文档内容
专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型）
【题型目录】
题型一 利用二次根式的性质化简
题型二 二次根式的乘除法
题型三 二次根式的加减法
题型四 已知字母的值化简求值
题型五 分母有理化
【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】
1．（2024上·福建宁德·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
2．（2023上·江苏·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
3．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）计算：
(1) ；
(2) ．4．（2023上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算下列各题
(1) ；
(2) .
5．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知 成立．
(1)填空：x的取值范围是______．
(2)化简： ．
6．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）（1）如图，已知在数轴上的两个点表示为实数a，b．
化简： ______；
（2）若 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值．
7．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）计算：
(1)计算： ．
(2)计算：
8．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）计算：(1)
(2)
9．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）根据所给数轴解决以下问题：
(1)计算： ___________．
(2)化简：
10．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）计算： ．
【经典计算题二 二次根式的乘除法】
11．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
(1) ；(2) ；
(3) ．
13．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）计算： ．
14．（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）计算：
(1) ．
(2) ．
15．（2023下·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
16．（2023上·河北保定·八年级校联考期中）计算：
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)求满足条件的x的值： ．
17．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
18．（2023上·上海崇明·八年级校联考期中）计算：
19．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校联考期中）（1） ；
（2） ；
（3） ．
20．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）计算题：
(1) ；(2)
(3) ；
(4)
(5)
(6)
、
【经典计算题三 二次根式的加减法】
21．（2024上·福建三明·八年级统考期末）计算
(1) ；
(2) ．
22．（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
23．（2023上·四川达州·八年级校考期中）计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
24．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
25．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）计算
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
26．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）计算：
(1) ；(2) ．
27．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）计算
(1)
(2) ；
28．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
29．（2023上·宁夏银川·八年级校考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
30．（2023上·宁夏银川·八年级银川九中校考期中）（1） ；（2） ．
【经典计算题四 已知字母的值化简求值】
31．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知 ， ，求下列代
数式的值：
(1) ；
(2) ．
32．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ，
.
33．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值.
(1) ；
(2) .
34．（2020下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ．(2) ．
35．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）阅读下列材料：
已知 ，求代数式 的值．下面是小敏的解题方法：
解：由 ，得 ，所以 ，所以 ，即 ．把 作为整
体代入，得 ．
这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下列问题：
(1)若 ，求代数式 的值；
(2)若 ，求代数式 的值．
36．（2024下·全国·八年级假期作业）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) .
37．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 ．
(1)求 和 的值；
(2)求 的值；(3)若 的小数部分是 ， 的整数部分是 ，求 的值．
38．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）已知 ， ，求 的值．
39．（2022上·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）已知 ， ．求：
(1) 的值；
(2)求 的值．
40．（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知
(1)求 ， 的值．
(2)求 的值．
【经典计算题五 分母有理化】
41．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1： ．
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：(1)观察上面式子的变形，请直接写出 （ 为正整数）的结果是___________．
(2)应用上面的结论，求下列式子的值．
(3)拓展提高，求下列式子的值， ．
42．（2024上·湖南娄底·八年级统考期末）像 、 、……两个
含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ，
与 ， 与 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，
可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简： ；
(2)已知 ， 计算： 的值．
43．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ．
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：(1) __________；
(2)应用上面的结论，求下列式子的值，
．
44．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）阅读理解：观察下列等式：
① ；
② ；
…
(1)利用你观察到的规律，化简： ______；
(2)计算： ______；
(3)若 ， ，比较a，b两数的大小，并说明理由．
45．（2024上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问
题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ， ，求 ．我们可以把 和 看成是一个整体，令 ， ，则 ．这样，我们不用求出 ， ，就可以得
到最后的结果．
(1)计算： ；
(2) 是正整数， ， ，且 ，求 的值；
(3)已知 ，求 的值．
46．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知 ，求 我们可以把 和 看成是一个整体，令
，则 这样，我们不用求出a，b，就可以得到最
后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数， 且 ，求m．
(3)已知 ，求 的值．
47．（2023上·四川成都·八年级校考期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ＝______；
② ＝______．
(2)应用：求 的值．
(3)拓广：直接写出 的值．
48．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如 ， ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化
因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，
，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
号中的分母化去，叫做分母有理化．
(1)解决问题： 的有理化因式是_____， 分母有理化，得______；(2)计算： ；
(3)化简： ．
49．（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）阅读与思考
阅读下列材料，并解决相应问题：
．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
(1) ；
(2)若 是 ，求 的值．
50．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 ，求 的值．他们是这样解答的：
即
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：(1) ___________．
(2)化简 ．
(3)若 ，求 的值．
