文档内容
专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 利用二次函数求图形问题
题型二 利用二次函数求图形运动问题
题型三 利用二次函数求拱桥问题
题型四 利用二次函数求销售问题
题型五 利用二次函数求投球问题
题型六 利用二次函数求喷水问题
题型七 利用二次函数求增长率问题
题型八 利用二次函数解决表格型问题
题型九 二次函数其他问题
题型十 二次函数综合问题
知识点01 二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系
(即函数关系)。
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。
6.写出答案。
【经典例题一 利用二次函数求图形问题】
【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设
长方形的长为x米，面积为S（平方米）．
(1)用含x的代数式表示S；
(2)当 时，求向日葵基地的面积．1．（23-24九年级上·四川成都·期末）某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地 ，
已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设 的长为x米，矩形菜
地的面积为y平方米．
(1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
(2)如果该矩形菜地的面积为 平方米，则 的长．
2．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长
42m，篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
(1)求 与 与 的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
3．（2024·山西太原·模拟预测）为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．
如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线 和矩形 构成．已知矩形的长 米，宽
米，抛物线最高点E到地面 的距离为8米．(1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线 的解析式；
(2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支
撑柱 和 ，如图②所示．
①若两根支撑柱的高度均为 米，求两根支撑柱之间的水平距离；
②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁 ，搭建成一个矩形“脚手架” ，为了筹备
材料，需求出“脚手架”三根支杆 的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点， 边所在直线
为 轴，过 点作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知 边长为6分米，最高点 到
的距离为6分米.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形 ，要求D、F两点在抛物线上(D在 的左侧)，
点 在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现?若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点 的位
置（即求出点 的坐标），若不能请说明理由.【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】
【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
点D从点C开始沿 边运动，速度为 ，与此同时，点E从点B开始沿 边运动，速度为 ，
当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接 ，设运动时间为 ， 的面积为S．
(1)用含t的代数式表示 ______； ______．
(2)点D运动至何处时， ？
(3)点D运动过程中， 的最大值是多少？
1．（23-24八年级下·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上，点 在原点，
， 若矩形以每秒 个单位长度沿 轴正方向做匀速运动 同时点 从 点出发以每秒 个单位
长度沿 的路线做匀速运动 当 点运动到 点时停止运动，矩形 也随之停止运动．
(1)求 点从 点运动到 点所需的时间；
(2)设 点运动时间为 秒 ．①当 时，求出点 的坐标；
②若 的面积为 ，试求出 与 之间的函数关系式 并写出相应的自变量 的取值范围 ．
2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，
， ，以 ， 为邻边作矩形 ，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、
C同时出发，其中点M沿 向终点O运动，点N沿 向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N
作 ，交 于点P，连接 ．
(1)直接写出点B的坐标为 ，直线 的函数表达式为 ；
(2)记 的面积为S，求S与t的函数关系式 ；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值．
3（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点 和
点 ，与y轴交于点 ，点Q为x轴上一动点，过点Q作 轴，交直线 于点M，交抛物
线于点P．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接 ，以O，M，P，B为顶点的四边形是否为平行四边形，若是，求出Q点坐标；若不是，请说明
理由．
4．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，矩形 顶点 的坐标为 ，定点 的坐标为
，动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴的正方向匀速运动，动点 从点 出发，以
每秒1个单位长度的速度沿 轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以
为斜边在 轴上方作等腰直角三角形 ．设运动时间为 秒．
(1)当 ___________时， 的边 经过点 ，当 ___________时，点 落在边 上；
(2)设 和矩形 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关系式；(3)如图2，过定点 作 ，垂足为 ，当 的顶点 落在矩形 的内部时，过点 作
轴、 轴的平行线，分别交 、 于点M、N，若 ，直接写出 的值___________．
【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】
【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面
为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面 的距离为6米，宽度 为12米．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4
米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？
1．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度 为12米时，拱桥顶点O距离
水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为 ，
宽为 的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）周末，小明跟父母去某自然景区露营，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距
离为2.6米的树 与树 之间（ 米），两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为 米（
米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点 离地面的高度为0.81米．已知
， ，图中所有的点都在同一平面内．以树 与地面的交点 为原点，地面上 所在
直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离左边树 的距离．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户
开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线
型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C
点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水
平距离x（米）之间的关系式用 表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架 对大棚进行加固（点
D、E分别在y轴，x轴上，且 轴， 轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架 对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架 对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为 、 ，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口
处的材料损耗）
4．（2024·河南开封·一模）开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的
映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次
函数的图象抛物线，钢拱最高处 C 点与路面的距离 为50米，若以点 O 为原点， 所在的直线为y
轴，建立如图②所示的平面直角坐标 系，抛物线与x 轴相交于A、B 两点，且 两点间的距离为80米．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)钢拱最高处C 点与水面的距离 为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；(3)当 时，求y的取值范围．
【经典例题四 利用二次函数求销售问题】
【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平
均每天可以卖出120个．
【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出
