文档内容
专题02 垂直于弦的直径重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
题型一 根据垂径定理求半径
题型二 根据垂径定理求长度
题型三 根据垂径定理求角度
题型四 根据垂径定理求面积
题型五 利用垂径定理求平行弦问题
题型六 利用垂径定理求同心圆问题
题型七 利用垂径定理求解其他问题
题型八 垂径定理的推论
题型九 垂径定理的实际应用
题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证
题型十二 垂径定理中的最值问题
知识点一、圆的对称性
（1）对称中心
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆
心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。
1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量
都分别相等。
3. 将整个圆分为 等份，每一份的弧对应 的圆心角，我们也称这样的弧为 的弧。圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图
形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
知识点二、垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；几 何 语 言：
垂径定理的几个基本图形：
垂径定理在基本图形中的应用：
2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推
三．
注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．【经典例题一 根据垂径定理求半径】
【例1】（2024·浙江杭州·一模）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点E，连接 ．若
，则 的半径长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设 的半径是r，由垂径定理得 ，根据勾
股定理列得 ，即 ，求出r即可．
【详解】解：设 的半径是r，
∵弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为10．
故选：C．
1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）线段 是 的直径，弦 于点 ．若
，则 半径长为（ ）A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、圆的性质、勾股定理等知识，连接 ，如图所示，由
垂径定理得到 ，设 ，在 中，由勾股定理列方程求解即可得到答
案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：连接 ，如图所示：
线段 是 的直径，弦 于点 ，
，
在 中， ， ，由勾股定理可得 ，解得 ，
故选：D．
2．（2024·贵州遵义·一模）如图， 是 的直径，将弧 沿弦 折叠后，弧 刚好经过圆心 ．
若 ，则 的半径长是 ．【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定
义与性质、含 角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键．
过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，根据折叠的性质，得出 垂直平分 ，根据垂
直平分线的性质得出 ，则 ，证明 为等边三角形，得出 ，由
、垂径定理得出 ，推出 ，根据含 角的直角三角形的性质得出
，由 ， ，推出 是 的中位线，根据中位线的性质得出
，由 得出答案即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，
∵弧 沿弦 折叠后，弧 刚好经过圆心 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，∴ ，即 的半径长是 ．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，AB是 的弦，C是 的中点．
(1)连接 ，求证： 垂直平分AB；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意 ，有 ，运用垂径定理即可解得答案；
（2）由（1）知， 垂直平分 ，交点为 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，
设 的半径为 ，则 ， ，在 中运用勾股定理解出答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ．（2）解：由（1）知， 垂直平分 ，交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中，根据勾股定理，可知 ；
设 的半径为 ，
则 ， ，
在 中，
，即 ，
解得： ．
【经典例题二 根据垂径定理求长度】
【例2】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段 ， 分别为 的弦， ， ，
是 的平分线，若 ，则弦 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判
定的应用，过点 作 垂直于 的延长线，交于 ，作 于 ，连接 ， ，根据圆内接四
边形的性质可得 ，由 平分 ，可得 ， ， ，
，再证明 ， ，可得 ， ，则
，进而求得 ，可知 ，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键．
【详解】解：过点 作 垂直于 的延长线，交于 ，作 于 ，连接 ， ，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ， (圆内接四边形对角互补)，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，即： ，
∴ ，
故选：D．
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则
这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先画出图形，再利用垂径定理与勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，记弦与圆的交点分别为 ，连接 ，
过 作 于 ，
∴ ， ，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：D
2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，连接 ，， ，则弦 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此
题的关键．过 作 于 ，求出 ，根据等腰三角形的判定得出 ，设
，则根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理求出 即可．
【详解】解：过 作 于 ，则 ，
，
，
，
设 ，
直径 ，
，
， 过圆心 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
，
，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ， ，弦 ，垂足为点 ，求 的长度．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
过O作 于点E，过O作 于点F，连接 ， ，先证明四边形 是矩形，得出
， ，然后根据垂径定理求出 ， ，在 和 根据勾股定理得出
，然后求解即可．
【详解】解∶过O作 于点E，过O作 于点F，连接 ， ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，又 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
在 中， ．
【经典例题三 根据垂径定理求角度】
【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， 是直径， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等弧对的圆心角相等得 ，即可
求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．1．（2024·安徽亳州·二模）如图， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点．若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到 ，再由同弧所对的圆心角相等及等
腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
，
，
点 是劣弧 的中点，
