文档内容
思想 03 运用函数与方程的思想方法解题
目 录
01 运用函数的思想研究问题................................................................................................................1
02 运用方程的思想研究问题................................................................................................................2
03 运用函数与方程的思想研究不等式问题.........................................................................................3
04 运用函数与方程的思想研究其他问题.............................................................................................4
01 运用函数的思想研究问题
1．（2024·北京延庆·统考一模）已知函数 其中 .
（1）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；
（2）若函数 在 上存在最大值和最小值，求a的取值范围.
2．（2024·江西上饶·统考二模）已知函数 .( 是自然对数的底数)
（1）求 的单调区间；（2）记 ， ，试讨论 在 上的零点个数.(参考数据： )
3．（2024·四川南充·高三四川省阆中东风中学校校考阶段练习）已知函数 ，其
中 为常数，且 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在 处取得极值，且在 的最大值为1，求 的值.
02 运用方程的思想研究问题
4．已知函数 ， ，若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均
相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）已知O为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，
则（ ）
A． B．
C． 的最大值为0 D．当 时，
6．（多选题）已知 ， 为函数 图象上两点，且 轴，直线 ， 分别是函数 图象在点A，B处的切线，且 ， 的交点为P， ， 与y轴的交点分别为M，
N，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的面积
D．存在直线 ，使 与函数 图象相切
7．已知 ，函数
讨论 在 上的单调性；
已知点
若过点P可以作两条直线与曲线 相切，求m的取值范围；
设 函 数 若 曲 线 上 恰 有 三 个 点
使得直线 与该曲线相切于点 ，写出m的取值范围 无需证明
8．已知函数
若曲线 与 在公共点 处有相同的切线，求实数 的值；
若 ，且曲线 与 总存在公共的切线，求正数a的最小值．03 运用函数与方程的思想研究不等式问题
9．（2024·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知对任意的 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围为 .
10．（2024·浙江宁波·高二宁波诺丁汉附中校考期中）已知不等式 （ ，且
）对任意实数 恒成立，则 的最大值为 .
11．（2024·江苏南京·校考模拟预测）设 ，两个函数 ， 的图像关于直线 对称.
（1）求实数 ， 满足的关系式；
（2）当 取何值时，函数 有且只有一个零点；
（3）当 时，在 上解不等式 .
12．（2024·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）已知 为实数， ．对于给定的一组有
序实数 ，若对任意 ， ，都有 ，则称 为
的“正向数组”．
(1)若 ，判断 是否为 的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若 为 的“正向数组”，则对任意 ，都有 ；(3)已知对任意 ， 都是 的“正向数组”，求 的取值范围．
04 运用函数与方程的思想研究其他问题
13．（2024·浙江衢州·衢州二中校考一模）如图，在 中， ， ，若平面ABC
外的点P和线段AC上的点D，线段BC上的点Q，满足 ， ，则四面体 的体积的
最大值是 ；当 体积取最大值时， .
14．（2024·重庆·一模）正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为
许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：
，其中 表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的
函数，而 表示正弦信号的幅度， 是正弦信号的频率，相应的 为正弦信号的周期， 为正弦信
号的初相.由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号
作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标
是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为 ， ， ， （单位：Ω）. 和 是两
个输入信号， 表示的是输出信号，根据加法器的工作原理， 与 和 的关系为：
.例如当 ，输入信号 ， 时，输出信号： .
(1)若 ，输入信号 ， ，求 的最大值；
(2)已知 ， ， ，输入信号 ， .若
（其中 ），求 ；
(3)已知 ， ， ，且 ， .若 的最大值为 ，求满足
条件的一组电阻值 ， .
15．（2024·河南·校联考模拟预测）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知当 时， ，证明： .16．（2024·浙江金华·高三阶段练习）已知数列 的各项均为非负实数，且对任意正整数 ，均有
.
(1)若 成等差数列，证明：存在无穷多个正整数 ，使得 ；
(2)若 ，求 的最大值.
17．（2024·浙江温州·高二统考期末）已知点 在双曲线C： 上，
(1)求C的方程；
(2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点
M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为 与 ，求 的取值范围．
