专题02乘法公式重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题02 乘法公式重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方公式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 乘法公式中的多结论问题 题型九 乘法公式的相关计算 题型十 乘法公式中的“知二求三” 题型十一 乘法公式与几何图形的综合应用 题型十二 利用乘法公式求最值 知识点一、平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 特别说明：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项， 又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： (ab)(ba) （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (3x5y)(3x5y) （2）系数变化：如 (m3n2)(m3n2) （3）指数变化：如 (ab)(ab) （4）符号变化：如 (mn p)(mn p) （5）增项变化：如 (ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4) （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 ab2 a2 2abb2 完全平方公式：(ab)2  a2 2abb2 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里 的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正 确. 知识点四、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法，平方差公式．根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个 数的平方差，由此进行判断即可． 【详解】解：A、 ，不能用平方差公式计算，故不符合题意； B、 ，能用平方差公式计算，故符合题意； C、 ，不能用平方差公式计算，故不符合题意；D、 ，不能用平方差公式计算，故不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ，则 与 的大小关系是 （ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用作差法比较大小，结合平方差公式先计算 ，再根据 结果进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解， 掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：原式 ，， ， 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读解答： (1)填空： ________； ________； ________； (2)类推： ________（其中 为正整数，且 ）； (3)利用（ ）的结论计算： ； ． 【答案】(1) ， ， ； (2) ； (3) ； ． 【分析】（ ）按照多项式乘多项式即可完成； （ ）根据（ ）中的结果，可以猜想得到结论； （ ） 根据（ ）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果； 根据（ ）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果； 此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； ， 故答案为： ， ， ；（2）解： ， 故答案为： ； （3）解： ， ； ． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形 ，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪 拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可．【详解】解：第一个图形中剩余的面积为： ， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为： ， ∴第二个图形的大平行四边形的面积为 ， ∴ ； 故选C． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，点D、C、H、G分别在长方形 的边上，点E、F在 上，若正方形 的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形 的面积等于 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系． 设大、小正方形边长为 、 ，则 ，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形 的面积． 【详解】解：设正方形 和正方形 的边长分别为 、 ， 则有 ，阴影部分面积为： ， 即 ， 可得 ， 正方形 的面积等于 即所求面积是4． 故选：B．2．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样 分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是 米， 请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米． 【答案】 / 【分析】本题考查了平方差公式的几何表示，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键． 结合图形，根据梯形的面积公式 （上底 下底） 高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算． 【详解】解：由题意得菜地的面积为 ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种 图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算： ； (3)【拓展】计算： ． 【答案】(1)①②③(2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即 可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为 ，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式 的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二 项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③ 公式中的 和 可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是底为 ，高为 的平行四边形，面积为 ， ∴ ，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是长为 ，宽为 的长方形，面积为 ， ∴ ，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是底为 ，高为 的平行四边形，面积为 ， ∴ ，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是长为 ，宽 为 的长方形，面积为 ，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题 的关键． 