文档内容
专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 确定圆的条件
题型八 圆中角度的计算
题型九 圆中线段长度的计算
题型十 求一点到圆上点距离的最值
知识点一、圆的相关概念
（1）圆的定义
1．在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径
确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
（2）点和圆的位置关系
点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系
图示
位置关系 文字语言 符号语言
圆内各点到圆心的距离都小于半径， P A
点在圆内 点 在圆内 r
到圆心的距离小于半径的点都在圆内 O
圆内各点到圆心的距离都等于半径， A P
点在圆上 点 在圆上 O
到圆心的距离等于半径的点都在圆上 r圆内各点到圆心的距离都大于半径， A P
点在圆外 点 在圆外 O
到圆心的距离大于半径的点都在圆外 r
点拨：（1）利用 与 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定 与 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左
端。
（3）弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径
的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作\s\up6(⌒)，读作弧AB．在同圆或
等圆中，能够重
合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做
优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
直径是圆中最长的
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦 ”
弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径 ” 但弦不一定是直径
C
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条
弧、 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆； B
半圆是弧，但弧不
半圆、 大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的 O
一定 A
劣孤、 ；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右
是半圆
优弧
图中
等圆只和半径的大
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个
等圆 小有关，和圆心有
圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
位置有关
长度相等的孤不一
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
定是等孤
知识点二、确定圆的条件
1．过已知点作圆条件 过不在同一条直
过一点作圆 过两点作圆
类别 线上的三点作圆
经过不在同一条直线上的三点 ，
经过平面内的两个点 ，
经过平面内一个点 作圆
， 作圆，圆心到这三个点的距离相
作圆，由于圆心到这两
时，只要以点 以外任意
等。因此，圆心是线段 ， 的
个点的距离相等，所以圆
理论 一点为圆心，以这点到点
心在线段 的垂直平分 垂直平分线的交点 ，以点 为圆
依据 的距离为半径就能作出
线上，这样的圆心有无数 心，以 （或 ， ）为半径
一个圆，这样的圆能作出
多个，这样的圆能作无数
无数多个 可作出经过 ， ， 三点的圆，这
多个
样的圆只有一个
A
O
1 A
圆形
A O
O O O
1 2 3
O 3 O 2 B B C
结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
3．三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角
形外接
圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
A A A
B C
B O C B O C O
图1 图2 图3【经典例题一 圆的基本概念辨析】
【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周
角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的
弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在 中，
（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
（3）弦有： ．
（4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示， ， 是 的高，求证： ， ， ， 四点在
同一个圆上．
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在 中，点 在一条直线上，点 在一条直
线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有
条，劣弧有 条．
3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 是 内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别
按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与 相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与 全等的三角形．
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为
坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知 是半径为3的圆中的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．1
2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若 的半径为3，则 的弦 的长度的取值范围是 ．
3．（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且 ，
点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求 的最大
值.【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是 的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A
开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径
上不断爬行，直到行走 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
1．（2022·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手
掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形
ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心， 对角线的长为半径画弧，四条弧相交于
点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，
分别以两圆半径为边长作正方形 和正方形 ，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 ）
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的面积为225 ，长和宽的比为5∶3，在此长
方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为 的圆（ 取3），请通过计算说明理由．
【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
点 在边 上， ， 的半径长为 ， 与 相交，且点 在 外，那么 的半径长 可能
是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ， ，点D在边
上， ，以点D为圆心作 ，其半径长为r，要使点A恰在 外，点B在 内，则r的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆
的半径是 ．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB
的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则 外接圆半径的长为（ ）.
A． B． C． D．1．（2023·广东汕尾·二模）如图，在 的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、
D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若点O是等腰 的外心，且 ，底边 ，则
的面积为 ．
3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，
2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；⊙M的半径为 ；
（3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M ；
（4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 个格点．【经典例题七 确定圆的条件】
【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形
内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2024·江苏徐州·一模）如图， ， ， ，点 在 上运动，当 最大
时，则 的长度是（ ）
A．15 B．20 C． D．
2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直
线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中， ．
(1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．
(2)将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点A与点D对应，点D在线段 上，请在图中画出；
(3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）
【经典例题八 圆中角度的计算】
【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形 是平行四边形，
交圆O于点F，则 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上，
交 于点 ，且 ．则 ．3．（23-24九年级下·海南海口·阶段练习）如图所示， 为 的直径， 是 的弦， 的延
长线交于点 ，已知 ．求 的度数．
【经典例题九 圆中线段长度的计算】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交
点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得 的外心为O，求 的长度为何（ ）
A．4 B．5 C． D．
1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在 中， ， ， ，以点B为圆心，
为半径画弧交边 于点P，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024·山东泰安·三模）如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为
半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ．若 ，则圆O半径的长为 ．3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图， ，在射线 上顺次截取 ， ，
以DB为直径作 交射线 于 、 两点．求：
(1)圆心O到 的距离．
(2)求 的长．
【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】
【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是
边的中点， 是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最
小值是（ ）A． B．6 C．4 D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，动点P在矩形的边上沿
运动．当点P不与点A、B重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
P的运动过程中，线段 的最小值为 ．
3．（2023·河北衡水·统考二模）如图， 和 均为边长为 的等边三角形，点 在边 上，
是 的中点，作点 关于 的对称点 ，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)求 的最小值；
(3)若 与 垂直，求 的长．
1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形 中， ，以点B为圆心r为半径作圆，
且 与边 有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在 中， ．分别以 为圆心， 长为半
径作圆 、圆 ，关于 点位置，下列叙述中正确的是（ ）
A．在圆 外部，在圆 内部 B．在圆 外部，在圆 外部
C．在圆 内部，在圆 内部 D．在圆 内部，在圆 外部
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形 的边长为4，点 为边 上一动点，
于 ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当点 从点 运动到点 时，点 的
运动路径长为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，E是直角边 的中点，F是直角边 上的
一个动点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，D是斜边 的中点，若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·山东日照·二模）直线 与x，y轴分别交于A，B两点，P是以 为圆心，1为
半径的圆上一点，连接 ，则 面积的最大值为（ ）A．27 B．10 C．23 D．32
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
7．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是 内一点 点P不与圆心O重合 ，点P到圆上各点
的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的半径
为 ．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形 的边长为4，点P是以 为直径的半圆O上一
点，则 的最小值为 ．
9．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 延长线上一点，点 在
上，且 ， 的延长线交 于点 ．若 ，则 度数为 ．10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ．以点 为圆心，
为半径作圆．
（1）当点 在 内时， 的取值范围是 ；
（2）若 ，则点 在 ，点 在 ；
（3）当点 中只有两点在 内时， 的取值范围是 ．
11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 的半径 ， 是弦， 是 上一点，且
， ．求 的度数．
12．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：如图，在 中， ， ， ，
以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ．(1)求 的长；
(2)若 ，求 的度数；
(3)若点 是线段 上的动点，则线段 的长度取值范围是________．
13．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图， 是 的直径， ， 交 于点 B ，
且 ，求 的度数．
14．（23-24九年级上·全国·单元测试）问题探究
（1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；
拓展应用
（2）如图（2）， 是正方形 内一定点， 是对角线 、BD的交点．连接 并延长，分别交
AD、 于 、 ．过 作直线 ，分别交 、 于 、 ．求证： 、 将正方形
的面积四等分．
15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形 的边 ， ．(1)以点A为圆心， 为半径作 ，则点B，C，D与 的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作 ，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则 的半径r的
取值范围是什么？
