文档内容
思想 03 运用函数与方程的思想方法解题
【目录】
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
考点一：运用函数的思想研究问题.........................................................................................................................3
考点二： 运用方程的思想研究问题.......................................................................................................................5
考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题..................................................................................................5
考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题......................................................................................................6
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分
布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方
程问题．例如，方程 解的个数可以转化为函数 的图象与 轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构
造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），
进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切
线问题时，设出切点横坐标 ，得到切线斜率 ，切线方程为 ， 从而
将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标 的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有
解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不
等式问题．例如，不等式 或 恒成立，可以转化为 或 ．也可以考虑参
变分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都
有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函
数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持
不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问
题获得解决．
1．（2023·全国·统考高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则
（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
3．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）若函数 既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·天津·统考高考真题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的
取值范围是 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
8．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
考点一：运用函数的思想研究问题
【例1】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 .
（1）若函数 有极大值点 ，求出极大值 的取值范围；
（2）若 ，求证：在区间 内有且仅有一个实数 ，使得 .【变式1-1】（2024·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）已知函数 ，且
（1）求 的最小值；
（2）当 取得最小值时，若方程 无实根，求实数 的取值范围．
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流
数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广
泛采用．例如求方程 的近似解，先用函数零点存在定理，令 ，
， ，得 上存在零点，取 ，牛顿用公式 反复迭
代，以 作为 的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以 为初始区间，用二
分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
【变式1-3】（2024·山东·高三山东省实验中学校考期中）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围.
考点二： 运用方程的思想研究问题
【例2】（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有
实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数 的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）A． ，
B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图像相切
【变式2-1】（多选题）已知 ，若过点 可以作曲线 的三条切线，则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，
已知直线 为曲线 和 的公切线，则下列结论正确的为
A． 和 关于直线 对称 B．若 ，则
C．当 时， 和 必存在两条公切线 D．当 时，
【变式2-3】已知函数 ， ，其中
求函数 的单调区间；
若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明
；
证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线．
考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【例3】（2024·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）设函数 ，若关于 的不等式
有且仅有两个整数解 ， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（多选题）（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数 的导函数为 ，若
对 恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【变式3-2】（2024·广东深圳·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，求 的导函数 在 上的零点个数；
（2）若关于x的不等式 在R上恒成立，求实数a的取值范围.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【例4】（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，正方体 的棱长为1， ， 分别
是棱 ， 的中点，过直线 的平面分别与棱 ， 交于 ， .设 ， ，给出以
下四个结论：①平面 平面 ； ②当且仅当 时，四边形 的面积最小； ③四边形
的周长 ， 是单调函数；④四棱锥 的体积 在 上先减后增.
其中正确命题的序号是 ．【变式4-1】（2024·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）现有一组数据：
共200项， （ 是这一组数据的第 项），有以下结论：
①这组数据的极差为19；
②这组数据的中位数为14；
③这组数据的平均数为13.5；
④ .
其中正确结论的个数为 .
【变式4-2】（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
， 是 边上的点，且满足 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的外接圆的直径．
【变式4-3】（2024·上海杨浦·统考一模）设函数 ， （其中常数 ， ），
无穷数列 满足：首项 ， .
(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)若数列 是严格增数列，求证：当 时，数列 不是等差数列；
(3)当 时，数列 是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请
说明理由.【变式4-4】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分
别为 ， ，过左焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于D，E两点， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，设直线AP，BQ的斜率分别为 ， ， 和 的
面积分别为 ， ，若 ，求 的最大值．