，则 ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三
角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决
问题的关键．2．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知 为 的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径 所在的直
线上找一点P，连接 交 于点Q（异于点P），使 ，则 ．
【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段
延长线上时，当点P在线段 上时，当点P在线段 延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段 延长线上时，连接 ，
∵点C为半圆上的四等分点，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点P在线段 上时，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点P在线段 延长线上时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图， 是 的直径， 于点 ，连接 并延长交
于点 ，且 恰为 的中点．(1)求 的度数；
(2)证明： 是 的中点．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接 ，由垂径定理得出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ， ，从
而得出 ，推出 是等边三角形，即可得出结论；
（2）证明出 是等边三角形，结合 得出 ，即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
，
， 为 的直径，
，
垂直平分 ，
，
为 的中点， 过圆心，
，
垂直平分 ，，
，
是等边三角形，
， ，
（2）解： 为 的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，即 是 的中点．
【经典例题四 根据垂径定理求面积】
【例4】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别
交于A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上
运动时， 面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延长线
恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，
点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，
∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于
A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动
时， 面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延长线
恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，
点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最
大值是解题关键．
2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中） 的直径 ，弦 ，且 于E，则 的
面积 .
【答案】8或32/32或8
【分析】根据描述画出图形，连接OC，根据勾股定理求得OE的长，从而求得AE的长，再利用三角形面
积公式即可求得．
【详解】①如图所示，连接OC，
由题知 ， ，
， ，，
，
；
②如图所示，连接OC，
同①可得 ，
，
；
故答案为：8或32．
【点睛】本题考查圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是构造直角三角形运用勾股定理，注意分类讨论．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆
于点B、C．
(1)求证：
(2)当 时，求大圆与小圆的面积之差．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）过点 作 于点 ，利用垂径定理可得 ， ，即可证明 ；
（2）连接 ，作 于点E，根据垂径定理得 ， ，再根据圆的面积公式，
勾股定理和平方差公式计算即可．
【详解】（1）证明：如下图，过点 作 于点 ，
则 ， ，
∴ ，
即 ；
（2）解：如图，连接 ，作 于点E，则 ， ，
大圆与小圆的面积之差为：
．【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】
【例5】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接
BE，若AB=2 ，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，
则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
【答案】A【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定
理求出答案.
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE 3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF 4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.
2．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与
AB之间的距离是 ．【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股
定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在 上， 经过圆心O的线段 于点
F，与 交于点E，已知 半径为5．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）若 ，且 ，求弦 的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得 ，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE
的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设 ，在 中，利用勾股
定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，∵ ，且EF过圆心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
，
∴ ；
（2）如图，连接BO和DO，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，解得 ， （舍去），
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，
O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】B
【分析】根据图形作线段 和 的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图
作线段 和 的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置
在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯
底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后
运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
2．（23-24九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形 的边 和 分别是
两圆的弦，则矩形 面积的最大值是 ．【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之
间的关系得出S = S = S ，从而得出S 最大时，S 也最大，过点D作AO边上
AOD 矩形APND 矩形ABCD 矩形ABCD AOD
△ △
的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S 的最大值，从而求出结论．
AOD
△
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S = S
矩形APND 矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S = S = S
