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专题 04 代数式规律性探索的两种考法全梳理
（高频与压轴题型）
目录
【考法一、数字类规律探索】.........................................................................................................1
【考法二、图形类规律探索】.........................................................................................................8
【课后练习】...................................................................................................................................12
【考法一、数字类规律探索】
例1．阅读下列材料：
，
，
，
读完以上材料，请你完成下列问题：
(1)根据以上材料，第四个等式是： _______，
第 个等式是： _______；
(2)计算： ；（用含 的式子表示）
(3)计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)29070
【分析】（1）根据题中规律即可写出；
（2）根据（1）中得到规律进行计算即可；
（3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可
【详解】（1） ，；
（2）解：原式
（3）解：原式
，
【点睛】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律
是解题的关键．
例2．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：
．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一
个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 表示．
如：数列 为等比数列，其中 ，公比为 ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列 的公比 为 ，第 项是 ．
【公式推导】如果一个数列 ，是等比数列，且公比为 ，那么根据定义
可得到： ．所以 ， ，
，
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式： ．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、
形式奇特．下面是小明为了计算 的值，采用的方法：
设 ①，则 ②，
得 ， ．
【解决问题】（3）请仿照小明的方法求 的值．【答案】（1）3；243；（2） ；（3）
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解；
（2）根据公式推导过程即可求解；
（3）根据例题的方法求得 ，然后错位相减法，即可求解．
【详解】解：（1）等比数列 的公比 为 ，
第四项为 ，第五项为 ，
故答案为：3，243；
（2） ， ， ，
，
故答案为： ；
（3）设 ①，
则 ②，
得 ，
．
变式1．观察下列等式．
， ， ，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
(1)猜想并写出： ______．
(2)直接写出下列各式的计算结果：
① ______；
② ______．
(3)探究并计算：
① ．
② ．【答案】(1)
(2)① ，②
(3)① ②
【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；
解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
【详解】（1）解： ，
故答案为 ．
（2）① ，
②
故答案为 ， ．
（3）①
②
变式2．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成
表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规
律回答下列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）由题意可求得当 时，多项式 的第三项的系数是多少，
找到规律，即可得出答案；
（2）求得当 时，多项式 展开式的各项系数之和，找到规律，即可求
得答案；
（3）①首先确定 是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将 代入求
解即可．
【详解】（1）解：当 时，多项式 的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为： ；
……
多项式 的展开式是一个 次 项式，第三项的系数为： ；
故答案为： ；
（2）解：当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
……
多项式 展开式的各项系数之和为 ，
故答案为： ；
（3）解：① ，
展开式中含 项是其展开式的第二项，
，
故答案为： ；
② ， 当 时，令 ，
则 ，
．
【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规
律，再表示展开式．
变式3．[观察下列等式]， ， ，
将以上三个等式两边分别相加得：
[尝试计算]：
（1） ；
（2） ；
[运用说明]：
（3）设 …试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查数字的变化规律．
（1）通过观察可得原式 ，再运算即可；
（2）通过观察可得原式 ，再运算即可；
（3）由 ， ， ，推出 ， ， ，据此求解即可．
【详解】解：（1）
；
故答案为： ；
（2）
；（3） ，理由如下，
∵ ， ， ， ， ，
又∵ ， ， ， ，
，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【考法二、图形类规律探索】
例．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以
下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，
这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为 ，如果图①-④中各有
11层.
(1)图①中共有___________个圆圈：
(2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底
层最左边圆图的数是___________.
(3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数 求图④所有
圆圈中各数的绝对值之和.
【答案】(1)66
(2)56
(3)1179
【分析】（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和；
（2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数；
（3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可．【详解】（1）解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11= =66个圆圈；
故答案为：66；
（2）当有10层时，共有：1+2+3+…+10= =55个圆圈
则第11层最左边圆图的数是56，故答案为：56；
（3）当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为 ，其中
23个负数，1个0，42个正数，∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和：
=
= =1179
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的
规律，并应用发现的规律解决问题．
变式1．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
____
__＋______
（2）观察猜想，写出第 个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出 的值．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）
；（3）20201
【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第 个点阵相对应的等式；
（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可．
【详解】解：（1）由图可得： ， ，
故答案为： ， ， ， ；
（2） 第1个点阵：
第2个点阵：
第3个点阵：
第 个点阵相对应的等式为：
；
（3）由（2）可得：
，
，
，
．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第 个点
阵相对应的等式为： ，是
解题的关键．
变式2．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．【规律发现】
（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
【规律应用】
（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的
图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．
