线 的解析式为 ，
∵ ，点 ，
∴ ，解得：
∴直线 的解析式为 ，
设过点C且与直线 平行的直线解析式为 ，
当直线 与抛物线 有唯一的公共点，
则点C到 的距离最大，
∴ 面积最大，
∴关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
∴过点C且与直线 平行的直线解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
作 轴交 于点D，
则点 的横坐标为 ，
又点 在直线 上，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
∴此时 的面积 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
三、解答题
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点 是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点 作 轴的垂线与线段 交于点 ，求线段
长度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段 列出函
数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键．
（1）将点B坐标代入即可求出解析式；
（2）先求出直线 的解析式为 ，设点P的坐标为 ，则点C的坐标为
，列出线段 的关系式配方即可得到 的最大值．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过 ，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）∵二次函数的解析式为 ，
∴ 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入，得 ，解得 ，
所以直线 的解析式为
设点 的坐标为 ．
则点 的坐标为 ．
因为点 在点 的右边，
所以
．
因为点 是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
所以 ，
所以当 时，线段 的长度有最大值，最大值为 ．
4．如图，已知抛物线 与 轴相交于 两点，与 轴相交于点 ，抛物
线的顶点为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 是直线 下方抛物线上任意一点，过点 作 轴于点 ，与 交于点 ，求线段 长度
的最大值．
(3)若点 在 轴上，且 ，直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）将 ， 代入 求解即可；
（2）根据 的解析式和抛物线的解析式，设 ，则 ，表示 的长，根据二次函数的最值可得 的最大值即可；
（3）如图1，连接 ， ， 交 于点 ．然后分点 在点 的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入抛物线 中
得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解： ，
当 时， ，
解得： 或 ，
∴ ；
设 的解析式为： ，
∵ ， ，
，
解得： ，
∴ 的解析式为： ，
设 ，
则 ，
，
当 时， 有最大值为 ．
（3）解：如图1，连接 ， 交 于点 ．
，∴顶点 ，
设 所在直线的解析式为： ，
将 代入函数解析式得 ，
解得 ，
故 所在直线的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
设 所在直线的解析式为： ，
将 点坐标代入函数解析式，得 ，
故 所在直线的解析式为： ，
当 时， ，
即点 的坐标为 ，
当点 在点 的右侧时，
∵ ， ， ，
， ， ，
，
∴ 是直角三角形，
是斜边，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中点，
∴ 经过 的中点 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点 的坐标是 ．
∴综上所述，点 的坐标是 或 ．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知
识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．
5．如图，二次函数的图像与x轴交于 和 两点，交y轴与点 ，点C，D是二次函数图
象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使 的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，
请说明理由．
(4)若 是线段 上任意一点，过点 作 轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时， 最长？
【答案】(1)
(2)顶点坐标为 ；点 关于对称轴的对称点D的坐标为 ；
(3)存在，
(4)点P坐标为 时， 最长．
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标 和 ，设抛物线的解析式为 ，将
点 代入求得a的值，即可得到答案；
（2）由 ，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线 ，
得到点D的坐标；
（3）要使 的周长最小，只需 最小即可，点A和B关于直线 对称，连接 交直线
于点M，求出直线 的解析式，求得交点M的坐标即可；
（4）先求直线 的解析式 ，设点P的坐标是 ，则点Q的坐标是 ，表示
出 的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标 和 ，设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得： ，
解得： ，
则抛物线的解析式为 .
（2）∵ ，∴顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点D的坐标为 ；
（3）存在，要使 的周长最小，只需 最小即可，
∵点A和B关于直线 对称，连接 交直线 于点M，
∴ ，
则 ，
∴点M满足题意，
设直线 的解析式为 ，把点 和 代入得，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点M的坐标是 ，
则 ，
即点 为所求．
（4）如图，设直线 的解析式为 ，把点 和点D 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标是 ，则点Q的坐标是 ，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 ，
此时 ，
即点P坐标为 时， 最长．
【点睛】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．如图，已经抛物线经过点 ，且它的对称轴 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线线上的一点，当 的面积为15时，直接写B的坐标；
(3)P是对称轴上的一点，当 的值最大时，求P的坐标以及 的最大值．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
(3)点 时， 的值最大为 ，
【分析】（1）根据题意可设抛物线为 再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 ，设 的解析式为： ，利用待定系数法求出 的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出 ，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当
时，求 的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标．
（3）做点O的对称点 ，连接 交对称轴于点P，则 ，有 ，当
点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线 的直线方程为 ，当
时求得 ，则点 时， 的值最大，并利用勾股定理求得 即可．
【详解】（1）解： 抛物线经过点 ，
∴设抛物线为：
抛物线过 ，且它的对称轴为 ．
解得：
∴抛物线为： ；
（2）解：设 ，
设 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
则 的解析式为： ，
当 时，则 ，
解得： ，
侧 ，
∴∵
∴ ，