AOD 矩形APND 矩形ABCD
△
∴S 最大时，S 也最大
矩形ABCD AOD
△
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S = AO·h≤ AO·OD= ×2×4=4
AOD
△
故S 的最大值为4
AOD
△
∴S 的最大值为4÷ =16
矩形ABCD
故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的
关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关
键．
（1）过O作 于点E，由垂径定理可得 ， ，再用等式的性质即可得证；
（2）连接 、 ，利用垂径定理求出 ，在 中，由勾股定理求出 ，然后在 中，
利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图，
由垂径定理可得 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 、 ，如图，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，即小圆的半径r为
【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】
【例7】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C
是圆上的点，则此圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得
AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最
后再根据圆的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，
设OD=x，则OE=16-x，
∵OB=OC，
∴OB2=OC2，
∴22+(16-x) 2=62+x2，
解得x=7，
∴r2=OB2=22+92=85，
∴圆的面积S=πr2=85π，
故选：B．
【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的
关键．
1．（2024·湖北·模拟预测）西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．
如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点 是这条弧所在圆的圆心，点 是 的中点， 与 相交于点
．经测量， ， ，那么这段弯道的半径为（）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由勾
股定理列出关于半径的方程．连接 ， ，设这段弯道的半径为 ，由圆心角、弧、弦的关系得到
，由等腰三角形的性质得到 ，由垂径定理求出 的长，由勾股定理得到
，求出 即可．
【详解】解：连接 ， ，
设这段弯道的半径为 ，
是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
这段弯道的半径为 ．
故选：A
2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示
折痕，则 的度数是 ．【答案】 / 度
【分析】过O作半径 于点F，连 ，由垂径定理得到 ，则有 ，
再根据题意证明 为等边三角形，得到 ，则 ， 的度数可求．
【详解】解：过O作半径 于点F，连 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
则 的度数是 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴对称图形的性质，
熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键．
3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1) ， 均为格点，且 经过 ， 两点，作出 的中点 ；
(2) ， 均为格点，且 ， ， 均在圆上，作出 的中点 ；
(3) ， ， ， 四点都在圆上，且 ，作出 的中点 ；
(4) ， 均是 上的点，且 ， 都在格线上，在圆上作一点 ，使得 是 的中点．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析；
(4)作图见解析．
【分析】（ ）找 中点，连接 ，交 与点 ；
（ ）先找出圆的圆心 ，然后由垂径定理即可；
（ ）连接 ， 交于一点，延长 、 交于一点，然后连接两交点，交 与点 ；
（ ）根据网格特征即可；
此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用．
【详解】（1）如图，找 中点，连接 ，交 与点 ，
∴点 即为所求；
（2）如图，先找出圆的圆心 ，然后由垂径定理即可，∴点 即为所求；
（3）连接 ， 交于一点，延长 、 交于一点，然后连接两交点，交 与点 ，
∴点 即为所求；
（4）如图，已知图 中，
延长 交 于点 ，
∴ ，根据网格作高的特点，作 的高 ，
∴ ，延长 交 于点 ，
根据同弧所对的圆周角相等，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 即为所求．
【经典例题八 垂径定理的推论】【例8】（2022九年级上·全国·专题练习）下列命题中错误的有（ ）．
（1）弦的垂直平分线经过圆心 （2）平分弦的直径垂直于弦
（3）梯形的对角线互相平分 （4）圆的对称轴是直径
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的性质，垂径定理和四边形的识别，根据垂径定理可对命题（1）（2）进行判
断，根据四边形的相关性质可对命题（3）进行判断，根据对称轴的定义可对命题（4）进行判断，熟练掌
握相关性质是解本题的关键．
【详解】（1）弦的垂直平分线经过圆心，这个命题正确；
（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以命题（2）错误；
（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以命题（3）错误；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以命题（4）错误；
因此以上命题中有3个命题是错误的，
故选：C．
1．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，在 中， 为直径， ，点 为弦 的中点，
点 为 上任意一点（点 不与点 重合），则 的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的
关键．连接 ，先求出 ， ，设 ，则 ，
，然后运用等腰三角形的性质分别求得 和 的值，然后即可解答．
【详解】解：连接 ，如下图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为弦 的中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 可能是 ．
故选：C．
2．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图， 是 的弦， 是 的中点，连接 并延长交
于点 ．已知 ， ，则 的半径为 ．【答案】5
【分析】连接 ，由垂径定理的推论得 ，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程
，求解即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴
设 的半径为 ，
∵
∴
在 中， ，即 ，
解得， ，
即 的半径为 ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理的推论判断出 是 的垂直平分线是解答此
题的关键．
3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ，以点C为圆心， 长为半
径的 与 相交于点 ．(1)若弧 的度数为 ，则 ______°；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)35
(2)
【分析】（1）先求得 ，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得 ，据此即
可求解；
（2）作 于 ，由垂径定理和勾股定理求得 ， ，利用等积法求得 的长，再
利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵弧 的度数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：35；
（2）解：作 于 ，如图，
由垂径定理得 ，
由勾股定理得 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
【经典例题九 垂径定理的实际应用】
【例9】（2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液