根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、 ，能用完全平方公式计算，符合题意； C、 中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算， 不符合题意； D、 中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算， 不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海·期中） 的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式转化为 ，然后利用平方差公式展开，再利 用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ， ， ，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把所求式子变形为 ，再利用 完全平方公式得到原式 ，据此代值计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， 故答案为：12． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）阅读理解． 已知 ，求 的值． 解：由 ，可得 ． 整理得 ．得 ． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知 ，求 的值． (2)已知 ，求 的值． 【答案】(1)4 (2)18 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式： 是解题的关键． （1）将 变形为 ，利用完全平方公式得到 ，然后利用整体代入的方法计算； （2）将 变形为 ，利用完全平方公式得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： 整理得 ； （2）解：． 【经典例题四 通过完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，先根据完全平方公式得出 ，再求出 ，进而可得出 答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B．1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a， b， c满足 则 的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式是解题关键． 先将已知等式利用完全平方公式变形为 ，再根据偶次方的非负性、绝对值 的非负性，算术平方根的性质可求出 的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C 2．（24-25八年级上·全国·期中）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式，设 ， ，可得 ， ，利用 解答即可． 【详解】解：设 ， ， ∴ ， ， ，， ； 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，求 的值． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据完全平方公式可将原式化为 ，再根据平方的非负性，求得 ，再代入 求值即可． 【详解】解： ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ 的值是 ．【经典例题五 求完全平方公式中的字母系数】 【例5】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知 是完全平方式，则 的值为（ ） A．1 B． 或1 C．6或 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方式得出 ，再求出 即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平 方式是解此题的关键，注意：完全平方式有 和 两个． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， 解得： 或1． 故选：B 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若 是一个完全平方式，那么 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍 项即可确定 的值，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 故选： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值为． 【答案】13或 / 或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解 即可． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴ ， ∴ 或 ； 故答案为：13或 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题 的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征．因为， 是一个完全 平方式，故将 写成 根据多项式对应项的系数相等，得到 ． (1)若 是完全平方式，则m的值为 ；若 （n为常数）是完全平方式，则n的值 为 ； (2)已知： ，请求出b的值． 【答案】(1)8或 ，9 (2) 或16 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（完全平方式有 和 两个）是 解此题的关键． （1）根据完全平方式得出 和 ，再求出 和 即可； （2）先根据完全平方公式展开得出 ，根据 得出 ， ，求出 的值，再求出 即可． 【详解】（1）解： 是完全平方式， ，， 或 ； ， 为常数）是完全平方式， ． 故答案为：8或 ，9； （2） ， ， ， ， ， 或16． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（23-24八年级上·江西宜春·期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把 它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为 ，宽为 ，然后按图（2）拼成一个正 方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可． 【详解】解：大正方形的边长为： ,空白正方形边长： ， 图形面积：大正方形面积 ，空白正方形面积 ，四个小长方形面积为： ， ∴ = + ． 故选择：B． 【点睛】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积 +四个小正方形面积是解题关键． 1．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得 到 个代数恒等式：① ；② ；③ ；④ 其中正确的有（ ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】可通过构建长方形，利用长方形的面积的不同形式来验证等式． 【详解】解：观察图形可知，从图中得到4个代数恒等式： ①x（x+y）=x2+xy；②x2+3xy+2y2=（x+y）（x+2y）；④x2+2xy+y2=（x+y）2． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积．2．（23-24七年级下·浙江·期中）如图．长方形 的周长是 ，以 为边向外作正方形 和正方形 ，若正方形 和 的面积之和为 ，那么长方形 的面积是 ． 【答案】 【分析】设 ，根据题意可得 ，利用完全平方公式的变形求出 即可得到答案． 【详解】解：设 ， 由题意得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形的应用，正确推出 是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒 等式．