10个．
【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润．
【任务一：分析变量关系】
若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个；
若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）．
【任务二：探索调整方案】
该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？
【任务三：拟定最优方案】
为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天
的利润最高？
1．（2024·山西阳泉·三模）项目化学习
项目主题：老陈醋最优销售单价．
项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱．
某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系．研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
实验数据：
2 3
老陈醋销售单价 （元/壶） … 26 28 32 …
4 0
5 4
每天销售数量 （壶） … 48 44 36 …
2 0
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
（1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量 （壶）是老陈醋销售单价 （元/壶）的______函数
（选填“一次”“二次”或“反比例”）， 与 的函数关系式为______；
（2）若要使每天销售老陈醋获得的利润 （元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出
最大利润．
2．（2024·湖北十堰·模拟预测）某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得
少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高 元，
日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围．
3．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（ ）与销售单价x（元/ ）满
足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于 元/ ．设公
司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/ ） 7 8 9
y（ ）
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围）
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于 元？
4．（2024·湖北鄂州·模拟预测）某公司销售一种产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的
关系如下表所示，每件产品的利润z（元）与月份x（月）满足关系式 （ ，且x为整
数）．
1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12
0
4 5
y 28 32 36 40 48 52 52 52 52 52
4 2
(1)请你根据表格分别求出当 和 （x为整数）时，销售量y（万件）与月份x（月）的关系
式；
(2)求当x为何值时，月利润 （万元）有最大值，最大值为多少?
(3)求该公司月利润不少于660万元的月份是哪几个月?
【经典例题五 利用二次函数求投球问题】
【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机
出口P到球桌 的距离 ．现以点M为原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，
球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为
；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．
两种模式皆在同一高度发球， 段抛物线可以看作是由 段抛物线向左平移得到．
(1)当 时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知 段抛物线的最大高度为 ，且它的形状与 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a
的值．
1．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其中
是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直
向上发射小球．
(1)小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡
底部 处，以点 为原点，水平方向为 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块
当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 的一部分，山坡 上有一堵防御墙，其
竖直截面为 ，墙宽 米， 与 轴平行，点 与点 的水平距离为28米、垂直距离为6米．
已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米
(1)求抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
3．（2024·陕西西安·三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的A处射门，足球射向球门的运动路线为
抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高 为2.44米，
足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；(2)若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站
在离球门多远的地方才可能防住这次射门？
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球。2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五
个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的。甲乙两人训练打乒乓球，让
乒乓球沿着球台的中轴线运动。图为从侧面看乒乓球台的视图， 为球台， 为球网，点 为 的
中点， ， ，甲从 正上方的 处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的 处
再弹起到另一侧的 处，从 处再次弹起到 ，乙再接球。以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直
线为 轴， 为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不
变， 段抛物线的解析式为 ， 段的解析式为 ．
(1)当球在球网左侧距球网 时到达最高点，求 的解析式；
(2)球从 处弹起至最高点后下落过程中，球刚好擦过球网 ，视为网球重发，求 的值；
(3)若球第二次的落点 在球网右侧 处，球再次弹起最高为 ，乙的球拍（看作线段 ）在
的正上方 处， ，若将球拍向前水平推出 （ ）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点
），求出 的取值范围．
【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】
【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈
抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为 ，抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若 ，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）．
②求含c的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足 ，且当水平距离为6米时，水柱
达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度．
1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出
拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为 ，水柱的最大高
度为 ．(1)当射水鱼在原点 处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在 处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点 出发．
①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以 的速度水平向右逃离，同时射水鱼以 的速度水平向右
追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，
喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图 2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在 O处，水线落地点为
A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记 长度为h．
(1)已知 ．若喷水口在P处， ， ．
①求水线最高点与点B之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高 的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明
理由．
(2)在喷水口上升过程中，当 时，用含h的式子表示水线的最大高度．
3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，
某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边 ，音乐变化时，抛物线的顶点在直线
上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为 ．(1)若已知 ，且喷出的抛物线水线最大高度达 ，求此时a、b的值；
(2)若 ，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
