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思想 03 运用函数与方程的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：运用函数的思想研究问题
核心考点二：运用方程的思想研究问题
核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右
顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分
别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
3．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
4．（2021·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为__________．
5．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【方法技巧与总结】1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分
布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方
程问题．例如，方程 解的个数可以转化为函数 的图象与 轴交点的个数，也可以参变分离，
转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构
造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），
进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切
线问题时，设出切点横坐标 ，得到切线斜率 ，切线方程为 ， 从而
将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标 的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有
解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不
等式问题．例如，不等式 或 恒成立，可以转化为 或 ．也可以考虑参
变分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都
有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函
数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持
不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问
题获得解决．
【核心考点】
核心考点一：运用函数的思想研究问题
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 若关于 的方程
恰有两个互异的实数解，则实数 的取值范围是__________．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 在 上最小值为 ，求实数 的值；
（3）若 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 的值．
核心考点二：运用方程的思想研究问题
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，其中 ．
（1）请利用 的导函数推出 导函数，并求函数 的递增区间；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 的切线平行，求
（化简为只含 的代数式）；
（3）证明：当 时，存在直线 ，使得 既是 的一条切线，也是 的一条切线．
例5．（2023春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数 ．
（Ⅰ）不需证明，直接写出 的奇偶性：
（Ⅱ）讨论 的单调性，并证明 有且仅有两个零点：
（Ⅲ）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
例6．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）若直线 是曲线 的切线，也是
的切线，则 （ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【典型例题】
例8．（2023春·广西·高三期末）已知函数
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求a的取值范围．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，求 的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
例10．（2023·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数 ，若
时， ，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【典型例题】
例11．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知 的内角A，B，C的对边分别
是a，b，c， 的面积为S，且满足 ， ．
（1）求A和a的大小；
（2）若 为锐角三角形，求 的面积S的取值范围．例12．（2023春·河北张家口·高三张家口市第一中学校考阶段练习）已知椭圆 的离
心率为 ，其中一个焦点在直线 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆交于 两点，试求三角形 面积的最大值．
例13．（2023春·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列 是各项均为正数的等差数列．
（1）若 ，且 ， ， 成等比数列，求数列 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列 的前n项和为 ，设 ，若对任意的 ，不
等式 恒成立，求实数k的最小值．
例14．（2023春·北京·高三校考期中）已知函数
（1）函数 的值域是____________．
（2）若关于x的方程 恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是______________-．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023·广东茂名·高三统考）已知三棱柱 的顶点都在球O的表面上，且
，若三棱柱 的侧面积为 ，则球O的表面积的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数 ，，若 存在三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河北沧州·高三阶段练习）已知数列 满足： ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则数列 是单调递减数列 B．若 ，则数列 是单调递增数列
C． 时， D． 时，
二、多选题
4．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A．对任意 ， B．对任意 ， 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
5．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C．直线 与圆 有一个交点
D．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
6．（2023春·山东日照·高三统考）下列命题中是真命题的有（ ）
A． 有四个实数解
B．设a、b、c是实数，若二次方程 无实根，则
C．若 ，则
D．若 ，则函数 的最小值为2
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ， ，则（ ）
A． B．若 ，则 的最小值为C． 取到最大值时， D．设 ，则数列 的最小项为
8．（2023春·福建泉州·高三泉州五中校考）数列 满足 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，数列 单调递增，数列 单调递减
三、填空题
9．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数 在定义域 内存在非零实数
，使得 ，则称函数 为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______．
① ；② ；③ ；④ ．
10．（2023春·四川成都·高一校联考）已知函数 满足 ，当 时，
不等式 恒成立，则实数a的取值范围为_________．
四、解答题
11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知函数 ，且函数 的值域为
．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 有三个不同的实数根，求实数k的取值范围．
12．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考）已知函数 ，函数
的值域为 ．
（1）若不等式 的解集为 ，求m的值；（2）在（1）的条件下，若 恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的不等式 的解集为 ，求实数c的值．
13．（2023春·江苏南通·高三阶段练习）已知函数 、 ．
（1）当c＝b时，解关于x的不等式 ＞1；
（2）若 的值域为[1， ），关于x的不等式 的解集为（m，m＋4），求实数a的值；
（3）若对 ， ， ， 恒成立，函数 ，且 的最大值为1，
求 的取值范围．
14．（2023春·河北邯郸·高三校考）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的点 的横坐
标为1，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线 交于 ､ 和 ､ 四点，求四边
形 面积的最小值．
15．（2023春·内蒙古·高三赤峰二中校考阶段练习）已知椭圆 的左右两个焦点分别
为 ， ，以坐标原点为圆心，过 ， 的圆的内接正三角形的面积为 ，以 为焦点的抛物线
的准线与椭圆C的一个公共点为P，且 ．
（1）求椭圆C和抛物线M的方程；
（2）过 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G，H两点，
求四边形 面积的最小值．16．（2023春·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）定义：若对定义域内任意x，都
有 （a为正常数），则称函数 为“a距”增函数．
（1）若 ， （0， ），试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若 ， R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若 ， （﹣1， ），其中k R，且为“2距”增函数，求 的最小值．
17．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
锐角 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 的面积为S，已知______．
（1）求角C的大小；
（2）求 的取值范围．
