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专题 02 二次函数 的相图像和性质（七大类型）
【题型1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
【题型2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【题型3 二次函数y=ax²图像性质】
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
【题型5 二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【题型7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
【题型1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
1．（2020九上·南丹期中）抛物线 y=−2x2 的对称轴是（ ）
1 1
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
2 2
2．（2021九上·武汉开学考）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
【题型2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
1
3.抛物线y=− x2 的开口方向是（ ）
3
A．向上 B．向下 C．向右 D．向左
4．（2022九上·普陀期中）已知抛物线y=(a−1)x2的开口向上，那么a的取值
可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
5．（2021九上·连山期末）如果抛物线 开口向下，那么 的取值
y=(a−2)x2 a
范围是（ ）
A．a>2 B．a<2 C．a>−2 D．a<−26．（2023九上·义乌期末）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 .
7．（2023九上·平桂期末）二次函数y=ax2的图像经过点(−2，8)，则a的值为
.
4
8．（2022九上·永嘉月考）二次函数y=− x2 的图像开口向 (填
3
“上”或“下”)
9.（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；
②y＝ x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次
是（填序号） ．
10．（2022九上·柳林期中）若二次函数y=(m−1)xm2+1的图象开口向下，则m
的值为 ．
11．（2021九上·台安期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝
．
12．（2021九上·奉贤期中）如果抛物线 y=(m+1)x2 的最低点是原点，那么
实数 m 的取值范围是 ．
13．（2021九上·龙岩期末）已知二次函数y＝ax2开口向下，且|2﹣a|＝3则a＝
.
【题型3 二次函数y=ax²图像性质】
14.（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
15.（2022 秋•滨江区期末）已知二次函数 y＝（m﹣2）x2（m 为实数，且
m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2
16．（2021九上·蓬江期末）关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴
D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
17．（2022九上·东阳期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增
大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
18．（2022九上·通州月考）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
1
19．（2022九上·杨村月考）同一坐标系中作y=3x2，y=−3x2，y= x2的图像，
3
它们的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，抛物线开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点
D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点
20．（2022九上·拱墅期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣
1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
21．（2021九上·长丰期末）若二次函数y=mx2（m≠0）的图象经过点（2，-
5），则它也经过（ ）
A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）
22．（2021九上·余杭月考）若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它
也经过（ ）
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)23．（2020九上·沙河口期末）关于二次函数 y=x2 图象，下列叙述正确的有
（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过 (0，0) ； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
24．（2022九上·嘉兴期中）已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m
的范围是 ．
25．（2021九上·汉阳月考）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
26．（2020九上·梅河口期末）已知，直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2 相交
于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (−3,m)
（1）求 a ， m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
27．（2023九上·衢州期末）将抛物线y=−x2向左平移2个单位，所得抛物线是
（ ）
A．y=(x−2) 2B．y=−(x−2) 2 C．y=−(x+2) 2 D．y=−x2+2
28.（2022秋•承德县期末）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y
＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
29.（2022秋•新丰县期末）将抛物线 的图象向下平移3个单位长度，则
平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023九上·泰兴期末）将抛物线y=−2x3向上平移3个单位长度，所得抛
物线解析式为 .
【题型5 二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
31.已知点A（－2，y ），B（1，y ），C（3，y ）在二次函数y=−2x2图象上，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0时，函数y=ax2与y=ax+b的
图像是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
36.（2022秋•栖霞市期末）如图， O的半径为2，C 是函数 的图象，
1
⊙
C 是函数 的图象，则阴影部分的面积是（ ）
2
A．4 B．2 C． D．无法确定
37．（2021九上·福山期中）二次函数y=❑√3x2的图象如图，点A在y轴的正半轴
π π π
上，点B，C在二次函数y=❑√3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且
∠ACO=120°，则菱形OBAC的面积为 ．38.（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建
立平面直角坐标系，作出函数 y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积
是 ．
39．（2021九上·通州期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别
1
交抛物线y =x2 (x≥0)与y = x2 (x≥0)于B、C两点，那么线段BC的长是
1 2 4
．
40．（2021九上·互助期中）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，
1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a
的取值范围是 ．41．（2020九上·砀山期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B
（-1，-1），若抛物线 y=ax2 (a≠0) 与线段AB有交点，则 a 的取值范围是
.
42．（2020九上·禹城期末）如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cm．O
是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y=ax2经过
C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．
1
43．（2021九上·甘州期末）如图，⊙O的半径为2，C 是函数y＝ x2的图象，
1 2
1
C 是函数y＝－ x2的图象，则阴影部分的面积是 .
2 244.（2022九上·长汀月考）已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存
在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
