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专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型）
【题型目录】
题型一 利用二次根式的性质化简
题型二 二次根式的乘除法
题型三 二次根式的加减法
题型四 已知字母的值化简求值
题型五 分母有理化
【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】
1．（2024上·福建宁德·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查二次根式的化简，立方根，化简绝对值，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
2．（2023上·江苏·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)7
(2)0
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根，算术平方根，熟练掌握上述法则与性质
是解题的关键．
（1）利用算术平方根，立方根的意义化简运算即可；
（2）利用二次根式的性质和立方根的意义化简运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．（1）根据算术平方根、立方根的性质化简，再合并即可求解；
（2）先化成最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
4．（2023上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算下列各题
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的计算：
（1）利用平方差公式和二次根式化简计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化简计算即可；
结合完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键．
【详解】（1）解：
=
== ；
（2）解：
=
=
= ．
5．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知 成立．
(1)填空：x的取值范围是______．
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式有意的条件和化简二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件得到 ，解不等式组即可；
（2）把二次根式的分子和分母因式分解，然后根据x的取值范围计算即可．
【详解】（1）解：由题可得： ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：．
6．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）（1）如图，已知在数轴上的两个点表示为实数a，b．
化简： ______；
（2）若 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值．
【答案】（1） ；（2）10
【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，无理数的整数部分和小数部分：
（1）根据数轴得出 ， ，进而判断 和 的正负，利用二次根式的性质化简，再进行
整式的加减运算即可；
（2）先根据 求出a和b的值， 再代入求值．
【详解】解：（1）由数轴知 ， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
，即 ，
的整数部分为7，小数部分为 ，
， ，．
7．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）计算：
(1)计算： ．
(2)计算：
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，
（1）先算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减；
（2）先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算加减；
熟练掌握各个运算法则和平方差公式是解题的关键．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
8．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了实数的混合运算；
（1）根据算术平方根与立方根进行计算即可求解；
（2）根据算术平方根，立方根与零指数幂进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
9．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）根据所给数轴解决以下问题：
(1)计算： ___________．
(2)化简：
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）由数轴确定 的符号，再根据二次根式的化简公式可得到答案；
（ ）由数轴可确定 、 、 的大小， ， ， ，再根据二次根式的化简公式，去
绝对值符合法则，立方根的定义计算即可．
【详解】（1）由数轴可知 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）由数轴可得： ， ，
∴ ， ，
∴原式 ，
，
．【点睛】此题考查了数轴、二次根式的化简与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是
解题的关键．
10．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】利用二次根式的运算法则，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键．
【经典计算题二 二次根式的乘除法】
11．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用
二次根式的性质化简是解题的关键
（1）先根据二次根式的性质化简、然后去括号、最后合并同类二次根式即可解答；
（2）先根据二次根式除法法则、完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可解答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
12．（2024下·全国·八年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)【详解】解：（1）原式 ．
（2）原式 ．
（3）原式 ．
13．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
14．（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法和除法运算法则、零指数公式将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式将原式化简，再进行加减运算即得出答案；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．（2023下·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可；
（2）先展开，再去括号，最后合并．熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）．
16．（2023上·河北保定·八年级校联考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)求满足条件的x的值： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 或
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方根的应用计算，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
（1）根据二次根式乘法计算即可；
（2）先化简根式再合并同类二次根式即可；
（3）先根据乘法分配律化简根式再合并同类二次根式即可；
（4）根据二次根式除法化简根式再合并同类二次根式即可；
（5）根据二次根式除法、平方差公式化简根式即可得结果，（6）有 可判断x有两个值，开平方根即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：
或 ．
17．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．（2023上·上海崇明·八年级校联考期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查二次根式乘法和除法运算，先将式子中二次根式中的分式化成分子分母分别含有二次根
式的式子，然后利用乘除法进行计算，最后将结果化成最简二次根式即可.
