文档内容
思想 02 运用数形结合的思想方法解题
目 录
01 研究函数的零点、方程的根、图象的交点.....................................................................................1
02 解不等式、求参数范围、最值问题.................................................................................................2
03 解决以几何图形为背景的代数问题.................................................................................................2
04 解决数学文化、情境问题................................................................................................................3
01 研究函数的零点、方程的根、图象的交点
1．（2024·云南·高三校联考阶段练习）关于函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在 上单调递减
B．当 时，函数 在 上恒成立
C．当 或 时，函数 有2个零点
D．当 时，函数 有3个零点，记为 ，则
2．（2024·四川南充·统考一模）已知函数 （ ）有两个不同的零点 ， （
），下列关于 ， 的说法正确的有（ ）个① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）若过点 可以作三条直线与曲线 相切，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）已知函数 关于 的方程
有且仅有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
02 解不等式、求参数范围、最值问题
5．（2024·四川内江·统考三模）若关于x的不等式 有且只有一个整数解，则正实数a的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·陕西汉中·高二统考期末）若函数 （m为实数）有极大值，则 的范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西临汾·高三统考阶段练习）已知三次函数 的导函数为 ，若方程 有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A． B．
C． D．
03 解决以几何图形为背景的代数问题
8．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知曲线C： ．
①曲线C的图像一定经过第三象限；
②若 为曲线C上一点，则 ；
③存在 ， 与曲线C有四个交点；
④直线 与曲线C无公共点当且仅当 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
9．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）过双曲线 的右支上一点 ，分别
向⊙ 和⊙ 作切线，切点分别为 ，则 的最小值为
.
10．（2024·全国·高三专题练习）如图，在圆内接四边形 中， ， ， ．
若 为 的中点，则 的值为 ．11．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量 满足： ，
， ，设向量 （ 为实数），则 的取值范围为 ．
04 解决数学文化、情境问题
12．（2024·福建漳州·统考模拟预测）公元 年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖
暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意
思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的
两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上
述原理在中国被称为“祖暅原理”. 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用
打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为 的水平截面的面积 可以近似用函数
， 拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·北京顺义·高三统考期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
为“阳马”．现有一“阳马” ， 平面 ， ， 为底面 及其内部的一个动点且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·山东济宁·高三统考期末）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆
环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用 表示解下 个
圆环所需要少移动的次数，数列 满足 且 则解下5个环所需要最少移动的
次数为（ ）
A．7 B．10 C．16 D．31
15．（2024·全国·高三专题练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后
人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有 个球，第二层有 个球，第三层有 个球，…设第 层有 个球，
从上往下 层球的总数为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． ，
C． D．
16．（2024·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机
变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量 ，
当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似地替代，且正态随机变量 的期望和方差与二项随机变量 的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了 时这个结论是
成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数 都
成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正
态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若 ，则 ，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
