文档内容
思想 03 运用函数与方程的思想方法解题
目 录
01 运用函数的思想研究问题................................................................................................................1
02 运用方程的思想研究问题................................................................................................................5
03 运用函数与方程的思想研究不等式问题.......................................................................................12
04 运用函数与方程的思想研究其他问题...........................................................................................17
01 运用函数的思想研究问题
1．（2024·北京延庆·统考一模）已知函数 其中 .
（1）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；
（2）若函数 在 上存在最大值和最小值，求a的取值范围.
【解析】（1） .
所以切线的斜率 ；又
所以曲线 在原点处的切线方程为： .（2）
当 时， 解得
则 时 随 的变化情况如下表：
0
0
递增 递减
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
若 存在最小值，则 时，
恒成立，即 ，
所以 即 在 恒成立，
所以 .又因为 ，所以 ，则 .
当 时， 解得
则 时 随 的变化情况如下表：
0
0
递减 递增
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，
若 存在最大值，则 时，
恒成立，即 ，
所以 即 在 恒成立，
所以 .又因为 ，所以 ，则 .
综上所述， 的取值范围为 .
2．（2024·江西上饶·统考二模）已知函数 .( 是自然对数的底数)
（1）求 的单调区间；
（2）记 ， ，试讨论 在 上的零点个数.(参考数据： )
【解析】（1） ，定义域为 .
，
由 ，解得 ，可得 ，
解得 ，
由 ，解得 ，可得 ，
解得 .
∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由已知 ，∴ ，令 ，则 .∵
，∴当 时， ；当 时， ，∴ 在 上单调递增，在上单调递减，即 在 上单调递增，在 上单调递减.
， ， .
①当 时，即 时， ，∴ ，使得 ，∴当 时，
；当 时， ，∴ 在 上单调递增， 上单调递减.∵ ，∴
.又∵ ，∴由零点存在性定理可得，此时 在 上仅有一个零点.
②若 时， ，又∵ 在 上单调递增，在 上单调递减，而
，∴ ， ，使得 ， ，且当 ､
时， ；当 时， .∴ 在 和 上单调递减，在 上单
调递增.
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，由零点存在性定理可得， 在 和 内各有一个零点，即此时 在
上有两个零点.
综上所述，当 时， 在 上仅有一个零点；当 时， 在 上有两个零点.
3．（2024·四川南充·高三四川省阆中东风中学校校考阶段练习）已知函数 ，其
中 为常数，且 .
（1）当 时，求 的单调区间；（2）若 在 处取得极值，且在 的最大值为1，求 的值.
【解析】（1） ， ，令 ，得 或1，则列
表如下：
1
+ 0 _ 0 +
极小
增 极大值 减 增
值
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）∵ ，
令 ， ， ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，
① 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上的最大值为 ，令 ，解得 ；
②当 ， ；
(i)当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以最大值1可能在 或 处取得，而 ，
∴ ，
∴ ，(ii)当 时， 在区间 上单调递增； 上单调递减， 上单调递增，
所以最大值1可能在 或 处取得而 ，
所以 ，解得 ，与 矛盾；
(iii)当 时， 在区间 上单调递增，在 单调递减，
所以最大值1可能在 处取得，而 ，矛盾，
综上所述， 或 .
