文档内容
思想 01 运用分类讨论的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
核心考点二：由定义引起的分类讨论
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【解析】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
故 在 上为增函数，故 ，所以 ，
记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证：
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .【方法技巧与总结】
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，
得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，
又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）
逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是
否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为1等．（2）由数学运算规则引起的分类讨
论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．
（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同
区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的
象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需
要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
【核心考点】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
【典型例题】
例1．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得 5分，有选错的得0
分，部分选对的得3分．若选项中有 其中 个选项符合题目要求，随机作答该题时 至少选
择一个选项 所得的分数为随机变量 其中 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， 的可能情况为0，3，5
选择的情况共有： 种；
，
，
所以
当 时， 的可能情况为0，3，5选择的情况共有： 种；
，
，
所以
当 时， 的可能情况为3，5
选择的情况共有： 种；
，
，
所以
对于AB：
，
，
所以 ，
故A错误，B正确；
对于CD：
，
，
所以 ，
故CD错误；
故选：B
例2．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：
第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；
第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；
第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；
第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为 ；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为 ；丙与丁比赛，丙的胜率为 任意两场比赛之间均相互独立．
求丙在第二轮被淘汰的概率；
在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
【解析】解： 若丙在第二轮被淘汰，则根据规则，
第一轮中丙和丁比赛，丙为败者的概率为 ，
而甲与乙比赛的败者分两种情况，若第二轮甲进入败者组，
其概率为 ，则第二轮丙被淘汰的概率 ；
若第二轮乙进入败者组，其概率为 ，
第二轮丙被淘汰的概率
故丙在第二轮被淘汰的概率为
第一轮甲与乙比赛中，甲获胜进入胜者组的概率为 ，
并且与丁进行第二轮比赛，第二轮胜者组比赛甲获胜的概率为 ，
丁与乙进行第三轮比赛，故分两种情况，
若第三轮乙获胜，乙获胜的概率为 ，甲与乙进行决赛，
甲获胜的概率为 ，此时甲获得冠军的概率为 ；
若第三轮丁获胜，丁获胜的概率为 ，甲、丁进行决赛，
甲获胜的概率为 ，
此时甲获得冠军的概率为
设“丙在第二轮被淘汰”为事件A，“甲所有比赛全胜并获得冠军”为事件B，
则例3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖
后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分
布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
已知 ，求 ；
设 p 表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， p 是 关 于 x 的 方 程 ：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时，
；
根据你的理解说明 问结论的实际含义．
【解析】
设 ，
因为 ，故 ，
E(X)�1
若 ，则 ，故
，
因为 ， ，
f(x)
故 有两个不同零点 ，且 ，
f(x)0 f(x)0
且 时， ； 时， ；
f(x)
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
f(x)
若 ，因为 在 为增函数且 ，
f(x)
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故1为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实
根，
E(X)�1
综上，若 ，则
E(X)1
若 ，则 ，故
此时 ， ，
f(x)
故 有两个不同零点 ，且 ，
f(x)0 f(x)0
且 时， ； 时， ；
f(x)
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，f(x)
又 ，故 在 存在一个零点p，且
所以p为 的一个最小正实根，此时 ，
E(X)1
故当 时，
意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平