【详解】解：19．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校联考期中）（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2）6；（3）
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握去绝对值，零指数幂和求立方根的计算，二次根式的混合运算是
解答本题的关键．
（1）化简二次根式并按运算顺序进行二次根式运算即可；
（2）先利用绝对值，零指数幂，立方根计算出各项，再进行加法运算即可；
（3）先化简二次根式及绝对值、零指数幂，再进行二次根式的运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；（3）
20．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）计算题：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4)
(5)
(6)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；(6) ；
【分析】（1）分别将各部分化简，再合并即可；
（2）先将除法转化成乘法，然后进行乘法运算，再合并即可；
（3）分别化简二次根式、负指数幂、利用平方差公式化简二次根式，再合并即可；
（4）分别求出立方根、化简绝对值、负指数幂、计算二次根式乘法，再合并即可；
（5）分别化简二次根式再进行处罚运算，再合并即可；
（6）分别把各部分化简，再合并即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）；
（5）
；
（6）
；
【点睛】本题考查了负指数幂、二次根式的混合运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则．
、
【经典计算题三 二次根式的加减法】
21．（2024上·福建三明·八年级统考期末）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先进行化简，再进行二次根式的加减即可求解；
（2）利用平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
22．（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题主要考查二次根式性质，二次根式的混合运算，乘法公式的运用的综合，掌握以上知识是解
题的关键．
（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）先进行二次根式的乘法运算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
23．（2023上·四川达州·八年级校考期中）计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】（ ）利用乘法分配律及二次根式性质进行计算即可求解；
（ ）利用二次根式性质先化简，再合并即可求解；
（ ）利用绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，再合并即可求解；
（ ）利用二次根式性质先化简，再合并即可求解；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式 ，
，
，
，
；
（2）解：原式 ，
；（3）解：原式 ，
，
；
（4）解：原式 ，
，
，
，
．
24．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解
题的关键．
（1）先化简二次根式，计算负整数幂，绝对值，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；（2）先化简
二次根式，计算二次根式乘法，再去括号，根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
．
25．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）计算
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【分析】（ ）利用二次根式的性质化简后合并即可求解；
（ ）利用二次根式的性质化简后约分，再相乘即可求解；
（ ）利用乘法分配律先展开，再利用二次根式的性质进行运算，化简后合并即可求解；
（ ）原式即为计算结果；
（ ）利用二次根式的性质、负整数指数幂公式、立方根的定义分别化简，再进行加减运算即可求值；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式 ；
（5）解：原式
．
26．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）先化简为最简二次根式，合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先去括号，根据二次根式的性质求解并化为最简二次根式，再合并同类项即可得到答案；
熟练掌握知识点是解题的关键=14．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
27．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）计算
(1)
(2) ；
【答案】(1)17
(2)
【分析】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：最后结果必须化成最简二次根式．
【详解】（1）
（2）
28．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解答关键．
（1）根据二次根式的乘除运算法则和性质求解即可；
（2）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
29．（2023上·宁夏银川·八年级校考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（4）先根据二次根式的乘法计算法则去括号，再计算加减法即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
；
（3）解：
；
（4）解：
．
30．（2023上·宁夏银川·八年级银川九中校考期中）（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先根据二次根式的性质化简，再计算，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
【经典计算题四 已知字母的值化简求值】
31．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知 ， ，求下列代
数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)24
(2)26
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值：
（1）先求出 ， ，再根据 进行求解即可；
（2）根据（1）所求代值计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ；
（2）解： ．
32．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ，
.
【答案】 ；
【分析】本题主要考查分式的化简求值，把除法转化为乘法，约分化简，再代入求值．
【详解】解：
；
把 ， 代入上式得，
原式 ．
33．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值.
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)49【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
34．（2020下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用已知得出 ， 的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
，∴
；
（2）
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的
思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．
35．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）阅读下列材料：
已知 ，求代数式 的值．下面是小敏的解题方法：
解：由 ，得 ，所以 ，所以 ，即 ．把 作为整
体代入，得 ．
这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下列问题：
(1)若 ，求代数式 的值；
(2)若 ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键．
（1）先求出 ，进而得到 ，则 ，再把 整体代入所求式子中求
解即可；
（2）先仿照题意求出 ，则 ，再把 变形为 ，进一步变形为 ，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
36．（2024下·全国·八年级假期作业）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；
(3) .
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】解：∵ ， ，∴ ， .
（1）原式 .
（2）原式 .