体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由 去掉两个弓形后与矩形 组合而
成的图形，其中 ，若 的半径为25， ，则该平底烧瓶的高度为
（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接 ，过点O
作 ，交 于点E，交 于点F，，利用垂径定理，得到 ，再利用勾股定理，
， ，即可求出平底烧瓶的高度．【详解】如图，连接 ，过点O作 ，交 于点E，交 于点F，
∵ ，
∴ ，
且易知 平分 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
由勾股定理得 ， ，
∴该烧瓶的高度为 ．
故选：D
1．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为 ，
若油面的宽 ，则油槽中油的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，根据垂径定理、勾股定理求出 即可
【详解】解：如图，过点O作 ，垂足为D， 的延长线交 于点C，连接 ，则
，在 中，
∴
∴ ,
故选：A．
2．（23-24九年级上·北京海淀·期末）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，
图1所示是一个竹筒水容器，图 为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为 ，开口 宽为 ，
这个水容器所能装水的最大深度是 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，先由垂径定理求出 的长，再根据
勾股定理求出 的长，进而可得出 的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅
助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【详解】解：连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，如图所示：
∵ ，∴ ，
由题意得： ，
在 中，
，
∴ ，
即水的最大深度为 ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、
完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高 （优弧 中点到 的距离）， ， ，求拱门
的圆弧半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是
解题的关键，
（1）在拱门上找任意一点，分别与 相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
（2）先证四边形 是矩形，设 ，再根据勾股定理求得 的值，即可得到拱门的圆弧半径．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求，（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
过点 作 于 ， 交优弧 于点 ， 交 于 ， 则
， ， ，
设 ， 则 ，
，
在 中， ，
∴ ，
，
解得 ，
∴拱门的圆弧半径为 ．【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【例10】（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 的顶点A、B、C均在 上，点A是 中点，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：A、∵点A是 中点，
∴ ，
∴ ，
无法得出 ，故选项A错误；
B、如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故此选项正确；
C、∵ ，
∴ ，故选项C错误；
D、无法得出 ，故选项D错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，则下列结
果中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断 、 选项，根据在同圆或等圆中： 圆心角相等；
所对的弧相等； 所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断 选项，可利用垂径定理及全
等三角形的性质判断；要判断 选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦
之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意在 中， ， ， ，
∴根据在同圆或等圆中： 圆心角相等； 所对的弧相等； 所对的弦相等；三项“知一推二”可得：
， ， ，
∴ 、 、 正确， 错误，
故选： ．
2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知 和 是 的两条等弦， ， ，垂足分别为 ， ， ， 的延长线交于点 ，连接 ，下列四个说法中： ，
， ， ，正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接 ，
根据圆心角、弧、弦的关系得 ，再证明 ， 即可求解，解题
的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
【详解】连接 、 ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故 正确；∵ ，
∴ ，故 正确，
综上 正确，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图， 是 的直径，点C为 的中点， 为 的弦，
且 ，垂足为E，连接 交 于点G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据弧与弦的关系证明 ，根据同弧所对的圆周角相等，证明 ，结合对
顶角相等，根据 证明： ；
（2）连接 ，设 的半径为r，由 列出关于r的勾股方程即可求解；
【详解】（1）证明：∵点C为 的中点，
∴ ，
∵ 是 的直径，且
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，设 的半径为r，
中， ，即 ，
中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识
是解题的关键．【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作
于点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，首先证明 ，设 ,在 中，利用勾股定理构建方程即可解决
问题
【详解】解：如图，连接 ．
，
， ，
点D是弧 的中点，
，
，
，，
设 ,
在 中，则有 ，
解得 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题，属于中考常考题型．
1．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）在 中， ， 为两条弦，下列说法：①若 ，
则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则
，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及垂径定理，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等”可对①②进行分析判断；由
只能说明弧 所对的圆心角是弧 所对的圆心角的2倍，不能判断 ，据此可对③
进行分析；接下来根据圆心角与弧的关系对④进行分析．
【详解】解：根据圆心角、弧、弦的关系可知：① ，则 ，①正确，符合题意；
② ，则 ，②正确，符合题意；
③如上图所示，若 ，则点 为 的中点，连接 ，交 于点 ，
， ，
，即 ，
，
故③错误，不符合题意；
④如上图所示，若 ，
，
，
，
故④正确，符合题意．
故选：C．
2．（23-24九年级·全国·课后作业）如图， 是四边形 的外接圆， 平分 ，则正确结论
的序号是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．【答案】②⑤
【分析】根据角平分线的定义可知∠BAC=∠DAC，根据等角对等弧，等弧对的弦相等进行判断即可．
【详解】①∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，.AB与AD不一定相等，故本结论错误；
②AC平分∠BAD，∠BAC=∠DAC，BC=CD，故本结论正确；
③∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本结论错误；
④∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本结论错误；
⑤AC平分∠BAD，∠BAC=∠DAC， ，故本结论正确.