(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若 ， ，求 的值； (2)正方形 、正方形 如图②所示方式摆放，边长分别为 ， ．若 ， ，请直 接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由 个正方体和 个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ， ，利用 中的恒等式求 的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形 和 都是正方形，设 ， ，根据 ，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为 或 ，即可求解； （4）根据 ， ，结合 即可求解； 【详解】（1）由图 可知，大正方形面积为 或 ， ，， （2）由图可知，∵四边形 和 都是正方形， ， ， ，又 ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图 得，正方形体积表示为 ， 也可以表示为 ， ， 即 （4） ， ， 由 得 ，， 【经典例题七 整式的混合运算】 【例7】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若规定 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 根据新定义代入，然后按照整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 故选：C． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列属于整式乘法计算错误的是（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】根据整式的乘法运算法则计算判断即可． 本题考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握公式和法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，错误，符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. ，正确，不符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）若 ，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查整式的混合运算，以及代数式求值，利用整式的混合运算和完全平方公式将 变形为 ，再将 代入式子求解，即可解题． 【详解】解： ； ， ， 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则 是解题的关键． （1）运用多项式乘多项式的法则计算即可； （2）先运用单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可； （3）先计算乘方，再运用单项式乘单项式法则计算，再合并同类项即可； （4）运用平方差公式计算即可； （5）先计算乘方，再运用单项式的乘除法则计算即可； （5）运用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ；（3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【经典例题八 乘法公式中的多结论问题】 【例8】（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有 个依次排列的整式：第一项是 ，第二项是 ，用第二项减去第一项，所得之差记为 ，记 ；将第二项与 相加作 为第三项，记 ，将第三项与 相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将 得到四个结论：① ；②当 时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 ；④第2022项为 ；⑤当 时， ；以上正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可以得出规律，第n项为 ， ，根据规律逐项求解判断即可． 【详解】解：由题意可知，第一项为 ，第二项为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ....． ∴ ， 故①正确； ∵将第二项与 相加作为第三项， ∴第三项为 ， 当 时， ， 故②错误； ∵将第3项与 相加作为第四项， ∴第4项为 ， 以此类推，第n项为 ， ∴第4项为 ， ∵第5项与第4项之差为15，∴ ， 解得 ， 故③正确； ∵第n项为 ， ∴第 项为 ， 故④错误； ∵ ， ∴ ， 故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较 大． 1．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知整式 ， ，则下列说法中正确的有（ ） ①不存在这样的实数 ，使得 ； ②无论 为何值， 和 的值都不可能同时为正； ③若 ，则 ； ④若 ，则 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B【分析】根据所给的说法，列出相应的式子进行运算作出判断即可得到答案． 【详解】解：①若 ，则 ， 整理得： ， 不存在这样的实数 ，使得 ，故①说法正确，符合题意； ②当 时，解得： ， 当 时，解得： ， 当 时， 和 的值同时为正，故②说法错误，不符合题意； ③若 ， 则 ，故③说法正确，符合题意； ④由题意得： ， ， ，故④说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减、利用平方差公式进行计算、利用完全平方公式进行计算、解不等式组， 熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 2．（2023下·浙江·七年级期末）下列四个结论，其中正确的是 ． ①若 ， ，则 可表示为 ； ②若 的运算结果中不含 项，则 ； ③若 ， ，则 ； ④若 ，则x只能是2． 【答案】 / 【分析】①①利②用②同①底数幂的乘法运算法则可知，此选项是正确的； ②利用整式乘法法则展开后可知，此选项是正确的； ③根据已知，利用完全平方公式可知，此选项是错误的； ④幂结果是1，则有两种情况，要么底数是1，要么指数为0，此选项错误．【详解】解：①若 ， ， 则 ， 故此选项正确； ② ∵不含有 项， ∴ ， ∴ ， 故此选项是正确的； ③∵ ， ∴ ， 故此选项是错误的 ④ ， 当 时， ，成立； 当 时， ，成立， 故此选项是错误的． 故答案为：①、②． 【点睛】本题考查幂的运算法则，多项式乘法，完全平方公式，乘方运算；掌握相关运算法则是解题的关 键． 3．（2023下·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）已知三个实数 ， ， 满足 ， 且 ，那么则下列结论一定正确的是 ．（只需要填序号） ① ；② ；③ ；④ 【答案】 / ②③③②【分析】由 得 ，代入 整理得 ，然后判断各个选项正确与否． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 整理得 ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴一定正确的是②③； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查完全平方公式，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质和完全平方公式等 知识点． 