文档内容
专题03 圆周角定理重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 圆周角的概念辨析
题型二 利用圆周角定理求角度
题型三 利用圆周角定理求长度
题型四 利用圆周角定理求面积
题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题
题型六 半圆所对的圆周角是直角问题
题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题
题型八 已知圆内接四边形求角度
题型九 求四边形外接圆的直径
题型十 圆周角综合问题
知识点一、圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接
圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
【经典例题一 圆周角的概念辨析】
【例1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是
直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆
内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2023·重庆·模拟预测）如图，在 中，弧 所对的圆周角 .若D为弧 上一点，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．22°
2、（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE
交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝3．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB
＝OC，求 的度数
【经典例题二 利用圆周角定理求角度】
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图， 内接于 ，且 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·安徽·模拟预测） 为 的外接圆， ， 为 的直径，若 ，则
为（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形 是 的内接四边形， 为 延长线上一
点， ，则 等于 ．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的外接圆， 平分 并交 于点 ，
分别连接 ．
(1) 与 相等吗？为什么？
(2)若弧 的度数与弧 的度数之比为 ，求 的度数．
【经典例题三 利用圆周角定理求长度】
【例3】（2024·陕西榆林·三模）如图，矩形 内接于 ，若 ，则 的半径为（
）A．4 B．2 C． D．
1．（2024九年级下·云南·专题练习）如图 的直径 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ，
的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在 中， ， ， 的外接圆 的半
径为3，D是边 延长线上一点，连接 ，交 于点E，连接 ．若 为等腰三角形，则线段
的长度为 ．
3．（2024·安徽合肥·三模）如图， 的两条弦 ，垂足为 ，点 在 上， 平分 ，
连接 ，分别交 于 于 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 的半径为2，求 的长．
【经典例题四 利用圆周角定理求面积】
【例4】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示， 的半径是3，直线l与 相交于A，B两点，点M，
N在直线l的异侧，且是 上的两个动点，且 ，则四边形 面积的最大值是（ ）
A．9 B． C．18 D．
1、（23-24九年级上·安徽·期末）如图，M，N是 上的两个动点，且在弦AB的两侧，若 的半径是
， ，则四边形 面积的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 是 的弦，C是优弧 上一点，连接 、 ，若
的半径为6， ，则 面积的最大值为 ．
3．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图1， 中， ， ．点D在 上，且
．点E在AB上，过C、D，E三点的 交 于点F．
(1) ______°；
(2)若 ，求 的长；
(3)如图2，若点E为 的中点，求四边形 的面积S．
【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】
【例5】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点 是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，
作 于点 ，连接 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·陕西安康·模拟预测）如图， 是 的直径，点C，D，E在 上．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·模拟预测）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，连接 ， ， ，若
，则 的度数为 ．
3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图， 的直径 为10，弦 为6，D是 的中点，弦
和 交于点F，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证：
(3)求 的长．
【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】
【例6】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图， 是 的直径，C是 上的一
点，若 ， 于点D，则 的长为（ ）A． B． C． D．
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，连接 、 是 的直径，
，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C．45 D．
2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形 内接于 ，延长 交 于点E，连接 ，
若 ， ，则 的大小为 °．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 内接于 ，D是弧 的中点，延长
到点E，使 ，连接 ， ．
(1)求证： ．(2)若 ，求 的半径，
【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】
【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，D为线
段 上的动点，连接 ，过点B作 交 于点E，则在点D的运动过程中，求线段 的最小
值为（ ）
A．10 B． C．5 D．
1．（2024·河南南阳·一模）如图，在 中， ，点D在以 为直径的半圆上，
连接 交 于点E，若 ，则 所对的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ，
是弧 上的一个动点，连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的
最小值是 ．3．（2024·河南南阳·一模）如图，点E是正方形 的边 上一个动点，连接 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段 上作一点G、使 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)延长 交 于点 ，求证： ；
(3)随着点E在边 上运动，当 时，直接写出线段 长的最小值．
【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】