故答案为②⑤.
【点睛】本题考查了角平分线的定义，同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧对的弦相等，掌握以上知识是
解题的关键．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知 为 的直径， ， 绕点 旋转，
， 两点不与 ， 重合．
(1)求证： ；
(2) 成立吗？为什么．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不成立，理由见解析．【分析】（ ）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案；
（ ）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可；
此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关
键．
【详解】（1）证明：∵ 为 直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）不成立，理由：
如图，在 上截取 ，则 ，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ．
【经典例题十二 垂径定理中的最值问题】
【例12】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 为 直径，且 ，点 为 中点，点 为线段
上一动点，点 ， 在 上且满足 ，当 垂直于 时，若 ，则 的最小
值为（ ）A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当 时， 最小，即 最小，进而
可得 是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交于点 ，连接 ，
∵ 垂直于
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最小，即 最小，
∴ 是等腰直角三角形，
设 ，
则 ，
∵ ，
在 中，
即
解得： （负值舍去）
故选：B．1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦， 于点
是 上一动点，连接 是 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中位线定理，垂径定理，勾股定理等．根据题意可知当 为 直径时， 有最大值，
再利用中位线定理求出即可．
【详解】解：∵ 是 的直径， 是 的弦， 于点 ，
∴连接 ，
∴ ， ，
∴当 为 直径时， 有最大值，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ 是 中位线，
∴ 的最大值为 ，
故选：C．2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形 中， ， ，C为 的中点，D 为
上一点，且 ，连接 ，在 绕点O旋转的过程中，当 取最小值时， 的周长
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在 的旋转过程
中， 三点共线时， 最短，得出 是等边三角形，由勾股定理求出 ，即可解决问题
【详解】解：∵ ，
∴
∵C为 的中点，
∴ ，
在 绕点O旋转的过程中，当 三点共线时， 的值最小，如图，
∵ ，
∴ ，
∴又
∴ 是等边三角形，
∵C为 的中点，
由勾股定理得， ，
∴ 的周长 ，
故答案为：
3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中， 是弦 上的一个动点，连接 ，过点
作 交 于点 ．
(1)试说明当点 在 的什么位置时， 的长取得最大值？
(2)若 ，求 长的最大值．
【答案】(1) 为 中点位置；
(2)
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理；
（1）连接 ，如图，利用勾股定理得 ，利用垂线段最短得到当 时， 最小；
（2）根据（1）得出 、 重合进而根据 ，求出 即可．
【详解】（1）解：连接又 为半径是一个定值，
越小， 越大
当 为垂线段时， 为最小值，则 取最大值
为 中点位置时， 的长取得最大值．
（2）由（1）知
、 重合
的最大值是 ．
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）在 中，弦 长为 ，圆心 到 的距离为 ，则 的
半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接 ，作 ，根据垂径定理和勾股定理计算即可得
解．
【详解】解：如图：连接 ，作 ，
∵圆心 到 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，由勾股定理可得： 的半径 ，
故选：B．
2．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌
溉工具）的工作原理．如图 ，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，
且 被水面截得弦AB长为 米， 半径长为 米，若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦AB所在直
线的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接 交AB于点 ，根据垂径定理得到 米， ，再根据勾股定理得到
即可得解．
【详解】解：连接 交AB于点 ，
依题得： 米， ， 米，
设 ，即 ，
中， ，
即 ，
解得 ，即 米，
米，
即点 到弦AB所在直线的距离是 米．
故选： ．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：
“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过
以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设 所在圆的圆心为 ，经测量：弦
，过弦 的中点 作 交圆弧于点 ，且 ，则该车轮的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接 ，设 的
半径为 ，根据垂径定理可得 三点共线，进而可得 ， ，在
中，由勾股定理得解得 的值，即可获得答案．
【详解】解：如图，连接 ，设 的半径为 ，
∵ 为 的中点且 ，
∴ 三点共线，
∴ ， ，在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，
即该车轮的半径等于 ．
故选：D．
4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，已知 的半径为 ，AB是 的弦， ， 为AB中点，
是圆上的一点(不与 、 重合)，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
连接 、 ，根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 ，计算即可．
【详解】解：由题意得，当点 为劣弧 的中点时， 最小，
连接 、 ，
由垂径定理得，点 在 上， ，
在 中， ，
，
故选： ．
5．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为 的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的 ， ，
三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得
， ，利用垂径定理求得 的长，在 中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出
适当的辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：∵将边长为 的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