(3)若 ，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围．
【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】
【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货
价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每
个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能
多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为
多少元？最大利润是多少？
1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省 总值约为10000亿元，第三季度的
总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省 总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的 总值能否突破12000亿元？并说明理由．
2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，
求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的 交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若
剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技
术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价
为 元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为 ，经过两次降价后的价格为 （元）．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为 元，求每次降价的百分率．
【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】
【例8】（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层
或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
生
活
背
景
（1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线 ，其中点P为抛物线的顶点，大
棚高 ，宽 ．现以点O为坐标原点， 所在直线为x轴，过点O且垂直于 的直
线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
建
立
模
型
（2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中 ．求
门高 的值．
（3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截
面在地面上的阴影为线段 ，求此时 的长．
解
决
问
题1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道
背
路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距
景
离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．
《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格：
车速 （千米/时）
素 反应距离 （米）
材
注意： 千米/时 米/秒
（1）已知反应时间 ，则驾驶员正常的反应时间为 秒．
制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行
了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表：
素
刹车时车速x（千米/时）
材
刹车距离y（米）
素
相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每
材
小时 公里．
任 （2）请根据素材 回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图 ），以所测得数据刹车
务 时车速 为横坐标，刹车距离 为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图
象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；任
（3）请根据素材 和 相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事
务
故，现场测得刹车距离为 米，请推测汽车是否超速行驶；
2
（4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时
突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的 点时与
轿车的距离 米（见图 ）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线
前停车（见图 ），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
任
务
3
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务．
如何制定销售方案？
某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和
素
人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为 （元），且 为整数，该店每天的利润设为
材1
（元）．
素 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10
材2 元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．素
经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元．
材3
问题解决
（1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出 与 的函数关系式为________．
任 分析数量
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，
务1 关系
求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理
由．
任 制定最优 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求
务2 销售方案 出最高利润．
3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置
设
如图， 是进水通道， 是出水通道， 是圆柱形容器的底面直径，从 将圆柱形容器注满
计
水，内部安装调节器，水流从 处流出且呈抛物线型．以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，
方
所在直线为 轴建立平面直角坐标系 ，水流最终落到 轴上的点 处．
案
示
意
图
轴， ， ，点 为水流抛物线的顶点，点 、 、 、 、 在同一平
已
知 面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任
务 求水流抛物线的函数表达式；
一
任
现有一个底面半径为 ，高为 的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在 处，水流是
务
否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
二
任
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心 在 轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接
务
写出 长的取值范围．
三
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．【经典例题九 二次函数其他问题】
【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V
（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示．
(1)当 时，求V关于x的函数表达式．
(2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量 车流速度 车流密度 ．若车流速
度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大
值．
1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图． 垂
直于水平底面 ，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知 ， ，且点B处于跳台滑道的
最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面 上方竖直距离 处达到最高点P
③落点Q在底面 下方竖直距离 ．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离 ；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为 ；
③在平面直角坐标系中，设射线 的解析式为 ，其比例系数k和俯角 的函数关系如图5
所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角 至少多少度（精确到个位）？
2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过
工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间 与地铁到停止线的距离 之间的表格信息：
2
（秒） 0 4 8 12 16 20 …
4
19 1
S（米） 256 144 100 64 36 …
6 6
当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：
(1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所
生成的图象，请你在图中落实他的想法；
(2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比
例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；