02 运用方程的思想研究问题
4．已知函数 ， ，若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均
相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设函数 上的切点坐标为 ，且 ，函数 上的切点坐标为
，且 ，
又 ，则公切线的斜率 ，则 ，所以 ，
则公切线方程为 ，即 ，
代入 得： ，则 ，整理得 ，
若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则方程 有两个不同的实根，
设 ，则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
又 可得 ，则 时， ； 时， ，则函数 的大致图象如
下：
所以 ，解得 ，故实数a的取值范围为
故选：
5．（多选题）已知O为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，
则（ ）
A． B．
C． 的最大值为0 D．当 时，
【答案】AB
【解析】
易知曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
而曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，
因此直线 与直线 重合，
所以 得 ，所以 ，故A正确；
，可得 ，所以
即 ，得 ，B对．
，
，得 或 时， ，即 故C错误；
， ，则 ，得 在 单调递增， ，
故 ， ，
令 ，则 ，得 在 单调递增， ，
，D错．
故选
6．（多选题）已知 ， 为函数 图象上两点，且 轴，直
线 ， 分别是函数 图象在点A，B处的切线，且 ， 的交点为P， ， 与y轴的交点分别为M，
N，则下列结论正确的是（ ）A．
B．
C． 的面积
D．存在直线 ，使 与函数 图象相切
【答案】ACD
【解析】
由题意： ，在A点斜率 ，在B点斜率 ， ，故A正确；
由 且 ，得 ，则 ，即存在 使得 如：
等 ，故B错误；
切线 为： ，切线 为： ，
则 ，
由切线方程解得：点P的横坐标为 ，所以 ，C正确；
函数 在点 处切线方程为 ，
对比切线 有： ，解得 ，
所以 有解，
也即 ，也即 ，令 ，
求导有： ，所以 在 上单调递增，又因为 时， 时， ，所以 有解．
所以存在直线 与函数 图象相切，故D正确．
7．已知 ，函数
讨论 在 上的单调性；
已知点
若过点P可以作两条直线与曲线 相切，求m的取值范围；
设 函 数 若 曲 线 上 恰 有 三 个 点
使得直线 与该曲线相切于点 ，写出m的取值范围 无需证明
【解析】 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上所述，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
设切点为 ，
因为 ，所以切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，因为切线过点 ，所以 ，
即 ，
若过点P可以作两条直线与曲线 相切，
则上述关于 的方程有两个不同的解，
显然 不是该方程的解，
所以关于x的方程 在 上有两个不同的解，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 ， ，
所以当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，
的大致图象如下图所示：因为 ，
， ，
所以当 时，
关于x的方程 在 上有两个不同的解，
此时过点P可以作两条直线与曲线 相切，
所以m的取值范围为 ；
由 得，过点P可以作一条直线与曲线 相切，
则当 时，曲线 上恰有两个点处得切线过点 ，
由 ，得 ，
由 ， ，得 ，
所以函数 ， 与 互为反函数，
则函数 ， 与 关于 对称，
因为点 在直线 ，则曲线 上恰有两个点处得切线过点 ，
即为过点P可以作两条直线与曲线 相切，
由 得，此时 ，
所以m的取值范围为
8．已知函数
若曲线 与 在公共点 处有相同的切线，求实数 的值；
若 ，且曲线 与 总存在公共的切线，求正数a的最小值．
【解析】 ，
依据题意得 ，即 ，解得
，
当 时， ， ，
设切点为 ，则 ，
曲线 在点 处的切线方程为： ，
即
由 消去y，整理得 ，总存在公切线，
总有解，
即关于t的方程 总有解．
，
，解得 ，
方程 总有解．
令 ，
则 ，
由 ，即 ，解得 ，
则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
，
，解得 ，
正数a的最小值为
根据导数的几何意义可求得函数 在点 处的切线方程为 ，由得 ， 由 两 曲 线 总 存 在 公 切 线 可 得
有解，即关于t的方程 有解，分离参数
后转化为函数的最值问题求解即可．
03 运用函数与方程的思想研究不等式问题
9．（2024·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知对任意的 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】由不等式恒成立构造 ，只需 成立：利用导函数研究 单调性
知 使 ，此时得 ，而 ，构造 得到
时 恒成立，进而可求 的取值范围.由题意，对任意的 不等式 恒成立，
令 ，则 ， ，
∴ 在 上单调增，且 使 ，即 ，
∴ 在 上递减， 上递增，
故： ，即 ，
而 在 上单调增，又 ，
∴ ，即有 时 恒成立，
∴ ，
故答案为： .10．（2024·浙江宁波·高二宁波诺丁汉附中校考期中）已知不等式 （ ，且
）对任意实数 恒成立，则 的最大值为 .
【答案】 .
【解析】令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，
则f′（x）＝1﹣ （x＞0），
若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→﹣∞，不合题意；
∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，
当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x＝m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，
即n﹣3≤m+1﹣（m+3）ln（m+3），
≤ ，
令g（x）＝ ，
则g′（x）＝ ．
当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，
∴当x＝﹣1时，g（x）有最大值为﹣ln2．
即 的最大值为﹣ln2 ．
故答案为： .
11．（2024·江苏南京·校考模拟预测）设 ，两个函数 ， 的图像关于直线 对称.
（1）求实数 ， 满足的关系式；
（2）当 取何值时，函数 有且只有一个零点；
（3）当 时，在 上解不等式 .
【解析】（1）设 是函数 图像上任一点，则它关于直线 对称的点 在函数的图像上，∴ ，∴ .
（2）当 时，函数 有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函
数关于直线 对称，∴两个函数图像的交点就是函数 的图像与直线 的切点.
设切点为 ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴当 时，函数 有且只有一个零点 ；
（3）当 时，设 ，则 ，当 时，
， ， ，
当 时， ， ， .
∴ 在 上是减函数.
又 ，∴不等式 解集是 .
