文档内容
第三篇 思想方法篇
思想01 函数与方程思想（讲）
考向 速览
方法技巧 典例分析
1.函数与方程思想的含义
(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或
构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,
或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
(3) 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，
方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数
y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a
有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
2.高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查,特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几
何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深
的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.
3.常见方法：
（1）运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的
定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
（2）利用函数性质求解方程问题
函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．
（3）构造函数解决一些数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化
难为易的效果.01 函数与方程思想在方程、不等式中的应用
【核心提示】
1.函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可
解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2.含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题与转化为函数的值域问题，
从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：
①灵活转化：
（1）“关于x的不等式 f (x)g(a) 在区间D上恒成立”转化为“ f min (x)>g(a) ”；
（2）“关于存在
x∈D
使得不等式
f (x)g(a)
成立”转化为“
f
max
(x)>g(a)
”；
②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；
③得出结论，列出参数a所满足的方程，通过解方程，求出a的值．
【典例分析】
典例1.（2022·浙江·统考高考真题）已知 ，若对任意 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转换为 ，再结合画图求解．
【详解】由题意有：对任意的 ，有 恒成立．
设 ， ，
即 的图像恒在 的上方（可重合），如下图所示：由图可知， ， ，或 ， ，
故选：D．
典例2.（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式可
得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，即
，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题
的最优解．
典例3.【多选题】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A，运用指数函数、对数函数单调性比较即可；对于选项B，构造函数运用函数的单调性比
较即可；对于选项C，作差后运用基本不等式判断；对于选项D，寻找中介值比较即可.
【详解】对于选项A，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故选项A错误；
对于选项B，设 ，则 ，
又因为 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即： ，
又因为 ，所以 .故选项B正确；对于选项C， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即： .故选项C正确；
对于选项D，因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故选项D正确.
故选：BCD.
02 函数与方程思想在数列中的应用
【核心提示】
数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范
围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.
【典例分析】
典例4.（2022·全国·高二课时练习）设数列 为等差数列，其前n项和为 ，已知 ，
，若对任意 都有 成立，则 的值是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为d，根据等差数列通项公式列出方程，求出 和 ，进而求出等差数列 的前n项
和为 ，再根据二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】设等差数列 的公差为d，
由 解得
∴ ．
∴当 时， 取得最大值．
∵对任意 都有 成立，
∴ 为数列 的最大值，∴ ．
故选：B.
典例5.（2023·河南·校联考模拟预测）记正项数列 的前 项和为 ，且满足
.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由 写出 的式子，通过两式相减化简得出
，再利用不等式恒成立问题，得出 ，进而分析右侧式子的最值，
即可求出结果.
【详解】因为 ①，
所以当 时， ②.
①-②，得 ，所以 ，
因为数列 是正项数列，则 .
当 时， ，则 ，符合 式，
从而 ， 是首项为 ，公比为 的等差数列，
所以 ，
由 ，得 ，即 .
令 ，
因为 在 时单调递增，
所以 单调递减，
则当 时， 取得最大值，且为 ，所以 .
故答案为： .
典例6.（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运
算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是
要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，这
是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
03 函数与方程思想在解析几何中的应用
【核心提示】
1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线
的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化
为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答 .
2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中
的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
【典例分析】
典例7.（2021·全国·统考高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后消
元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
典例8.（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方程
为： ， 为坐标原点，点 ，点 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是
________.
①卵圆 关于 轴对称
②卵圆上不存在两点关于直线 对称
③线段 长度的取值范围是
④ 的面积最大值为
【答案】①③④
【分析】利用点 和 均满足方程，即可判断①；设 和 都在卵圆 上，再解即可判断②；利用两点间的距离公式表示 ，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利
用三角形的面积公式表示出 ，然后利用导数研究其最值，即可判断④.
【详解】对于①，设 是卵圆 上的任意一个点，
因为 ，所以点 也在卵圆 上，
又点 和点 关于 轴对称，
所以卵圆 关于 轴对称，故①正确；
对于②，设 在卵圆 上， 关于直线 对称的点 也在卵圆 上，
则 ，解得 或 ，
所以卵圆上存在 两点关于直线 对称，故②错误；
对于③，由 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
设点 ，
则 ，
令 ，
则 ，令 ，则 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
又 ，
且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故③正确；
对于④，点 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
此时 的面积取得最大值 ，故④正确.
故答案为：①③④.