(3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止
时间）
3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底
座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为 ，此时，粘在玩具上的标边线签 距桌面的垂直距离为
，距桌的边线的水平距离为 ．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为 ．如图2，建
立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．
图1 图2
(1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式．
(2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点 距桌面的垂直距
离为 ，距桌的边线的水平距离为 ．求这个不倒翁的总高度．
(3)当不倒翁向左摇摆恰好点 在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由．
【经典例题十 二次函数综合问题】
【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数 ，
(1)若二次函数过点 ，
①求二次函数的表达式；
②当 随 的增大而减小时，求 的取值范围；
(2)若点 和点 在该二次函数图象上，求 的值．1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数 （ ， 是常数）的图象与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于 点．已知 ，并且当 时， ．
(1)填空：该二次函数的解析式为______．
(2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是 ， ，当 且 时，试
比较 与 的大小，并说明理由．
(3)过 ， 两点作直线，点 为该直线上一动点，过点 作 轴的平行线，分别交 轴和抛物线于点 ，
，若 ，试求以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积．
2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
轴交于点 ，与 轴交于点 ．(1)求这个二次函数的解析式．
(2)如图 ，二次函数图象的对称轴与直线 交于点 ，若点 是直线 上方抛物线上的一个动点，求
面积的最大值．
(3)如图 ，点 是直线 上的一个动点，过点 的直线 与 平行，则在直线 上是否存在点 ，使点
与点 关于直线 对称？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点 ，它的对称轴为直线 ，且函数有
最小值为 ．抛物线与 轴的交点为 ， 在 左侧 ，与 轴的交点为 ．
(1)求抛物线的解析式及 的面积．(2)在第四象限的抛物线上找一点 ，使 的面积为 的一半，求出此时点 的横坐标．
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间
（单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
小球从抛出到落地需要 ；
①
小球运动中的高度可以是 ；
②
小球运动 时的高度小于运动 时的高度．
③
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截
面 呈抛物线形状 杯体厚度忽略不计 ，点 ，点 位于杯口处，且 ，点 是抛物线最
低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度 点 到 的距离 为 ，将茶水倒出一部分后，茶水的
最大深度恰好为 点 到 的距离 ，求此时 的长度 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于 的一元三次方程 的解为 ， ，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于 的不等式 的解集
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
4．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300
件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二
次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距
离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：
①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米；
②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数
是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2024·山东临沂·二模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明
城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每
顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
7．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，
柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移
动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．现要使水柱落点距O点 ，则喷头高应调整为
m．
8．（23-24九年级下·全国·课后作业）为了节省材料，某工厂以岸堤 （岸堤足够长）为一边，用总长
为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形 区域（如图），若 米，
则给出下列四个结论：① 米，② ；③ ；④长方形 的最大面积为
300平方米，其中，正确的是 .
9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形 中， ，点 分别为 上的动
点，且 与 交于点 ，点 为 的中点．
（1）若 ，则 的长 ．
（2）在整个运动过程中， 长的最小值为 ．
10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛
物线形状相同．小强在地面立一块高度为 的木板，以斜坡底端 为坐标原点，地面水平线为 轴，取
单位长度为 ，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点 的坐
标为 ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为 ，第二次弹起的最大高度为 ．
（1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是 ；
（2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是
．
11．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
12．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆 和 ，中间是自然垂
下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为 ，电线杆上的电线离地面的距离均为 ，最低点到地面的距离为 ．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式；
(2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆 ，若增设的电线杆 距离 为 ，使得
左边形成的抛物线的最低点距 为 ，到地面的距离为 ，求电线杆 上电线离地面的距离．
13．（2024·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科
目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中 米， 米，最高点P
离地面的距离为9米，以地面 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式．
(2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅
的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与 的水平距离．14．（2024·河北石家庄·三模）一次足球训练中，小华从球门正前方 的A处射门，足球射向球门的运
行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高OB为
，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
(2)若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退
多少米才能防守住这次射门？
(3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向
球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可， ）
① ； ② ； ③ ．
15．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开
始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格 (元/ )与周次 ( 是正整数， )的关系可近
似用函数 刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格 (元/ )从
第5周的6元/ 下降至第6周的5.6元/ ， 与周次 ( )的关系可近似用函数 刻
画．
(1)求 ， 的值．(2)若前五周该蔬菜的销售量 与每周的平均销售价格 元 之间的关系可近似地用如图 所示的函
数图象刻画，第 周的销售量与第 周相同：
①求 与 的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额 元 最大？最大销售额是多少？
(3)若该蔬菜第7周的销售量是 ，由于受降雨的影响，此种蔬菜第 周的可销售量将比第 周减少
．为此，公司又紧急从外地调运了 此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第
周的销售价格比第 周仅上涨 ．若在这一举措下，此种蔬菜在第 周的总销售额与第 周刚好持平，
请通过计算估算出 的整数值．