【例8】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图， 均是 上的点，且 是 的直径，若
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图，圆内接四边形 两组对边的延长线分别交于点E，
F，且 ， ，则 ．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆，P点是 劣弧 上的一
个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 ，点P在劣弧 上运动的过程中，
① 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【经典例题九 求四边形外接圆的直径】
【例9】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，点C为 的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·四川德阳·统考一模）如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，
连接 作 ，垂足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形 中， ， ， 的两边分别
交边 、 于点E、F，且 ，记 的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为
．
3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段 的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合）， ， ，作 轴， ，交点为P，设P的坐标为 ，则
．
4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形 中， ，点 分别在 ， 上，
， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求 的长？
(3)当 时，求 的最大值？
5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小
覆盖圆．
(1)如图①，线段 ，则线段 的最小覆盖圆的半径为_________；
(2)如图②， 中， ， ， ，请用尺规作图，作出 的最小覆盖圆
（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；
(3)如图③，矩形 中， ， ，则矩形 的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等
圆完全覆盖该矩形 ，那么这两个等圆的最小半径为_________．【经典例题十 圆周角综合问题】
【例10】（2024·山东济南·二模）已知 ，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大
于 长为半径画弧交于点E，画射线 ．
步骤2：在 上任取一点O，以点O为圆心， 长为半径画半圆，分别交 ， ， 于点P，Q，
C；
步骤3：连接 ， ．
则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． 垂直平分 D．
1．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形 中，点 是对角线 上一点，连接 ，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．3.5
2．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形 中， ，M是 边上一个动点，以 为直径的圆
与 相交于点Q，P为 上另一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装
了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”． ， ．求证： ．
【模型应用】
（2）如图2， 中， 的平分线 交 于点 ．请你从以下两个条件：
① ；② 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明
过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3， 为 的直径， ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
求证： ．1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点
，若 平分 ， ， ，则 的长为（ ）．
A．2 B．3 C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 弦，半径 于点C， 为直径，
，线段 长为（ ）
A． B．8 C． D．
3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线 交 于 两点， 是 的直径，点
为 上一点，且 平分 ，过 作 ，垂足为 ，且 ， 的直径为20，
则 的长等于（ ）A．8 B．12 C．16 D．18
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形 的边长是6，点F在 边上，且
，点H是射线 上的一个动点，以 为直径作 ，连接 交 于E点，连接 ，则
线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，
，在矩形内找一点 ，使得 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 的一条弦， 于点 ，交 于点
，点 在 上， ，则 °．
7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若四边形 为 内接四边形， ，则°．
8．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 于 交
于点 ， ， ， ，则 的半径为 ．
9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦， 是优弧 上一动点，连接 ， ，
， 分别是 ， 的中点，连接 ．
（1）若 取得最大值，则点 在线段 上；
（2）若 ， ，则 的最大值为 ．
10．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点D为线
段 上一动点．以 为 直径，作 交 于点E，连 ，则 的最小值为 ．
11．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， ， 分别是 的直径和弦， 于点 ，
连接 、 ， ， ，求 的长．12．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图， 为 的直径，点C，D为直径 同侧圆上的点，且点
D为 的中点，过点D作 于点E，延长 ，交 于点F， 与 交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为 的中点，求 的度数；
（Ⅱ）如图②，若 ，求 的半径．
13．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点
E．
(1)求证： ；
(2)连接 并延长，交 于点G，连接 ，若 ，求 的长．
14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1， ， 是半圆 上的两点，点 是直径 上一点，
且满足 ，则称 是 的“相望角”，如图，(1)如图2，若弦 ， 是弧 上的一点，连接 交 于点 ，连接 ．求证： 是 的
“相望角”；
(2)如图3，若直径 ，弦 ， 的“相望角”为 ，求 的长．
15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E为
延长线上一点，且 平分 ．
(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．
