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第 2 讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思
想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，
能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
{|log x|,0<x<2,
例1 (1)(多选)已知函数f(x)= 2 若f(x)=a有四个不同的实数根x ，x ，x ，x ，且满足
x2-8x+13,x≥2, 1 2 3 4
x <x <x <x ，则下列命题正确的是( )
1 2 3 4
A.0<a<1
B.x x =1
1 2
[ 21)
C.x +x +x +x 的取值范围是 10，
1 2 3 4 2
D.2x +x 的取值范围是[2√2，3)
1 2
{-x2+2x,x≤0,
(2)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
ln(x+1),x>0,
A.(-∞，0] B.(-∞，1]
C.[-2，1] D.[-2，0]
[规律方法] 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y=f(x)
与y=g(x)图象的位置关系.
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一
些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
例2 若|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的取值范围是( )
A.[0，2√2+2] B.[0，2]
C.[2√2-2，2√2+2] D.[2√2-2，2][规律方法] 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑
直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式
——可考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
x2 y2
例3 已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-4)2+
4 3 1 2
(y-3)2=1上任意一点，则|MN|-|MF |的最小值为 .
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[规律方法] 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函
数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.答案精析
例1 (1)ABD (2)D
例2 D [∵|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，
令⃗OA=a，
⃗OB=b， ⃗OC=c， ⃗OD=a+b，
∵(a-c)·(b-c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a+b-c|表示C，D两点间的距离|⃗CD|.
|⃗CD|的最大值是|⃗AD|=|⃗BD|=2，
|⃗CD|的最小值为
|⃗OD|-2=2√2-2.
∴|a+b-c|的取值范围是[2√2-2，2].]
例3 3√2-5
解析 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E上任意一点，
则|MF |+|MF |=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E三点共线时，等号成立，
1 2
∴|MN|-|MF |=|MN|-(4-|MF |)=|MN|+|MF |-4
1 2 2
≥|ME|+|MF |-5≥|EF |-5，
2 2
当且仅当M，N，E，F 四点共线时，等号成立.
2
∵F (1，0)，E(4，3)，
2
则|EF |=√(4-1) 2+(3-0) 2=3√2，
2
∴|MN|-|MF |的最小值为3√2-5.
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