【经典例题九 乘法公式的相关计算】 【例9】（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，重点是多项式乘多项式法则以及完全平方公式的运用； （1）先算乘法，再合并同类项； （2）先用完全平方公式 去括号，再算加减；【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 1．（2023上·江苏南京·七年级南京市人民中学校考期中）计算： 【答案】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 2．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2)(3) (4) 【分析】本题考查的是整式的混合运算． （1）利用完全平方公式计算即可求解； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解； （4）先乘方，再计算乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ．（2023上·江西南昌·八年级统考期中）（ ）化简： （ ）先化简，后求值： ，其中 ． 【答案】（ ） ；（ ） ， ．【分析】（ ）去括号，合并同类项即可得到结果； （ ）去括号，合并同类项，再代入求值，即可得到结果． 【详解】（ ）解：原式 ， ， ； （ ）解：原式 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了整式的化简及化简求值运算，熟练掌握运算法则及整体代入思想是解题的关键． 3．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值： (1) (2) ． 【答案】(1)1 (2)4000000 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ；（2）解： ． 【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式，会利用乘法公式进行简便运算是解答的关键． 【经典例题十 乘法公式中的“知二求三”】 【例10】（24-25八年级上·江苏南通·期中）若 ， ，则 的值为（ ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到 ，再由 即可 得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 则 ， ∴ ， 故选：B． 1．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）已知 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式，由 得 ，由 得 ，然后 即可求解，解题的关键是掌握完全平方公式 ． 【详解】解：由 得 ， 由 得 ， 得： ， ∴ ， 故选： ． 2．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）若 ，则 ， ． 若 ，则 ． 【答案】 /3.5/ 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，立方根的应用，由 可得 ，进而根 据完全平方公式的变形运算可求出 、 ，由 得 ，根据立方根的定义 即可求出 ，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ， ， ． 3．（24-25八年级上·福建·期中）阅读理解： 若 满足 ，求 的值． 解：设 ， 则 ， ， ． 解决问题： (1)若 满足 ，则 ___________； (2)若 满足 ，求 的值； (3)如图，在长方形 中， ，点 是 上的点，且 ，分别以 为边在长方形 外侧作正方形 和正方形 ，若长方形 的面积为 ，则图中阴影部 分的面积和为多少？ 【答案】(1)96(2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积． （1）设 ，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； （2）设 ， ，利用完全平方公式变形求解即可； （3）利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设 ，则： ， ， ∴ ，即： ， ∴ ，即： ， 故答案为：96． （2）设 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ； （3）如图可得 ， 设 ， ，则 ， ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积是 ．【经典例题十一 乘法公式与几何图形的综合应用】 【例11】（2024八年级·全国·竞赛）若 与 互为相反数，则 的值为（ ） A．2 B．6 C．8 D．64 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个 非负数的和为0，得到它们同时为0，求出 ， 的值，根据完全平方公式变形即得． 此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值 与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键． 【详解】∵若 与 互为相反数， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）设 ， ， ．若 ，则 的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据完全平方公式得出 ， ，进而根据已知条件得出 ，进而即可求解． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， =7， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出 是解题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知 ， 满足 ，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由 ， ， ，得 ， ，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ，当 及 时，等号成立， ∴ ，当 及 时，等号成立， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ．故答案为： ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的 正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2 的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1： ； 方法2： ． (2)观察图2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系． ； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【答案】(1) ， (2) (3)见解析 (4)① ；②16 【分析】本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为 ，宽为 的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正 方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可；（4）①由题意可求出 ，即 ，再将 代入求解即可；②将原等式改为 ，再将 看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． 【详解】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算： ， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算： ； （2）解：由图2可直接得出 ； （3）解：如图； （4）解：①∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ； ② ， ， ， ， ∴ ． 