（3）原式
37．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 ．
(1)求 和 的值；
(2)求 的值；
(3)若 的小数部分是 ， 的整数部分是 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入 即可求出 和 的值；
（2）将原式变形为 ，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出 ，从而得出 ， ，再代入进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
， ；
（2）解：由（1）得： ， ，
（3）解： ，
，即 ，
，
，
的小数部分是 ，
，
， 的整数部分是 ，
，
．
38．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）已知 ， ，求 的值．
【答案】13
【分析】本题考查了二次根式的运算，求代数式的值．先把x与y进行化简，然后代入代数式中求解即可．【详解】解：由于 ，
则
；
答： 的值为13．
39．（2022上·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）已知 ， ．求：
(1) 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) 的值为 ；
(2) 的值为24
【分析】本题考查二次根式的化简求值．
（1）先将 、 分母有理化，再将 、 的值代入计算即可得到答案；
（2）将 配成 ，再将 、 的值代入计算．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ，
，∴
；
（2）解：
．
40．（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知
(1)求 ， 的值．
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出 ， 的值，是解答本题的关键．
（1）利用二次根式有意义的条件，得到 ，由此得到 ， 的值，得到答案．
（2）把 ， 代入 中，求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
，
解得： ，
则 ．
（2）把 ， 代入 中得：，
，
．
【经典计算题五 分母有理化】
41．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1： ．
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：
(1)观察上面式子的变形，请直接写出 （ 为正整数）的结果是___________．
(2)应用上面的结论，求下列式子的值．
(3)拓展提高，求下列式子的值， ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则，得出是解此题的关键．
（1）根据题目中所给的例子即可得出答案；
（2）根据（1）中得出的规律，进行计算即可得出答案；
（3）根据（1）中得出的规律，进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
…，
，
故答案为： ；
（2）解：由（1）可得 ，
；
（3）解：．
42．（2024上·湖南娄底·八年级统考期末）像 、 、……两个
含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ，
与 ， 与 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，
可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简： ；
(2)已知 ， 计算： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算求解即可；
（2）由题意求， ， ，然后代入计算求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：由题意知， ， ，∴ ；
∴ 的值为 ．
43．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ．
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：
(1) __________；
(2)应用上面的结论，求下列式子的值，
．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）类比题目中所给的方法，利用平方差公式解答即可；
（ ）根据题目中所给的算式，可得规律 ，根据规律把各式化简后合并即可解答；
本题考查了二次根式的运算，根据题目中所给的计算方法把各个二次根式化简是解题的关键．
【详解】（1） ，
故答案为： ；
（2）原式= …+ ，
，
，．
44．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）阅读理解：观察下列等式：
① ；
② ；
…
(1)利用你观察到的规律，化简： ______；
(2)计算： ______；
(3)若 ， ，比较a，b两数的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2) （ 也可）
(3)
【分析】（1）根据分母有理化，配成平方差公式化简即可；
（2）根据（1）的规律化简各式再合并即可；
（3）利用倒数法比较大小即可．
本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母
只有一项）或与原分母组成平方差公式．
【详解】（1）解：
故答案为：.
（2）（3）解： ，
，
，即 ．
45．（2024上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问
题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ， ，求 ．我们可以把 和 看成是一个整体，
令 ， ，则 ．这样，我们不用求出 ， ，就可以得
到最后的结果．
(1)计算： ；
(2) 是正整数， ， ，且 ，求 的值；
(3)已知 ，求 的值．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则
是解此题的关键．
（1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解；
（2）先求出 ， ，再由 得出 ，求解即可；
（3）求出 ，计算出 ，结合 ，即
可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ， ，
，
，， ，
，
，
解得： ；
（3）解：
，
，
，
，
．
46．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知 ，求 我们可以把 和 看成是一个整体，令
，则 这样，我们不用求出a，b，就可以得到最
后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数， 且 ，求m．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)1；10
(2)1
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简 ，从而求出 ，然后根据已知可得
，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
（2）；
（3）
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ．
47．（2023上·四川成都·八年级校考期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ＝______；
② ＝______．
(2)应用：求 的值．
(3)拓广：直接写出 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据（一 中的解法解答即可；
②根据（二 中的解法解答即可；
（2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题；
（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．
【详解】（1）解：① ，
故答案为： ；② ，
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化
的方法是解答本题的关键．
48．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如 ， ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化
因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
号中的分母化去，叫做分母有理化．
(1)解决问题： 的有理化因式是_____， 分母有理化，得______；
(2)计算： ；
(3)化简： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）先分母有理化后，化简二次根式，再计算即可得到结果；
（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【详解】（1）解： ， ，
的有理化因式是 ， 分母有理化，得 ；
故答案为： ， ；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
49．（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）阅读与思考
阅读下列材料，并解决相应问题：
．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
(1) ；
(2)若 是 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化．
（1）先利用分母有理化化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行乘方运算，再进行分母有理化即可．
掌握分母有理化的方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；（2）由题意可得： ．
50．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 ，求 的值．他们是这样解答的：
即
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1) ___________．
(2)化简 ．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值：
（1）直接分子分母同时乘以 进行分母有理化即可；（2）先求出 ，据此把所求式子裂项计算即可；
（3）先求出∴ ，进而得到 ，则 ，再把所求式子变形为
，进而得到 ，据此可得答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：∵
∴
；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴．