【答案】（1）15，20；（2） ， ；（3）13，57
【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规
律．
（1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解；
（2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为 个，然后倒序相加，
即可求解；
（3） ，解得 （舍负），∴n最大为13，即可求解．
【详解】（1）解：第1图中黑子为1个，
第2个图中黑子为 个，
第3个图中黑子为 个，
第4个图中黑子为 个，
第5个图中黑子为 个；
第1图中白子为 个，
第2个图中白子为 个，
第3个图中白子为 个，
第4个图中白子为 个，
第5个图中白子为 个；
故答案为：15，20．
（2）解：由（1）第n个图中黑子为 个，
令 为①式； 为②式，则①+②得：，由n个 ，
∴ ，∴第n个图案中“●”的个数为 ；
由（1）得第n个图案“○”的个数为 ，
故答案为： ， ．
（3）解：若 ，解得 （舍负），∴n最大为13，
那么使用白子为 个，黑子为 个，剩余 个，
故答案为：13，57．
【课后练习】
1．有一列数 ，其中 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出
的值，可以发现结果为 ， ， ， ， ， ，每三个一循环，根据
即可得出结果．
【详解】解： ， ， ，
，
这列数是 ， ， ， ， ， ，且这列数是每三个一循环的，
， ，
，
故选：A．
2．有一列数 ，将这列数中的每个数求其相反数得到 ，再分别求与1的和的倒数，得到 ，设为 ，称这为一次操作，第二次操作是将
再进行上述操作，得到 ；第三次将 重复上述操作，得
到 ……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个
① ， ， ， ；② ；
③ ；④ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存
在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．
【详解】解：由题意得： ， ， ， ，
， ， ， ，故①正确；
， ， ， ，故②正确；
∵ ，
∴ 是由 经过503次操作所得，
∵ ， ， ， ，
∴ 、 、 、……，三个为一组成一个循环，
∵ ，
∴ ，故③错误；
依次计算： ， ， ， ，…，
则每3次操作，相应的数会重复出现，
，
，．故④错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：C．
3．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅
图形中“●”的个数为 ，第2幅图形中“●”的个数为 ，第3幅图形中“●”的个数
为 ，…，以此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【详解】解： ， ， ， ， ， ；
，
故选：D．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
4．如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8
个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第
13个图形中●的个数为（ ）．
A．92 B．96 C．103 D．118【答案】D
【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1），据此可得．
【详解】因为图①中点的个数为4=22-0，
图②中点的个数为8=32-1，
图③中点的个数为13=42-（1+2），
图④中点的个数为19=52-（1+2+3），
……
所以图10中点的个数为112-（1+2+3+…+9）=121-45=76，
故选：D．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中点
的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1）．
5．a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3的哈利数”是 ，
的“哈利数”是 ，已知 ， 是 的“哈利数”， 是 的“哈利
数”， 是 的“哈利数”，…，依此类推，则 ．
【答案】 /
【分析】此题主要考查规律型：数字的变化类，能根据题中提供材料寻找规律方法，熟练
的进行计算是解题的关键．
分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
，
，故答案为： ．
6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第 组： ， ；
第 组： ， ， ， ；
第 组： ， ， ， ， ， ；
第 组： ， ， ， ， ， ， ， ；
现用 表示第 组从左往右数第 个数，则 表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含 的代数
式表示出第 组最后一个数，判断出第 组最后一个奇数，进而可得答案，找到数字类规
律是解题的关键．
【详解】依题意得：第 组中奇数的个数有 个，
∴第 组最后一个奇数为： ，
∴当 时，第 组最后一个奇数为： ，
当 时，第 组从左往右奇数依次是为： ， ， ， ， ， ，
则 表示的数是 ，
故答案为： ．
7．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3
个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三
角形， 依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ．
【答案】85
【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律
是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为 个；三角形有 个，再求出第
10个图案点的个数为 个；三角形有 个，问题得解．
【详解】解：由所给图案可得
第1个图案点的个数为 个；三角形有1个；第2个图案点的个数为 个；三角形有 个；
第3个图案点的个数为 个；三角形有 个；
……
所以第n个图案点的个数为 个；三角形有 个；
所以第10个图案点的个数为 个；三角形有 个，
所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 个．
故答案为：85
8．如图，是一回形图，其回形通道的宽和 的长均为1，回形线与射线 交于 ， ，
，…．若从 点到 点的回形线为第1圈（长为7），从 点到 点的回形线为第2圈，
…，依此类推．则第11圈的长为
【答案】87
【分析】本题考查了图形变化的规律．根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，
逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．
【详解】观察图形发现：
第一圈的长是 ；
第二圈的长是 ；
第三圈的长是 ；
……
则第n圈的长是 ．
当 时，原式 ．
故答案为87．
9．观察下列各式： ； ； ； ； ；
(1)探索式子的规律，试写出第 个等式；
(2)运用上面的规律，计算 ；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（ ）根据式子的规律，可得 ；
（ ）利用（ ）的结论递推，得出答案即可；
（ ）把式子乘 递推得出答案即可；
本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ； ； ； ； ，
∴第 个等式为 ；
（2）解：
，
，
；
（3）解：
，
，
．
10．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，
部分③是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是______；
(2)以下是甲，乙两位同学求 的方法；
甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；
乙同学的方法： ①
②
②－①即可．
根据两位同学的方法，你认为 ______；(3) ______；
(4)计算： ；
(5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数
的运算是解题的关键．
（1）根据 ，计算求解即可；
（2）甲同学： ；乙同学： 得， ，计算求解即可；
（3）设 ，则 ， ，计
算求解即可；
（4）同理（3）计算求解即可；
（5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的 ，依此类推，
则图中阴影部分的面积为 ，可得一般性规律为
，整理得 ，然后求解即可；
乙同学：令 ，则 ，
，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，故答案为： ；
（2）解：甲同学： ；
乙同学： ①， ②
得， ，故答案为： ；
（3）解：设 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ；
（4）解：令 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
（5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的 ，依此
类推，
则图中阴影部分的面积为 ，
∴可得一般性规律为： ，整理得
，
∴ ；
乙同学：令 ，则 ，∴ ，
解得， ，
∴ 的值为 ．