均数超过1，则若干代后还有继续繁殖的可能．
核心考点二：由定义引起的分类讨论
【典型例题】
例4．已知数列 满足
求数列 的通项公式；
求数列 的前n项和
【解析】解： 因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
故 ，
则 ；
经检验： 满足 ，
所以
由 知，令 ，得 ，
故当 时， ，
；
当 时， ，易知 ， ， ， ，
所 以
；
综上：
例5．设数列 的前n项和为 ，且满足
求数列 的通项公式；若 求数列 的前15项的和．
【解析】解： 由题意，当 时， ，解得 ，
当 时， ，
化简整理，得 ，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故 ，
当n为奇数时，
当n为偶数时， ，
所以数列 的前15项和为
例 6．已知正项数列 的前 n 项和为 ，如果 都有 ，数列 满足
，数列 满足 ， 设 为 的前n项和，则当 取得最
大值时，n的值等于（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【解析】当 时， ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，可得 ，所以 ，
即数列 是一个以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
由 ，可得 ，故 ，
则 ，
当 时， ；当 时， ，
故当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
当 时， ，
又 ，
故当 时， 取得最大值．
故选：
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【典型例题】
例7． 中，内角A，B，C的对边分别为a，b， 已知 ，
求角
若AC边上的点D满足 ， ，求 的面积．
【解析】解： 在 中，由正弦定理可得：
化简可得：两边平方得： ③
在 中，由余弦定理：
化简得： ④，
由③④可得：
或 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
例8．若恰有三组不全为0的实数对 、 满足关系式 ，则实数
t的所有可能的值为__________．
【答案】 ， ，
【解析】由已知得 ，整理得 ，
看成有且仅有三条直线满足 和 到直线
不过原点 的距离t相等．
由 ，
当 ，此时易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线 以及直线
AB平行的两条直线 和 ；当 时，有4条直线l会使得点 和 到它们的距离相等，注意到l不过原
点，
所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点A到l的距离为d，
①作为增根被舍去的直线 l，过原点和 A，B 的中点 ，其方程为 ，此时
，符合；
②作为增根被舍去的直线 l，过原点且以 为方向向量，其方程为 ，此时，
，符合；
综上，满足题意的实数t为 ， ，
故答案为： ， ，
例9．过双曲线C： 的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线
垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点 已知O为坐标原点，若 的内切圆的半径为
，则双曲线C的离心率为__________．
【答案】 或2
【解析】若 在y轴的同侧，不妨设A在第一象限，如图，设 的内切圆的圆心为M，
则M在 的平分线Ox上，过M分别作 于N， 于T，
由 得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b，得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，从而可得若 在y轴的两侧，不妨设A在第一象限，如图，易得 ， ， ，
所以 的内切圆半径为 ，
所以 ，
因为 ，所以得 ，
所以 ，所以 ，
所以
故答案为 或
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
【典型例题】例10．已知函数 为 的导函数．
求证： 在 上存在唯一零点；
f(x)
求证： 有且仅有两个不同的零点．
【解析】 证明：设 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以 在 上有唯一的零点 ，所以命题得证，
证明： 由 知：当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 在 上存在唯一的极大值点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 在 上恰有一个零点，
又因为 ，
所以 在 上也恰有一个零点，
当 时， ，
设 ， ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以当 时， 恒成立，
所以 在 上没有零点．
当 时， ，
设 ， ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以当 时， 恒成立，
所以 在 上没有零点．
综上， 有且仅有两个不同的零点．
例11．已知函数 的图像经过 点．
f(x)
确定a的值，并讨论函数 的极值点：
设 ，若当 时， ，求实数m的取值范围．
【解析】解： 因为 图象过 ，
所以 ，即 ，所以
由 ，
①当 时，即 时， ，故 单调递增，无极值点；
②当 ，即 时，令 可得 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
所以 是函数的极小值点，无极大值点．
则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ；
②当 ，即 时，则存在唯一的 使 ，
即 ，
当 时， ，当 时， ，
即 时， 单调递减， 时， 单调递增，
故 ，解得 ，即 ，
又 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 解得
综上，实数m的取值范围为
例12．已知函数 是自然对数的底数
若 ，求 的单调区间；
若 ，试讨论 在 上的零点个数． 参考数据：
【 解 析 】 解 ： 解 ： ， 则 ， 定 义 域 为 R ，
，
由 ，解得 ，可得 ，
解得 ，
由 ，解得 ，可得 ，
解得 ，
的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ；
解：由已知 ，