解得： 或 或 或 （舍去），
此时点 ，或 ，
当 时，则直线 为 ，平行于x轴
此时 ，
，满足题意，
综上：则 或 或 或 ．
（3）解：做点O的对称点 ，连接 交对称轴于点P，如图，则 ，
∴ ，
当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，
设直线 的直线方程为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的直线方程为 ，
当 时， ，
那么，点 时， 的值最大， ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边
关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性．
7．如图，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的周长最小，求点 的坐标；
(3) 是第四象限内抛物线上的动点，求 面积 的最大值及此时 点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为 ， 点的坐标为
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可；
（ ）连接 交对称轴于点 ，由 关于对称轴 对称得 ，进而得到
，可知当 三点共线时， 的周长最小，利用待定系
数法求出直线 的解析式，再把 代入计算即可求解；
（ ）过点 作 轴 ，交 于点 ，设点 ，则 ， 可得
，进而根据三角形面积公式求出 与 的函数解析式，最后根据二次函数的
性质解答即可求解；本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 ，点 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图，连接 交对称轴于点 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ；
（3）解：如图，过点 作 轴 ，交 于点 ， 连接 ， ，设点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值为 ，
此时， 点的坐标为 ．
8．已知对称轴为 的二次函数 的图像与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式和直线 的解析式；
(2)点 是对称轴上的一个动点，连接 ， ，是否存在点 使 最大，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存
在请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为 ，直线 的解析式为
(2)存在点 ，
(3)存在点 ，使 是直角三角形，点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）由题意得： ，再将 代入 ，求解即可；设直线 的解析
式为 ，把 ， 代入，然后解方程组即可；
（2）连接 ， ，则 ，当 、 、 三点共线时， 有最大值，延长交对称轴于点 ， ，解方程得到 ，设直线 的解析式为 ，得到直线
解析式为 ，当 时，求出 的值即可；
（3）根据题意对称轴为直线 ，设 ，根据勾股定理 ， ，
，分①当 时，②当 时，③当 时，根据勾股定理建立
方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为 的二次函数 的图像与 轴交于 ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）存在点 ，连接 ， ，则 ，
当 、 、 三点共线时， 有最大值，
延长 交对称轴于点 ，则 ，
∵二次函数 的图像与 轴交于 ， ，
当 时， ，
解得： ， ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（3）存在点 ，使 是直角三角形，
∵点 对称轴 上，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
①当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
③当 时， ，
∴ ，
解得： 或 ，
点 坐标为 或 ；
综上所述：点 坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的
最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．已知二次函数 的图像经过点 ，点 ，点 ，(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，点 为线段 上方抛物线上任意一点，过 作 于点 轴交 于点 ，求
周长的最大值；
(3)在（2）的条件下， 为抛物线上一动点，当 时，求点 的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由题意得： ，再表示△PMN周长为 即可求解；
(3)当点H在点P的右侧时，得到 ，求出点 N的坐标，联立抛物线和 的表达式即可求解；当
点 在点P的左侧时，利用 轴求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，点 ，
∴设抛物线的表达式为： ，
把点 的坐标代入，得 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由点 的坐标知，
，
则 ，
设直线 的表达式为： ，
把点 代入，得
，
解得： ，∴直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
则 周长
，
∵ ，
∴当 时， 周长的最大，最大值为 ，此时点 ；
（3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，
延长 交x轴于点N，
∵ ，则 ，
设点 ，
由 得： ，
解得： ，
则点 ，
由点 的坐标得，直线 的表达式为：
联立抛物线和 的表达式得：
，
解得： (舍去) 或 ，
即点H的横坐标为： ；当点 在点P的左侧时，如上图，
∵ ，
则 轴，
则点 横坐标为： ，
综上，点H的横坐标为： 或 ．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角
形、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键．
10．如图①，已知二次函数 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图②，连结 、 ．
①在对称轴上是否存在一个点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标和此时 的周长；
若不存在，请说明理由；
②点 为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，请求出
点 的坐标和此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①存在一个点 ，使 的周长最小， ， 的周长最小值为 ；②存在
，此时 面积的最大值为 ．
【分析】（1）运用待定系数法计算即可．
（2）①运用待定系数法计算即可直线 为 ，判定 、 是对称点，计算当 时的
函数值即可确定坐标，进而确定最小周长．
②设 ，过点 作 交直线 于点 ，则 ，根据面积法构造二次函数，根
据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 与 轴相交于 、 两点，∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：①存在，点 ．理由如下：
中，当 时， ，
∴ ，
设直线 为 ，
把 ， 代入 得，
，
解得 ， ，
∴直线 为 ；
∵抛物线 与 轴交于 、 两点， ，
∴ 、 关于二次函数对称轴对称，
∴ ， ， ，
∴ 的周长为 ，
根据两点之间线段最短得，当 在直线 上时， 最短，即 的周长最小，
∵直线 的解析式为 ，
∴当 时， ，
∴点 ，
∴ 的周长最小值为 ；
③存在，设 ，过点 作 交直线 于点 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，
故当 时， 取得最大值，且为 ，
当 时， ，
∴ ．
∴存在 ，此时 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的
最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
