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第三篇 思想方法篇
思想01 函数与方程思想（讲）
考向 速览
方法技巧 典例分析
1.函数与方程思想的含义
(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或
构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,
或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
(3) 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，
方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数
y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a
有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
2.高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查,特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几
何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深
的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.
3.常见方法：
（1）运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的
定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
（2）利用函数性质求解方程问题
函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．
（3）构造函数解决一些数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化
难为易的效果.01 函数与方程思想在方程、不等式中的应用
【核心提示】
1.函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可
解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2.含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题与转化为函数的值域问题，
从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：
①灵活转化：
（1）“关于x的不等式 f (x)g(a) 在区间D上恒成立”转化为“ f min (x)>g(a) ”；
（2）“关于存在
x∈D
使得不等式
f (x)g(a)
成立”转化为“
f
max
(x)>g(a)
”；
②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；
③得出结论，列出参数a所满足的方程，通过解方程，求出a的值．
【典例分析】
典例1.（2022·浙江·统考高考真题）已知 ，若对任意 ，则（ ）
A． B． C． D．
典例2.（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
典例3.【多选题】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
02 函数与方程思想在数列中的应用
【核心提示】
数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范
围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.
【典例分析】典例4.（2022·全国·高二课时练习）设数列 为等差数列，其前n项和为 ，已知 ，
，若对任意 都有 成立，则 的值是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
典例5.（2023·河南·校联考模拟预测）记正项数列 的前 项和为 ，且满足
.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是__________.
典例6.（2021·全国·统考高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
03 函数与方程思想在解析几何中的应用
【核心提示】
1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线
的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化
为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答 .
2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中
的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解
决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
【典例分析】
典例7.（2021·全国·统考高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2典例8.（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方程
为： ， 为坐标原点，点 ，点 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是
________.
①卵圆 关于 轴对称
②卵圆上不存在两点关于直线 对称
③线段 长度的取值范围是
④ 的面积最大值为
典例9.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
04 函数与方程思想在立体几何中的应用
【核心提示】
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
【典例分析】
典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球
面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例12. （2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中， ， ， ．若四面体ABCD的体积为 ，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．
05 函数与方程思想在平面向量中的应用
【核心提示】
1.平面向量问题的函数( 方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问
题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：
①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参
数的函数(方程)；
②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；
③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．
2.平面向量中含函数(方程)的相关知识，对 平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利
用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．
【典例分析】
典例13.（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例14.【多选题】（2023·全国·模拟预测）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.
博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置
的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（
）
A．B．若 ，则
C．
D．设Z为线段AK上任意一点，则 的取值范围是
典例15.（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形 中，P是对角线
上一点，且 ，则 __________，若点M为线段 （含端点）上的动点，则 的
最小值为__________．
06 函数与方程思想在概率统计中的应用
【核心提示】
利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为
个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，
其实题目反映的都是最简单的公式（比如利润=收入—成本），所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常
识.【典例分析】
典例16.（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在
甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为 .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯
个数之和为 ，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为 ，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为D．当 时，
典例17.（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量
的取值集合均为 ，则 的散度 .若 ， 的概率分布
如下表所示，其中 ，则 的取值范围是__________.
0 1
0 1
典例18.（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为
第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的
且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一
个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
