文档内容
专题 04 代数式规律性探索的两种考法全梳理
（高频与压轴题型）
目录
【考法一、数字类规律探索】.........................................................................................................1
【考法二、图形类规律探索】.........................................................................................................4
【课后练习】.....................................................................................................................................6
【考法一、数字类规律探索】
例1．阅读下列材料：
，
，
，
读完以上材料，请你完成下列问题：
(1)根据以上材料，第四个等式是： _______，
第 个等式是： _______；
(2)计算： ；（用含 的式子表示）
(3)计算： ．例2．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：
．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一
个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 表示．
如：数列 为等比数列，其中 ，公比为 ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列 的公比 为 ，第 项是 ．
【公式推导】如果一个数列 ，是等比数列，且公比为 ，那么根据定义
可得到： ．所以 ， ，
，
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式： ．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、
形式奇特．下面是小明为了计算 的值，采用的方法：
设 ①，则 ②，
得 ， ．
【解决问题】（3）请仿照小明的方法求 的值．
变式1．观察下列等式．
， ， ，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
(1)猜想并写出： ______．
(2)直接写出下列各式的计算结果：① ______；
② ______．
(3)探究并计算：① ．② ．
变式2．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．
……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成
表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规
律回答下列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．变式3．[观察下列等式]
， ， ，
将以上三个等式两边分别相加得：
[尝试计算]：
（1） ；
（2） ；
[运用说明]：
（3）设 …试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由．
【考法二、图形类规律探索】
例．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以
下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，
这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为 ，如果图①-④中各有
11层.
(1)图①中共有___________个圆圈：
(2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底
层最左边圆图的数是___________.(3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数 求图④所有
圆圈中各数的绝对值之和.
变式1．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
____
__＋______
（2）观察猜想，写出第 个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出 的值．
变式2．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．
【规律发现】
（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
【规律应用】
（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．
【课后练习】
1．有一列数 ，其中 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
2．有一列数 ，将这列数中的每个数求其相反数得到 ，再分别求与1
的和的倒数，得到 ，设为 ，称这为一次操作，第二次操作是将
再进行上述操作，得到 ；第三次将 重复上述操作，得
到 ……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个
① ， ， ， ；② ；
③ ；④ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅
图形中“●”的个数为 ，第2幅图形中“●”的个数为 ，第3幅图形中“●”的个数
为 ，…，以此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8
个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第
13个图形中●的个数为（ ）．A．92 B．96 C．103 D．118
5．a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3的哈利数”是 ，
的“哈利数”是 ，已知 ， 是 的“哈利数”， 是 的“哈利
数”， 是 的“哈利数”，…，依此类推，则 ．
6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第 组： ， ；
第 组： ， ， ， ；
第 组： ， ， ， ， ， ；
第 组： ， ， ， ， ， ， ， ；
现用 表示第 组从左往右数第 个数，则 表示的数是 ．
7．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3
个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三
角形， 依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ．
8．如图，是一回形图，其回形通道的宽和 的长均为1，回形线与射线 交于 ， ，
，…．若从 点到 点的回形线为第1圈（长为7），从 点到 点的回形线为第2圈，
…，依此类推．则第11圈的长为
9．观察下列各式： ； ； ； ； ；(1)探索式子的规律，试写出第 个等式；
(2)运用上面的规律，计算 ；
(3)计算： ．
10．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，
部分③是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是______；
(2)以下是甲，乙两位同学求 的方法；
甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；
乙同学的方法： ①
②
②－①即可．
根据两位同学的方法，你认为 ______；
(3) ______；
(4)计算： ；
(5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出 的值．
