文档内容
专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+18道拓展培优）
经典必考模型一 平移模型
经典必考模型二 轴对称模型
经典必考模型三 旋转模型
经典必考模型四 一线三等角模型
经典必考模型五 垂直模型
经典必考模型六 手拉手模型
经典必考模型七 半角模型
经典必考模型八 倍长中线模型
经典必考模型九 对角互补模型
经典必考模型十 角平分线模型
注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²；
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，
图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形 的顶点 在直线 上，将直线 向上平移线段
的长得到直线 ，直线 分别交 ， 于点 ， ．若求 的周长，则只需知道( )A． 的长 B． 的长 C． 的长 D．DF的长
1．（2024·河南周口·三模）如图，在 中， ， ， ， ，将
向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．（21-22七年级下·广东江门·期末）如图， 沿 所在直线向右平移得到 ，已知 ，
，则 的长为 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1， ， ，点C是 上一点，且 ，
．(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，若把 沿直线BD向左平移，使 的顶点C与点B重合，此时AC与BE互相垂直吗？
请说明理由．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对
称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在 和 中，点B，C，E，F在同一条直线上，
， ， ， ， ，则 的度数为（ ）
A．70° B．85° C．110° D．25°
1．（20-21八年级上·河南洛阳·期中）如图在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB∥CD， ABC和 AEC关
于AC所在的直线对称，AD和CE相交于点O，连接BE交AC于点P，图中全等三角形的△对数有（△ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中） 和 关于直线L对称，若 的周长为 ，
， ．则 ．
3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加
辅助线的常用策略．例如图 ， 中， 是 的平分线， 交 的延长线于点 ．如
图 ，延长 、 交于点 ，即可构造出轴对称图形 ，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为
解决问题提供思路．
迁移应用：
如图 ， 中，若 ， ， 是 的角平分线交 于点 ， 垂足
为点 ．若 ，求 的长．
【经典例题三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋
转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在 中， ， ，D、E是斜边 上两点，且 ，若 ， ， ，则 与 的面积之和为
（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 、 、
在同一条直线上．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标
是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是 ．
3．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在 中， ，点E为 上一动点，过
点A作 于D，连接 ．(1)【观察发现】
如图①， 与 的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中， 的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求 的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为 中点，探索 与 的数量关系．
【经典例题四 一线三等角模型】
模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）
【模型解读】
在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： + CE=DE
证明思路： +任一边相等
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件： + 任意一边相等
证明思路： +任一边相等
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在 中， ， ，直线 经
过点 ， 于点 ， 于点 ，求证： ．
应用：如图②，在 中， ， 三点都在直线 上，并且有 ．求
出 和 的关系．
拓展：如图①中，若 ，梯形 的面积______．
1．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块
墙，其中木块墙 ， ．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在 上，
点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 为（ ）A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中， ， ，点 是 上一点，连
接 、 ，若 ， ，则 的长为 ．
3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图1， ， ， ，P，Q分别为线段AB，
BD上任意一点．
(1)若 为 的中点，点 与点 重合，试说明 与 全等；
(2)如图2，若 ， ，求 ， ， 之间的数量关系；
(3)如图3，将“ ， ”改为“ （ 为锐角）”，其他条件不变．若 ，
，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．
【经典例题五 垂直模型】
【例5】（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点 处用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图，
表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从 摆到 位置，此时过点 作
于点 ，当小球摆到 位置时， 与 恰好垂直（图中的 均在同一平面
上），过点 作 于点 ．现已知 ，测得 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， ， 于点E，
于点D， ， ， 则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在 中， ， ， 于 ，
于 ， ， ，则 的长是 ．
3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）生活中的数学(1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为 ，③号正方体
边长 ，则 _________cm
(2)用10块高度都是 的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中 于点
于点 ，试判断 的数量关系，并说明理由．
【经典例题六 手拉手模型】
模型.手拉手模型（三角形）
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 。
【常见模型及证法】
（等
边）（等腰直
角）
（等
腰）
【例6】例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点
顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，若 ，
求 的度数．
1．（2022·福建·福州九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，且 ，点D在边BC上，连按AD，
将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：
AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
3．（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通
过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如
果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大
手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数
量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，
∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明
理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等
边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的
数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
【经典例题七 半角模型】
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与
半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半
角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
模型1.半角模型（90°-45°型）
【模型展示】
1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）
1）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC是等边三角形， BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
2）等边三角形半角模型（60°-30°型）
模型3.半角模型（ - 型）
条件：∠BAC= ，AB=AC，∠DAE= ；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°- 。
【例7】（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，
BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____．1．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形 内作 ， 交
2．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形 内作 ，
交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，若 ，则
的长为______．
2．（2022·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是
CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证
△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________；
（2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段
DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝
75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值．3．（2022秋·重庆綦江·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形 中，
， 分别是边 上的点，且 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形 中， ， 分别是边 上的点，且
；求证： ，
（3）如图3，在四边形 中， ， 分别是边 延长线上的点，
且 ，写出 之间的数量关系，并证明你的结论．
【经典例题八 倍长中线模型】
【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图 中， 是中线， ， ，
则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
1．（2023七年级下·全国·专题练习）在 中， ， ，则 边上的中线 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．无法确定
2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在 中， 为 边的中线， 为 上一点，连
接 并延长交 于点 ，若 ， ， ，则 的长为 ．
.
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在
中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到 ，使 ，请补充完整证明“
”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长 到点 ，使
在 和 中
（__________）
请补齐空白处
(2)由（1）的结论，根据 与 之间的关系，探究得出 的取值范围是__________；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，求
的长．
【经典例题九 对角互补模型】
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③ .
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .
模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ .
3）“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。
结论：①PB+PC= PA；
模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）
1）“2α对180°-2α模型”条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
【例9】在 中， ， ，将一块三角板的直角顶点放在斜边 的中点 处，将此
三角板绕点 旋转，三角板的两直角边分别交射线 、 于点 、点 ，图①，②，③是旋转得到的
三种图形．（1）观察线段 和 之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段 、 和 之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
1．（2023·广西八年级期中）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．
2. 在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF
与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE
＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
3．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点 是 的角平分线 上一点，连接 ，
，若 与 互补，则线段 与 有什么数量关系？
[探究]
探究一：如图②，若 ，则 ，即 ， ，又因为 平分
，所以 ，理由是：_______．
探究二：若 ，请借助图①，探究 与 的数量关系并说明理由．
[结论]点 是 的角平分线 上一点，连接 ， ，若 与 互补，则线段 与 的数量
关系是______．
[拓展]已知：如图③，在 中， ， ， 平分 ．求证： ．【经典例题十 角平分线模型】
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线、 于点A时，过点C作 .
结论： 、 ≌ .
图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D作 .
结论： 、 ≌ .（当 是等腰直角三角形时，还有 .）图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：① ；② ；③ .
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线， ，
结论：△AOC≌△BOC， 是等腰三角形、 是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF， 是等腰三角形、BE是三线合一等。
【例10】（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 平分 若 则
____．1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于
点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝
28°，求∠ABE的大小．
3．（2023·江苏·八年级期末）如图， 中， ， ， 平分 ， 则
的最大值为 ．
4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一动点，
于 ．（1）如图（1），若 平分 时，①求 的度数；②延长 交 的延长线于点 ，补全图形，探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点 作 于点 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想．
一、单选题
1．（2024·山西临汾·一模）如图1，一副三角尺的 是等腰直角三角形， ，
，O是斜边 的中点，含 角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，记作 ，
，直角边 与边 在同一条射线上．如图2，把 绕点O逆时针旋转， 与边 交于
点N， 与边 交于点M，得到下列结论．① ；② ；③四边形 的面积
为定值且为 ；④ ．其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在 中， ， ， 的平分线
交 于点D， ，交 的延长线于点E，若 ，则 长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， ， 于点E，
于点D， ， ， 则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图， 与 均为等腰三角形，
，连接 交于点F， 与 交于点G， 与 交于点
H，并连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ 平分 ；⑤
，正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形 中， 是 边上的高，分别以
为一边，向外作正方形 和 （正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接
和 与 的延长线交于点 ，下列结论：① ；② ；③ 是的中线；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在 中， 为
边上的点，且 ，连接 ，过 作 ，并截取 ，连接 交 于 ，则下列结
论：① ；② 为 的中点；③ ；④ ；其中正确的结论
共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， ， 于点 ，
于点 ， ， ，则 的长是 ．
8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ，过点B作 ，且使得
，连接AD．若 ，则 的面积为 ．9．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知点B是 边上的动点（不与A、C重合），在 的同
侧作等边 和等边 ，连接 交于点H， 交 于G， 交 于F，连接 ，则当
最小时， ．
10．（23-24八年级上·重庆江北·期末）如图，在 中， ，点D是边 上的一点，
过点B作 交 的延长线于点E，延长 至点F，使得 ，连接 交 于点H，连接
，若 ， ，则 的长度为 ．
11．（2024·贵州·模拟预测）如图， 中， ， 是中线，有下面四个结论：① 与
的面积相等；② ；③若点P是线段 上的一个动点（点P不与点A，D重合），
连接 ，则 的面积比 的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点
Q不重合），若 ，连接 ， ，则 ．所有正确结论的序号是( )12．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在 中， 为 边的中线， 为 上一点，连
接 并延长交 于点 ，若 ， ， ，则 的长为 ．
.
三、解答题
13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常
常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使 ，连接 ．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到 ，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得 的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，若
为 的中线，猜想 与 的数量关系并说明理由．14．（21-22九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几
何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形 中，以 为顶点的 ， 、 与 、 边分别交于 、 两点．易
证得 ．
大致证明思路：如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，由 可得 、 、
三点共线， ，进而可证明 ，故 ．
任务：
如图3，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点的 ， 、
与 、 边分别交于 、 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 是否依
然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型
图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．【问题发现】
（1）如图2，已知， 中， ， ，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足
分别为E，F．求证： ；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出 ， ， 之间的数量关系 ；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，则 的面积为 ．
（4）如图4，四边形 中， ， 面积为18且 的长为9，则
的面积为 ．
16．（2024七年级下·上海·专题练习）在四边形 中， ， ， ， 、
分别是 ， 上的点，且 ，在探究图1中线段 ， ， 之间的数量关系过程中．(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）
(2)小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，即可得出 ， ， 之间的数量关系是 ．
(3)如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立？并证明；
17．（23-24七年级上·山东泰安·期末）（1）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个
问题：如图1，在 中， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，过点B作直线 的平行线，交线段 的延
长线于点 ，可以判定 ，得出 ，这样就能把线段 集中
在 中，利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是：______ ______，
（2）【类比应用】如图2，在四边形 中， ，点E是 的中点，若 是 的平分线，
试判断 的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展创新】如图3，在四边形 中， 与 的延长线交于点F，E是 的中点，
是 的平分线，试判断 的数量关系，请直接写出你的结论．
18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在 和 中， ， ，
．(1)如图 ，当点 、 、 在同一条直线上时，求证： ；
(2)如图 ，当点 ， 、 不在同一条直线上时， 与 交于点 ， 交 于点 ，求证：
；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，连接 并延长 交 于点 ， 是一个固定的值吗？，若是，
求出 的度数；若不是，请说明理由，
