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思想 01 运用分类讨论的思想方法解题
【目录】
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考点一：由情境的规则引起的分类讨论.................................................................................................................3
考点二：由定义引起的分类讨论.............................................................................................................................4
考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论......................................................................................................5
考点四：由变量的范围引起的分类讨论.................................................................................................................6
考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论......................................................................................................7
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，
得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）
逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是
否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为1等．（2）由数学运算规则引起的分类讨
论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．
（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同
区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的
象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需
要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
1．（2023•天津）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为 ．
2．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
3．（2023•甲卷）已知 ， ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
考点一：由情境的规则引起的分类讨论
【例1】三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为（ ）A． B． C． D．
【变式1-1】一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当
三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如
下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排
名．总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线．假设甲、乙、丙三支球队水平相当，
彼此间胜、负、平的概率均为 ，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为 ，
， 每场比赛结果相互独立．
求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的
概率．
【变式1-3】2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题
知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答n次 ，每次回答一个问题，若回
答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取．规定
每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得 10分，否则得0分；挑战题答对一
个得30分，否则得0分．已知小明能正确回答基础类问题的概率为 ，能正确回答挑战类问题的概率为
，且每次回答问题是相互独立的．
记小明前2题累计得分为X，求X的概率分布列和数学期望；
记第k题小明回答正确的概率为 ， ，证明：当 时， ，并求
的通项公式．考点二：由定义引起的分类讨论
【例2】若数列 中不超过 的项数恰为 ，则称数列 是数列 的生成数列，
称相应的函数 是数列 生成 的控制函数．已知 ，且 ，数列 的前m项
和为 ，若 ，则m的值为__________．
【变式2-1】记 ，若 是等差数列，则称m为数列 的“ 等差
均值”；若 是等比数列，则称m为数列 的“ 等比均值”．已知数列 的“ 等差均
值”为2，数列 的“ 等比均值”为 记 ，数列 的前n项和为 若对任意的
正整数n都有 ，则实数k的取值范围是__________．
【变式2-2】已知数列 的前n项和为 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，若 表
示不超过x的最大整数，如 ，
求数列 的通项公式；
若 ，求数列 的前2020项的和．
【变式2-3】将连续正整数1，2， ， 从小到大排列构成一个数 ， 为这个数
的位数 如当 时，此数为123456789101112，共有15个数字， ，现从这个数中随机取一
个数字， 为恰好取到0的概率．
求
当 时，求 的表达式．令 为这个数中数字 0 的个数， 为这个数中数字 9 的个数， ，
，求当 时 的最大值．
考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【例3】过点 的直线 与圆 相切，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【变式3-1】（多选题）已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，过 的直
线交双曲线C的右支于P、Q两点，若 为等腰直角三角形，则C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知圆 ，过点 的直线l交圆O于 两点，且 ，请
写出一条满足上述条件的直线l的方程__________．
【变式3-3】已知点M是椭圆C： 上一点， ， 分别为椭圆C的上、下焦点，
，当 时， 的面积为
求椭圆C的方程：
设过点 的直线l和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线l，使得 与 是坐标原点 的面
积比值为5： 若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．考点四：由变量的范围引起的分类讨论
【例4】已知函数 ，设s为正数，则在 中（ ）
A． 不可能同时大于其它两个 B． 可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等 D．至少有一个小于
【变式 4-1】已知 ，关于 x 的方程 有且仅有一个解，则 t 的取值范围是
__________．
【变式4-2】已知函数 ， 为常数 ，
若函数 在原点的切线与函数 的图象也相切，求b；
当 时， ，使 成立，求M的最大值；
若函数 的图象与 x 轴有两个不同的交点 ，且 ，证明：
【变式4-3】已知函数
讨论函数 的单调性；
若 ，证明：曲线 与直线 恰有两个公共点，且这两个公共点关于点 对
称．
考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【例5】如图，在棱长为2的正方体 中，P为线段的中点，Q为线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得
B．存在点Q，使得 平面
C．三棱锥 的体积是定值
D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
【变式5-1】已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆 上的动点，点 ，现将坐标平
面沿y轴折成 的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍
如图所示，底面ABCD为正方形， 平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，
，且 ，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】如图，长方体 中， ， ，M为 的中点，过
作长方体的截面 交棱 于N，下列正确的是（ ）
①截面 可能为六边形
②存在点N，使得 截面③若截面 为平行四边形，则 ④当N与C重合时，截面面积为
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