【经典例题十二 利用乘法公式求最值】【例12】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则M的最小值是（ ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将 转化为 ， 再根据 即可得到 的最小值是2019． 【详解】解： ， ∵ ， ∴M的最小值是2019． 故选：C 1．（23-24八年级上·重庆·期末）多项式 的最小值为（ ） A．18 B．9 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质，解题关键是熟练运用完全平方公式进行变形，利用非 负数的性质确定最值．利用完全平方公式进行变形，再根据非负性确定最小值，即可解题． 【详解】解： ， ， ， 多项式 的最小值为18， 故选：A．2．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足 ， ，则 S的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决本题的关键．先将 变形为 ，再代入 ，然后进行变形，得到 ，最后探究 的最小值． 【详解】解：由题得 ， ， ∵ ， ， ∴ ，（当且仅当 ， 时取等号）， 经验证： ， 满足 ， 综上， 的最小值为6． 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问 题．观察下列式子： ① ， ∵ ，∴ ．因此代数式 有最小值 ； ② ． ∵ ，∴ ．因此，代数式 有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式 的最大值为________； (2)求代数式 的最小值； (3)如图，在四边形 中，对角线 、BD相交于点 ，且 ，若 ，求四边形 面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关 键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3） ，由面积公式，将其转化为 ，设 ，则 ，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最大值为13， 故答案为：13； （2）解： ∵ ， ，∴ ， ∴代数式 的最小值为 ； （3）解： ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 面积的最大值为18． 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右 边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的 运算符号相同． 根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平 方公式计算，不符合题意； B、 ，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公 式计算，符合题意；C、 ，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式 计算，不符合题意； D、 ，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现： ， ， ， ， ， ， ， ，依据上述规律，通过计算判断 的 结果的个位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的 指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结 果的个位数字是6； ． 由规律可得 的个位数字是6， ∴ 的结果的个位数字是6． 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式 是关于 、 的完全平方式，则 的值 为（ ）A．21 B．19 C．21或 D． 或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出 完全平方式为 ，再将其展开，则有 ，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式 是关于 、 的完全平方式， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 故选：C． 4．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）不论 、 为什么实数，代数式 的值（ ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．总不小于4 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和任何数的偶次幂都是非负数，熟练掌握配方法是解题关键． 先进行配方，再利用任何数的偶次幂都具有非负性即可求解． 【详解】解： ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A．5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形 中， ，点P为长方形内部一点，过 点P分别做 于点E、 于点F，分别以 为边做作正方形 ，正方形 ， 若两个正方形的面积之和为 ， ， ，则长方形 的面积为（ ） A．17 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，由正方形的性质和长方形的的面积公式可得 由 得 ，由完全平方公式可求 ，即 可求解． 【详解】解：∵四边形 和四边形 都是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ，∴ （负值已舍去）， ∵长方形 的面积 ， ∴长方形 的面积 ， 故选B． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那么m的值 是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断， 即可求出m的值． 【详解】解：整式 是某个整式的平方， ， 或 ， 即m的值是 或 ， 故答案为： 或 ． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期中）观察以下等式： ； ； ； ． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数， ，则 的最大值为 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了多项式运算中的规律探索，根据已知等式得到计算规律，并解决问题是解题的关 键，根据已知得到 ，再根据偶次方的非负性求出最 大值． 【详解】解：∵ ；； ； ． ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 的最大值为100， 故答案为：100． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，C是线段 上的一点，以 为边在 的两侧作正方形． 若 ，两个正方形的面积和 ，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，巧妙的运用完全平方公式，将已知条件转化为关于直角边长的乘积是解决本题的关键． 首先设三角形直角边长，利用 得到关于直角边长的等式，再根据完全平方公式求出两条直角边 的乘积，进而求得阴影面积． 【详解】解：设 ， 则 ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ， ， ，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把所求式子变形为 ，再利用 完全平方公式得到原式 ，据此代值计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴， 故答案为：12． