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高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础
性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组
合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录
和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与
化归思想等.
第 1 讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认
识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方
程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
方法一 运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函
数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
{(3a-1)x+4a(x<1),
例1 (1)已知函数f(x)= a 满足对任意的实数x ，x 且x ≠x ，都有[f(x )-f(x )](x -
(x≥1), 1 2 1 2 1 2 1
x
x )<0，则实数a的取值范围为( )
2
[1 ) [ 1)
A. ，1 B. 0，
7 3
[1 1) [1 )
C. ， D. ，1
6 3 6
思路分析 [f(x )-f(x )](x -x )<0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1左侧的函数值不小于右侧的函数值.
1 2 1 2
答案 C
解析 对任意的实数x ≠x ，
1 2
都有[f(x )-f(x )](x -x )<0，
1 2 1 2f(x )-f(x )
1 2
即 <0成立，
x -x
1 2
{
3a-1<0,
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数，可得 a>0,
3a-1+4a≥a,
[1 1)
解得a∈ ， .
6 3
批注 在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，
且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即
f(1)，这是解题的一个易忽视点.
(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数
π
f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cos x是“ 同比不增函数”，则实数k的取值范围是( )
3
[3 ) ( 3]
A. ，+∞ B. -∞，-
π π
[ 3 ) ( 3]
C. - ，+∞ D. -∞，
π π
π ( π)
思路分析 f(x)为“ 同比不增函数”→f x+ ≤f(x)恒成立→分离参数求最值.
3 3
答案 B
π
解析 因为函数f(x)=kx+cos x是“ 同比不增函数”，
3
( π)
所以f x+ ≤f(x)，
3
( π) ( π)
即k x+ +cos x+ ≤kx+cos x，
3 3
kπ ( π)
故 ≤cos x-cos x+
3 3
( π π)
=cos x- cosxcos -sinxsin
3 3
√3 1 ( π)
= sin x+ cos x=sin x+ 恒成立，
2 2 6
( π)
又因为sin x+ =-1，
6
min
kπ 3 ( 3]
因此 ≤-1，故k≤- ，即k∈ -∞，- .
3 π π批注 本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的
最值问题.
[规律方法] 解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定
义推导即可.
方法二 利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等
式问题.
例2 (1)已知函数f(x+2)=log (3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为( )
3
A.(-∞，-2]
[ 4]
B. -2，
3
C.(-∞，-2]∪[0，+∞)
[4 )
D.(-∞，-2]∪ ，+∞
3
思路分析 解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.
答案 B
解析 设g(x)=f(x+2)=log (3x+3-x)，
3
则其定义域为R，
因为g(-x)=log (3-x+3x)=g(x)，
3
所以g(x)为偶函数，
所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
设y=3x+3-x，
则y'=3xln 3-3-xln 3=(3x-3-x)ln 3，
令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0，
所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，
因为函数y=log x为增函数，
3
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，
因为f(a-1)≥f(2a+1)，
所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，
所以(a-3)2≥(2a-1)2，化简得(a+2)(3a-4)≤0，
4
解得-2≤a≤ .
3[ 4]
所以实数a的取值范围为 -2， .
3
(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2 023(x-1)=-1，(y-1)3+2 023(y-1)=1，则x+y= .
思路分析 观察两方程形式特征→借助函数f(t)=t3+2 023t的单调性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.
答案 2
解析 令f(t)=t3+2 023t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.
由f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y)，
可得x-1=1-y，则x+y=2.
[规律方法] 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.
方法三 构造函数解决数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁
为简、化难为易的效果.
( π π)
例3 已知ε>0，x，y∈ - ， ，且ex+εsin y=eysin x，则下列关系式恒成立的为( )
4 4
A.cos x≤cos y B.cos x≥cos y
C.sin x≤sin y D.sin x≥sin y
sinx sin y sinx sin y sinx
思路分析 ex+εsin y=eysin x→ = →由ex+ε>ex放缩等式→ 与 的关系→构造f(x)= ，x∈
ex+ε ey ex ey ex
( π π)
- ， →利用函数的性质求解.
4 4
答案 A
sinx ( π π)
解析 构造f(x)= ，x∈ - ， ，
ex 4 4
cosx-sinx
则f'(x)= ，
ex
( π π)
当x∈ - ， 时，cos x>sin x，
4 4
cosx-sinx
f'(x)= >0，
ex
sinx ( π π)
所以f(x)= 在 - ， 上单调递增，
ex 4 4
因为00，eε>1时，
ex+ε ey
sin y sinx
则01时，
ex+ε ey
sinx sin y
则sin x
