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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾
试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是
着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学
知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重
在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数
学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．
第 1 讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函
数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问
题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，
通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．
方法一 运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．
常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
例1 (1)(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
思路分析 分段函数是－∞，＋∞上的增函数→每一段都为增函数→x＝1右侧的函数值
不小于左侧的函数值求解
答案 A
解析 函数f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的增函数，
所以解得≤a≤2，所以实数a的取值范围是.
批注 在函数的第一段中，虽然没有x＝1，但当x＝1时，本段函数有意义，故可求出其对
应的“函数值”，且这个值是本段的“最大值”，为了保证函数是增函数，这个“最大值”
应不大于第二段的最小值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点．
(2)(2022·河南名校联盟联考)已知ab＝且函数f(x)＝ (0≤x<3)，对定义域内的任意
的x，恒有Mf(x)＝f(x)，则正数M的取值范围为( )
A. B.
C．[2，＋∞) D．(0,2]
思路分析 “”的定义，表示取小→有Mfx＝fx知，M≥fx→求fx的最大值
答案 C
解析 令t＝x2－2x(0≤x<3)，则t∈[－1,3)，
则f(t)＝t∈，
因为ab＝
又对定义域内的任意的x恒有Mf(x)＝f(x)，
所以M≥2，正数M的取值范围为[2，＋∞)．
批注 本题关键是理解“”的含义，对于复合函数f(x)的最值、值域问题，应采用换元法，
变成常见的二次和指数函数．
规律方法 解答本题，首先要明确分段函数和增函数这两个概念的本质，分段函数是一个函
数，根据增函数的定义，两段函数都是增函数，但这不足以说明整个函数是增函数，还要保
证在两段的衔接处呈增的趋势，这一点往往容易被忽视．
方法二 利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范
围以及解不等式问题．
例2 (1)(2022·山东名校大联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x－
1，则使不等式f(ex－3e－x)<成立的x的取值范围是( )
A．(ln 3，＋∞) B．(0，ln 3)
C．(－∞，ln 3) D．(－1,3)
思路分析 解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断fx的单调性
答案 C
解析 当x<0时，f(x)＝3x－1单调递增且f(x)<0，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0满足f(x)＝3x－1，所以函数y＝f(x)在R上是连续函数，
所以函数f(x)在R上是增函数，
f(－2)＝－，
所以f(2)＝－f(－2)＝，
f(ex－3e－x)<＝f(2)，
所以ex－3e－x<2，
即e2x－2ex－3<0，(ex－3)(ex＋1)<0，
又ex＋1>0，
所以ex<3，xlog a－→构造函数y＝x－
3 a 3 b 3 3 3 4
→利用函数的性质求解
答案 A
解析 由log a－log 4＝log b－log 3可得log b－＝log a－log a－，
3 4
所以log b>log a，
3 4
又因为log a＝log >log 且y＝log x单调递增，
4 2 3 3
所以由log b>log 可知b>，
3 3
综上，