典例9.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将
直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合二次
函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ．
所以 ．
从而有 ．
因为 ，所以当 时， ．
又 ，解之得 ，因此 ．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到 ．
过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．
．
P点在圆M上，则．
故当 时 的面积最大，最大值为 ．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为 ， ．
设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ．
判别式 ，即 ，且 ．
抛物线C的方程为 ，即 ，有 ．
则 ，整理得 ，同理可得 ．
联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ．
将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．
由弦长公式得 ．
点P到直线 的距离为 ．
所以 ，
其中 ，即 ．
当 时， ．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 关于圆M上的点 的坐标的表达式，进一步转化为关于 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得 的值；方法二，利用圆的性质， 与圆
上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点 、 、
，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线 的坐标满足方程 ，然
手与抛物线方程联立，由韦达定理可得 ， ，利用弦长公式求得 的长，进而得到面积
关于 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到
， ，过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．由 求得面
积关于 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方
法三直接设直线 ，联立直线 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到 ，且
．利用点 在圆 上，求得 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得
P的坐标 ，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于 的函数表达式，然后利用二次函数
的性质求得最大值；
04 函数与方程思想在立体几何中的应用
【核心提示】
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
【典例分析】
典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球
面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 ，
进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其
高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则
，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱
锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
典例12. （2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中， ， ， ．若四面体
ABCD的体积为 ，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】证明四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接OB，OC，设 的中心H．连接OH，
AH，设 ， ，根据四面体的体积得到 ，设四面体ABCD外接球O的半径为R，
求出 ，再利用导数求 的最值即得解.
【详解】由 ， 知，四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接OB，OC，则
．
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 的外接圆的圆心为 的中心H．连接OH，AH，则 平面ABC．
设 ， ，则点D到平面ABC的距离为2h，
所以四面体ABCD的体积为 ，即 ， ．
设四面体ABCD外接球O的半径为R，则 ，
即 ．
设 ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，即最小值，所以当 时，R取得最小值，为 ，所以四面体ABCD外接球O的表面积的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是能准确求出四面体ABCD外接球的表面积的解析式，其二
是能利用导数求解函数的最值.
05 函数与方程思想在平面向量中的应用
【核心提示】
1.平面向量问题的函数( 方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问
题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：
①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参
数的函数(方程)；
②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；
③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．
2.平面向量中含函数(方程)的相关知识，对 平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利
用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．
【典例分析】
典例13.（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
典例14.【多选题】（2023·全国·模拟预测）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.
博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置
的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（
）A．
B．若 ，则
C．
D．设Z为线段AK上任意一点，则 的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件，结
合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解.
【详解】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
A选项：易知 ， ， ， ，所以 ， ，
则 ，所以 ，所以A正确.
B选项：易知 ， ， ， ，， ，所以 ， ， ，
所以 ，得 ，解得 ， ，所以 ，所以B错误.
C选项：由选项A，B知 ，则 ，
， ，所以C错误.
D选项：易知 ， ，设 ，则 ， ，
所以 .因为 ，所以当 时， 取得最小值 ；
当 时， 取得最大值40.所以 的取值范围是 ，所以D正确.
故选：AD.
典例15.（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形 中，P是对角线
上一点，且 ，则 __________，若点M为线段 （含端点）上的动点，则 的
最小值为__________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得 ，可得 的坐
标，根据数量积的坐标运算，求得 ；设 ，表示出 ，可得坐标，继而求得 的表达式，结合二次函数性质求得 的最小值.
【详解】如图，以A为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
∴ ，
∵P是对角线 上一点，且 ，可得 ，
∴ ， ，
∴ ；
因为点M为线段 （含端点）上的动点，则设 ,
故 ，
所以 ， ，
故 ，
由于 ，所以 时， 取到最小值 ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ； .
06 函数与方程思想在概率统计中的应用
【核心提示】利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为
个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，
其实题目反映的都是最简单的公式（比如利润=收入—成本），所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常
识.【典例分析】
典例16.（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在
甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为 .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯
个数之和为 ，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为 ，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当 时，
【答案】BC
【分析】确定 ，即可求出 和 ，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为
，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求
得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得 ，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为 ，
则 ，则 ， ，A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为 ，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为 ，
设 ，则 ，
令 ，则 （舍去）或 或 ，当 或 时， ，当 时， ，
故 时， 取得最大值，即 ，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 ，
此时 ，C正确；
对于D，当 时，一天中不遇红灯的概率为 ，
遇到一次红灯的概率为 ，遇到两次红灯的概率为 ，
故一天遇到红灯次数的数学期望为 ，
所以 ，D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少
遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点
在于要利用导数求解最值,因此设函数 ，求导，利用导数解决问题.
典例17.（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量
的取值集合均为 ，则 的散度 .若 ， 的概率分布
如下表所示，其中 ，则 的取值范围是__________.
0 1
0 1【答案】
【分析】根据已知公式得出 ，根据二次函数最值与不等式性质得出 ，即
可根据对数函数性质得出 ，即可得出答案.
【详解】根据已知公式 ，
得 ，
，
令 ，开口向下，对称轴为 ，
在 上， ，
则 ，
则 ，
故答案为：
典例18.（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为
第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的
且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，
则若干代后被灭绝的概率小于1.