，令 ，则， 当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减．
， ，
①当 时，即 时， ，
，使得 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增， 上单调递减．
， ，又 ，
由函数零点存在性定理可得，此时 在 上仅有一个零点；
②若 时， ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ，
， ，使得 ， ，
且当 、 时， ；当 时，
在 和 上单调递减，在 上单调递增．
， ，
， ，
又 ，
由零点存在性定理可得， 在 和 内各有一个零点，即此时 在 上有两个零
点．
综上所述，当 时， 在 上仅有一个零点；当 时， 在 上有两个零点．
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【典型例题】
例13．正方体 棱长为2，动点P在线段 上 含端点 ，以下结论不正确的为
（ ）A．三棱锥 的体积为定值
B．过P，B， 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点P和 重合时，三棱锥 的外接球体积为
D．直线PD与面 所成角的正弦值的范围为
【答案】D
【解析】如图，
对于A选项，因为 且 ，故四边形 为平行四边形，
所以 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
，
所以点P到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
，A对；
对于B，①当P， 重合时，过P，B， 三点作正方体的截面，
则所得的截面图形为平面四边形
②当P为 与 的交点，即P为 的中点时，
过P，B， 三点作正方体的截面，则所得的截面图形为三角形 ，B对；
对于C，当点P与 重合时，此时三棱锥为 ，
设 的中点为O，因为 ，可得所以三棱锥 的外接球的球心为 的中点，其半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 ，C对；
对于D，由A知，设点P到平面 的距离为h，
则由 ，得 ，
当P， 重合时， 取得最小值 ，
当P， 重合时， 取得最大值 ，
设直线PD与平面 所成角为 ，
则 ，
则 ，D错．
故选
例14．两条异面直线a，b所成的角为 ，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使 ，
且 已知 ， ， ，则线段AB的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ，
两边平方可得 ……①，
因为 ， ，异面直线a与b所成的角为 ，所以EA，BF所成的角为 或 ，
，又 ， ， ，
代入①式得
， ，
当 ， 时，代入上式可得 舍去 ；
当 ， 时，代入上式可得 ，
故AB的长度为
故选例15．（多选题）如图，在三棱锥 中， 平面 为垂足点，
F为BD中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值
C．若BD的长为定值，则EF的长也为定值
D．若CD的长为定值，则 的值也为定值
【答案】ACD
【解析】对于A，将三棱锥补成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
所以AD为外接球的直径2R，
所以该三棱锥外接球的半径也为定值，故A正确；
对于B，因为 平面BCD，CD， 平面BCD，所以 ， ，
因为 ， ，BC， 平面ABC，所以 平面ABC，
因为 平面ABC，所以 ，
假设内切球的球心为O，
第一种情况不妨假设 ， ， ， ， ，
此时内切球的半径为 ，
根据 ，
即 ，，解
第二种情况不妨假设 ， ， ， ， ，
此时内切球的半径为 ，
根据 ，
即 ，
，
解得 ，综上所述，当AC的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故B错误；
对于C和D，以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
假设 ， ， ，则 ，
， ， ， ， ，则 ，
因为E在AC上，所以设 ，
则
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ，
则，
所以当BD的长为定值时，EF的长也为定值；
当CD的长为定值，则 的值也为定值，故C，D正确，
故选：ACD
【新题速递】
一、单选题
1．已知 为奇函数，且在 (0,) 上是递增的，若 ，则 的解集是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】 是奇函数，且在 内是增函数，
在 内是增函数，
又 ，
，
当 时， ；
当 时， ；
的解集是
故选
2．已知函数 若存在 ， ，且 ，使得 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知， 图象的对称轴方程为
当 ，即 时，根据二次函数的性质可知，一定存在 ， ，且 ，使得当 ，即 时，由题意知 ，解得 ，不符合题意．
综上所述，
3．已知角 的终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】由已知可得角 的终边在第二或第四象限，
当角 是第二象限角时，在其终边上取点 ，
则 ，
由三角函数的定义得
，
则 ；
当角 是第四象限角时，在其终边上取点 ，
则 ，
由三角函数的定义得
，
则 ，
综上，
4．已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】① 时， 在 上是增函数；
在R上是增函数；显然 在 上不是增函数；
的情况不存在；
② 时， 在 上是减函数；
在R上是减函数；
；
解得 ；
综上得，实数a的取值范围为
故选：
5．若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】当 时，不等式变为 恒成立，故 满足题意；
当 时，若 恒成立，
则 ，即 ，解得
综上，
故选
二、多选题
6．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式 的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】AB
【解析】由 ，分类讨论a如下．当 时， ，故A正确；
当 时，
当 时， 或
当 时， ，故B正确；
当 时， 或
故选
7． ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】 ，