12．（2024·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）已知 为实数， ．对于给定的一组有
序实数 ，若对任意 ， ，都有 ，则称 为
的“正向数组”．
(1)若 ，判断 是否为 的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若 为 的“正向数组”，则对任意 ，都有 ；
(3)已知对任意 ， 都是 的“正向数组”，求 的取值范围．【解析】（1）若 ， ，
对 ，即 ，
而当 ， 时，
， ，
即 ，不满足题意.
所以 不是 的“正向数组”.
（2）反证法:假设存在 ,使得 ,
为 的“正向数组”，
对任意 ,都有 .
对任意 恒成立.
令 ，则 在 上恒成立，
，
设 ，
，
则当 时， 在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，当 ， ，当 ， ，
即存在 ，使 在 上为正，在 上为负，在 上为正，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，则 的值域为 ；
若 ， ， 在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，则 的值域为 .
当 时， ， 在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，
必存在 ，使 在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，则 的值域为 .
由值域可看出，与 在 上恒成立矛盾.
对任意 ，都有 .
（3） 都是 的“正向数组”，
对任意 ， ，都有
，
则 恒成立或 恒成立，
即 恒成立或 恒成立，设 ，
则 ，
即 是 的最大值或最小值.
，
且 .
当 时，由（2）可得， 的值域为 ，无最大值或最小值；
当 时， 在 上单调递增，
又 ，则 在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 是 的最小值，满足 ，
此时对任意 ， ，都有
.
的取值范围是 .
04 运用函数与方程的思想研究其他问题
13．（2024·浙江衢州·衢州二中校考一模）如图，在 中， ， ，若平面ABC
外的点P和线段AC上的点D，线段BC上的点Q，满足 ， ，则四面体 的体积的
最大值是 ；当 体积取最大值时， .【答案】
【解析】由题意可知 是由 绕 旋转而得到的，
故当四面体 的体积最大时，平面 平面 ．
在 中，由余弦定理可得 ，
设 ，
则 ，
，
，
到 的距离为 ，
即 到平面 的距离为 ．
四面体 的体积 ，
所以 ，
设
因为 ，所以 .
设 所以函数 在 单调递增，所以 ，
所以 .
当 体积取最大值时， 为 的中点， , 平面 ，
过点P作 连接DE,则 .
故
所以 .
的最小值为 ．
故答案为：(1). (2).
14．（2024·重庆·一模）正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为
许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：
，其中 表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的
函数，而 表示正弦信号的幅度， 是正弦信号的频率，相应的 为正弦信号的周期， 为正弦信
号的初相.由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号
作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标
是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为 ， ， ， （单位：Ω）. 和 是两个输入信号， 表示的是输出信号，根据加法器的工作原理， 与 和 的关系为：
.例如当 ，输入信号 ， 时，
输出信号： .
(1)若 ，输入信号 ， ，求 的最大值；
(2)已知 ， ， ，输入信号 ， .若
（其中 ），求 ；
(3)已知 ， ， ，且 ， .若 的最大值为 ，求满足
条件的一组电阻值 ， .
【解析】（1）由题意得， ，则 的最大值为
；（2）由题意知， ，
整理得 ，
即 ，则 ，解得 ；
（3）由题意得，
，
又 ，则 ，当 时， 取得最大值 ，
则 ，整理得 ，即 ，解得 ，
又 ，则 ，取 即满足题意，则 （答案不唯
一）.
15．（2024·河南·校联考模拟预测）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知当 时， ，证明： .
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
因为 ，可得 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ，即数列 的通项公式为 .
（2）由 ，可得 ，
则 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
故 ，
.
所以 .
16．（2024·浙江金华·高三阶段练习）已知数列 的各项均为非负实数，且对任意正整数 ，均有
.
(1)若 成等差数列，证明：存在无穷多个正整数 ，使得 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【解析】（1）由 ，
则 ，
故 中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列，又 成等差数列，故 ，
所以 ，
又 ，
当 时， ，当 时， ，
所以对于 ，当 或 时，等号恒成立，证毕；
（2）由上可知 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
又因为数列 的各项均为非负实数，所以 ，即 ，
由对勾函数得单调性可知当 时， ，
此时 .
17．（2024·浙江温州·高二统考期末）已知点 在双曲线C： 上，
(1)求C的方程；
(2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点
M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为 与 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由点 在双曲线 上，可得 ，解得 ，所以双曲线 的方程为 .
（2）由直线 垂直于 ，可得直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
因为直线 与双曲线 的右支交于 两点，
则 ，解得 ，
可得 ，
则
，
又由点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，令 ，可得 ，
直线 的方程为 ，令 ，可得则
，
所以 的面积 ，
又由 ，则 ，
令 ，
可得函数 在 上单调递减，且 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
