文档内容
思想 01 运用分类讨论的思想方法解题
目 录
01 由情境的规则引起的分类讨论........................................................................................................1
02 由定义引起的分类讨论...................................................................................................................2
03 由平面图形的可变性引起的分类讨论.............................................................................................3
04 由变量的范围引起的分类讨论........................................................................................................4
05 由空间图形的可变性引起的分类讨论.............................................................................................5
01 由情境的规则引起的分类讨论
1．三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（
）
A． B． C． D．
2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有
两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表
所示所用时间 天数 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期 某月某日 的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发 将频
率视为概率 ，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车 A和汽车B选择的最佳路径分别为
（ ）
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
3．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小
球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连
号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两
个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成
万元 的经济损失．为防止洪水的爆发，现有 四种相互独立的预防措施可供采用，
单独采用 预防措施后不爆发洪水的概率为 ，所需费用为
万元
若联合使用 和 措施，则不爆发洪水的概率是多少?
现在有以下两类预防方案可供选择：
预防方案一：单独采用一种预防措施；
预防方案二：联合采用两种不同预防措施．
则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案?总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值
02 由定义引起的分类讨论
5．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数
每个比1大的正整数 要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘
积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于 1的自然数 不为素数 能唯一地写成
其中 是素数， 是正整数， ， ，将上式称为自然数N的标
准分解式，且N的标准分解式中有 个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共
可以组成不同的三位数的个数为（ ）
A．6 B．13 C．19 D．60
6．（多选题）已知函数 有两个不同的零点 ， ，符号 表示不超过x的
最大整数，如 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．a的取值范围为
B．a的取值范围为
C．D．若 ，则 a的取值范围为
7．（多选题）定义 为数列 的“优值”．已知某数列 的“优
值” ，前n项和为 ，则（ ）
A．数列 为等差数列 B．数列 为递减数列
C． D． ， ， 成等差数列
8．若函数 的定义域为 ，对任意的 ， ，当 时，都有 ，则称
函数 是关于D关联的．已知函数 是关于 关联的，且当 时， 则：①
当 时，函数 的值域为__________；②不等式 的解集为__________．
03 由平面图形的可变性引起的分类讨论
9．（多选题）已知圆M： ，直线l： ，下面四个命题中是真命题
的是 （ ）
A．对任意实数k与 ，直线l和圆M相切；
B．对任意实数k与 ，直线l和圆M有公共点；
C．对任意实数 ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数 ，使得直线l与和圆M相切
10．已知直线 与 交于A、B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值__________
11．设椭圆 的离心率为 ，其左焦点到 的距离为
求椭圆E的方程；
椭圆E的右顶点为D，直线 与椭圆E交于A，B两点 不是左、右顶点 ，若其满足
，且直线l与以原点为圆心，半径为 的圆相切；求直线l的方程．
12．已知椭圆C： 的离心率为 ，且椭圆上动点P到右焦点最小距离为
求椭圆C的标准方程；
点M，N是曲线C上的两点，O是坐标原点， ，求 面积的最大值．
04 由变量的范围引起的分类讨论
13．已知关于 x 的不等式 在 上恒成立，则实数 t 的取值范围是
__________．
14．已知函数当 ， 时，求 的单调区间；
若 在区间 内存在极值点
求实数k的取值范围；
求证： 在区间 内存在唯一的 ，使 ，并比较 与 的大小，说明理由．
15．已知函数 为自然对数的底数
若不等式 恒成立，求实数x的取值范围；
若不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围
16． 证明：当 时， ；
已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
05 由空间图形的可变性引起的分类讨论
17．如图，正方体 的棱长是 若G，E是所在棱的中点，F是正方形 的中
心，则封闭折线BGFF在该正方体各面上的射影围成的图形的面积不可能是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在 中， ， ， ，点D是边 端点除外 上的一动点．若将 沿直线 CD 翻折，能使点 A 在平面 BCD 内的射影 落在 的内部 不包含边界 ，且
设 ，则t的取值范围是__________．
19．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直， ，点P在线段EF上．
给出下列命题：
①直线 直线AC；
②直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是 ；
③存在点P，使得直线 平面ACF；
④存在点P，使得直线 平面
其中所有真命题的序号是__________．
20．直棱柱 中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为 过三条侧棱中点的
截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原
三棱柱之外的所有情形，发现表面积都比原三棱柱 的表面积小，则 a 的取值范围是
__________．