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国北宋数学家贾宪在1050年左右发现了一个如图所示的奇 妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形．在这个“三角形”中，第三行的三个数 恰好 对应着两数和的平方 展开式 的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数 恰好对应着两数和的立方 展开式 各项的系数，等等．小明根据贾宪三角 形得出如下结论： ① ； ② 展开式的项中只有一项的系数是10； ③ 展开式的项中共有6项的系数是7的整倍数： ④ ．在以上的推断中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了完全平方公式的拓展，找出规律并运用规律是解题的关键．结合题意即可判断①和②； 把 的展开式的系数写出来，即可判断③．先根据规律整理原式得出 ，即可判断④， 据此进行作答． 【详解】解：依题意， ， 故①是正确的； ， 则 展开式的项有两项的系数是10； 故②是错误的； 的展开式的系数由左到右排列为 ， 则 展开式的项中共有6项的系数是7的整倍数： 故③是正确的； ， 故④是正确的； 故答案为：①③④． 11．（24-25六年级上·上海·期中）计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了整式的乘法，加减法运算，乘法公式，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先进行整式的乘法运算，再进行加减法计算； （3）先将其变形为 ，再利用平方差公式计算，最后再合并； （4）先变形为 ，再利用平方差公式计算，最后再合并； （5）先进行整式的乘法运算，再进行加减法计算； （6）先变形为 ，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： （5）解：（6）解： = ． 12．（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化 简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当 ， 时，原式 ． 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是 m，边长之差是n．(1)如图1，用含m、n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和：________，当 ， 时， A、B两个正方形纸片的面积之和为________． (2)如图2，如果A、B两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求m、n的值． (3)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得 图4，如果图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，那么A、B两个正方形纸片的面积之和为________． 【答案】(1) ， ； (2) ， ； (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平 方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设A、B两个正方形纸片的边长分别为 、 ，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面 积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可； （2）设A、B两个正方形纸片的边长分别为 、 ，由题意得： ， ，进而求出 ， ，即可求出m、n的值； （3）设A、B两个正方形纸片的边长分别为 、 ，由题意得： ， ，进而 求得 ，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为 、 ，由题意得： ，解得： ， A、B两个正方形纸片的面积之和为 ， 当 ， 时，A、B两个正方形纸片的面积之和为 ， 故答案为： ， ； （2）解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为 、 ， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为 、 ， 由题意得： ， ， ， ， A、B两个正方形纸片的面积之和为 ， 故答案为： ． 14．（24-25七年级上·天津和平·期中）小天在课外研究代数式 与 的关系，做了如下工 作： (1)计算：根据表格中所给的字母 和 的值，分别计算代数式 和 的值，填在表格空白 处． ， ，的值 的值 (2)猜想：比较两个代数式的计算结果，直接写出 与 有什么关系？ (3)验证：小天发现可以用几何图形说明上述猜想． 下图是用三种不同大小的正方形与长方形，拼成的一个大正方形，用两种方法表示大正方形的面积： 方法1：__________________，方法2：__________________． 由以上过程可知，（2）中的猜想成立． (4)应用：利用上面发现的结论，求下列两个式子的值． ① ； ② ． 【答案】(1)表格补充见解析 (2) (3)方法1： ，方法2： (4)① ；②4 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式求值及有理数的混合运算，正确得出结论并能灵活运用是解 答本题的关键． （1）将 的值代入计算即可； （2）根据计算结果得出 即可； （3）方法一：大正方形的面积等于边长的平方可得结论；方法二：根据大正方形的面积等于两个小正方 形的面积加上两个长方形的面积可得结果； （4）运用发现的结论求解即可． 【详解】（1）解：当 ， 时， ，； 当 ， 时， ， ； 填表得： ， ， 的值 9 4 的值 9 4 （2）解：由表格中的数据得： ； （3）解：方法一：由正方形面积公式得 ； 方法二：由正方形面积 故答案为： ； ； （4）解：① ； ② . 15．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、 乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．(1)【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到 之间的等量关系式： ； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ； (2)【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知 ，求 和 的值； (3)【拓展升华】 如图4，在 中， ， ，点 是边CE上的点，在边 上取一点， ，使 ， 设 ，分别以 ， 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若 ， 的面积等于 ，直接写出正方形 和正方形 的面积和． 【答案】(1)① ② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，完全平方公式变形求值； （1）①利用等面积法求得结论即可；②利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为 ， 代入数值求出结果即可； （3）设 ，根据题意得 ，再结合 ， 令 ，得出 ，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：①根据图2可得②根据图3可得阴影部分的面积为 或 ∴ ． （2）解：∵ ， ， ∴ ∴ ， ； （3）解：设 ，则 ， ， ， ∵ ， ， 令 ， ， 正方形 和正方形 的面积和：