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思想 02 运用数形结合的思想方法解题
【目录】
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考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点..............................................................................................3
考点二：解不等式、求参数范围、最值问题..........................................................................................................4
考点三：解决以几何图形为背景的代数问题..........................................................................................................5
考点四：解决数学文化、情境问题.........................................................................................................................5
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把
数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，
C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·统考高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一
条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的
点 满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【例1】（2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数 在
上有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）若函数 有三个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·湖南永州·统考二模）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的图象是中心对称图形
B． 在区间 上单调递增
C．若方程 有三个解， ，则
D．若方程 有四个解，则
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若关于x的方程 存在三个不等的实数根．则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
【例2】（多选题）（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数 的图象与直线 有三个交点，记三个交点的横坐标分别为 ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．
C．
D． 为定值
【变式2-1】（2024·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，若关
于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·河南新乡·高三阶段练习）已知函数 ，若关于 的不等式
的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·江苏苏州·高二星海实验中学校考期末）已知任意实数 ，关于 的不等式
恒成立，则实数 的最大整数值为（ ）
A． B． C． D．
考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，点
，点 在 上， ，且 的面积为1，则 的准线方程为 ．
【变式3-1】（2024·湖南永州·统考一模）在平行六面体 中， 为
的中点，过 的平面 分别与棱 交于点 ，且 ，则 （用表示）．
【变式3-2】（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为2，M为棱
的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为 ，则动点N的轨迹
的长度为 ．
【变式3-3】（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点P在该正方体的
表面上运动，且 ，则点P的轨迹长度是 ．
【变式3-4】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）在正方体 中， 分别是棱 的中
点，过 、 、 的平面 把正方体截成两部分体积分别为 ，则 .
考点四：解决数学文化、情境问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上
用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面
的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多
面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点
的曲率为 ，故其总曲率为 .给出下列三个结论：①正方体在每个顶点的曲率均为 ；
②任意四棱锥的总曲率均为 ；
③若某类多面体的顶点数 ，棱数 ，面数 满足 ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【变式4-1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年
提出了以下猜想： 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出
，不是质数．现设 ，数列 的前 项和为 ，则使不等式
成立的正整数 的最大值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式4-2】（2024·河北邢台·高三统考期末）保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26
公里．府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道．府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥
型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为 ，当其中参数 时，该函数就是
双曲余弦函数 ，类似的有双曲正弦函数 ．若设函数 ，若
实数 满足不等式 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运
行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期 与轨道半径 之间关系为 （K为常数）．已知甲、
乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为 ， 分别
是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则 之间距离的最大值为（ ）
A． B．C． D．
【变式4-4】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁
郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元
数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，
也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义
的重要贡献．设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，秦九韶提出的“三斜
求积术”公式为 ，若 ， ，则由“三斜求积
术”公式可得 的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-5】（2024·辽宁大连·高三统考期末）在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是
否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是
这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量 是一组没有人为编造的首位非零数字，则
.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约
为（ ）（保留至整数，参考数据： ）.
A．4 B．6 C．7 D．8