当 时
，
当 时
故答案为
8．已知函数 ，则方程 的根的个数可能为
（ ）
A．2 B．6 C．5 D．4
【答案】ACD
【解析】画出的图象，如图，
因为 ，
所以 ，
若 或 ，则 不存在，方程 的根的个数为0；
若 ，则 化为 ，即 ，
结合图象知：方程 的根的个数为2；
若 或 ，则 ，或 ，
则方程 的根的个数为5个；
若 ，则 或 ，方程 的根的个数为5个；
若 ，则 或
方程 的根的个数为4个．
结合选项可知，方程 的根的个数可能为2个或5个或4个．
故选：
9．设数列 的前n项和为 ，且 ，若 ，
则下列结论正确的有
A． B．当 时， 取得最小值
C．当 时，n的最小值为7 D．当 时， 取得最小值
【答案】ABD
【解析】由 得
， ， ， ，累加得 ，解得 ，
当 时， 满足上式， ，
当 时， ，
，故选项A正确；
当 时， 单调递增，又 ， ，
单调递增，且 ， 当 时， 单调递减，当
时， 单调递增，且 ，
当 时， 取得最小值，故选项B正确；
又 ， ，
当 时，n的最小值为8，故选项C错误；
当 ，2，3，4时， 当 ，6，7时， 当 时， ，
当 ，6，7时，考虑 的最小值，
又当 ，6，7时， 恒为正且单调递减， 恒为负且单调递增，
单调递增， 当 时， 取得最小值，故选项D正确，故选
10．在棱长为1的正方体 中，M是线段 上的一个动点，则下列结论正确的是
（ ）A．四面体 的体积恒为定值
B．直线 与平面 所成角正弦值可以为
C．异面直线BM与AC所成角的范围是
D．当 时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
【答案】ACD
【解析】
对于A选项，根据正方体的特征可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即线段 上的点到平面 的距离相等，
又因为 的面积为定值，M是线段 上一个动点，
所以四面体 的体积为定值，故A选项正确；
对于B选项，设直线 与平面 所成的角为 ，M到平面 的距离为d，则 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以M到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
连接 ，由 可得 ，
又 ， ，
所以 ，易知当M为 的中点时， 最小，为 ，
此时 取得最大值为 ，故B错误；
对于C选项，设异面直线BM与AC所成的角为 ，当M与 或 重合时， 取得最小值，为 ，
当M为 的中点时， 取得最大值，为 ，
所以异面直线BM与AC所成角的范围是 ，故C选项正确；
对于D选项，过M作 ，分别交 ， 于点E，F，连接DE，BF，
设 与 交点为O，
由正方体的性质知 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，即四边形DEFB为等腰梯形，故D正确．
故选：
11．已知函数 若 ，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】令 ，则当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 或 ，令 ，则当 时， ，解得 ；
当 时， ，故 无解．
令 ，则当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得
令 ，则当 时， ，解得 ；
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，故 无解，
综上，实数a可能的取值为
故选
三、填空题
12．定义新运算“ ”，满足对任意的 ，有 若对 ，
恒成立，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由 得， ，
化简得 对 恒成立，
当 时， ，成立；
当 时，满足 ，解得 ；
故实数m的取值范围是
故答案为：
13．已知定义域为R的函数 ，满足 ，则实数a的取值范围是
__________．
【答案】【解析】因为 ，
所以 ，即 为奇函数，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，又 ，即 ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上为增函数，
又 为奇函数，
所以函数 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
解得 或 ，
故答案为：
14．在等比数列 中， ， ，则公比 __________．
【答案】
【解析】由等比数列的性质可得 ，
所以 ，
又 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，或 不可能为负数，舍去 ，
所以
故答案为
15．若 是定义在R上的奇函数，当 时， 为常数 ，则当 时
__________．
【答案】【解析】根据题意，若 是定义在R上的奇函数，则 ，
又由当 时， ，则 ，即 ，
故当 时， ，
当 时， ，则 ，
又由 为奇函数，则
故答案为
16．设抛物线 的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，点M满足
为坐标原点 ，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若 ，则点P的横坐
标为__________， __________．
【答案】1；8
【解析】由于点M满足 ，所以M是线段AB的中点．
抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为
设 ，由于P在抛物线上，且 ，
根据抛物线的定义得 ，
所以 ，则 ，不妨设 ，
若直线l的斜率不存在，
则不妨设 ， ，所以 ，
此时M的纵坐标和P的纵坐标不相同，不符合题意，
所以直线l的斜率存在，设 ， ，
直线l的方程为 ，
代入抛物线方程并化简得 ，
则 ，
由于M是线段AB的中点，所以 ，又 ，所以 ，即 ，
即 ，
解得 ，所以 ，所以 ，
则点M到准线 的距离为4，
根据抛物线的定义及中位线的性质可知
17．已知关于x的不等式 ，若 ，则该不等式的解集是__________，
若该不等式对任意的 均成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 ；
【解析】当 时， ，解之得：
该不等式的解集是
当 时，不等式 等价于 ，恒成立，
当 时， ，
不等式 等价于 ，
结合函数 的性质可得 ，解得 ，
综上所述，实数a的取值范围是 ，
；
故答案为