设该圆的半径长是 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，
∴该圆的半径长是 ，
故选： ．
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 为 的内接三角形，O为圆心， 于点
D， 于点E，若 ，则 ．【答案】10
【分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，圆的垂径定理，熟记相关定理是解题的关键．由
于点 ， 于点 ，根据垂径定理可得 ，根据三角形中位线定理可得
，即可得出结论．
【详解】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴DE为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：10．
7．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，连接 ，设圆的半径为 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，圆心 在 所在直线上，连接 ，设圆的半径为 ，则：， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴圆形工件的半径为 ．
故答案为：
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， 是圆O的直径， 垂直弦 于点C， 的延长线交圆O于
点E，连接 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，由 且 过圆心，得到
再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，且 过圆心，
在 中，
在 中，
在 中， ．
故答案为： ．
9．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点，
， ， ，则 的长为 ．
【答案】4❑√2
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作 于F，连接 ，根据垂直定义得出
，即可求出 ，求出 ，根据勾股定理求出 ，再根据勾股
定理求出 ，根据垂径定理得出 ，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，过O作 于F，连接 ，
则 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∵ ， 过圆心O，
∴ ，
∴
故答案为： ．
10．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形 中， ， ，C为 的中点，D 为
上一点，且 ，连接 ，在 绕点O旋转的过程中，当 取最小值时， 的周长
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在 的旋转过程
中， 三点共线时， 最短，得出 是等边三角形，由勾股定理求出 ，即可解决问题
【详解】解：∵ ，
∴
∵C为 的中点，∴ ，
在 绕点O旋转的过程中，当 三点共线时， 的值最小，如图，
∵ ，
∴ ，
∴
又
∴ 是等边三角形，
∵C为 的中点，
由勾股定理得， ，
∴ 的周长 ，
故答案为：
11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ，以点 为圆心， 为半径的
圆交 于点 ，交 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．【答案】(1) 的度数为 ；
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
（1）求出 的度数，求出 所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作 ，如图，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，接着利用面积
法计算出 ，然后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长．
【详解】（1）解：连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
的度数为 ；
（2）解：作 ，如图，则 ，
在 中， ，
∴ ，
，
，在 中， ，
．
12．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 为
直径的半圆 ，若 ， 为水面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)请在图1中画出线段 ，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出
的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少．
【答案】(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案；
（2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
如图，连接 ，
为圆心， ， ，
，
，
，在 中， ，
，
的长为 ；
（2）过 作 ，连接 ，
由题得， ，
在 中， ，
，
，
水面截线减少了 ．
13．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关
键．
（1）过O作 于点E，由垂径定理可得 ， ，再用等式的性质即可得证；（2）连接 、 ，利用垂径定理求出 ，在 中，由勾股定理求出 ，然后在 中，
利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图，
由垂径定理可得 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 、 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，即小圆的半径r为
14．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 是 的一条弦， ，垂足为 ，交 于
点C、D．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的半径长．
【答案】(1)(2)2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
(1)根据 是 的一条弦， ，得到 ，结合 ，根据三线合一性质，得到
计算即可．
(2)设圆的半径为x，根据 是 的一条弦， ，得到 ， ，
运用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵ 是 的一条弦， ，
∴ ，
∵ ，根据三线合一性质，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）设圆的半径为x，
∵ 是 的一条弦， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故 的半径长为2．
15．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，等腰 的底边 交⊙O于点 、 ．
(1)求证： ．
(2)连接 、 ，若 ； ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析(2) 的半径为 ．
【分析】（1）过点 作 于 ，由等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，由垂径定理可
得 ，根号线段的和差关系即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得 ，由垂径定理可得 ，根据含 角的直角三角形的性
质，利用勾股定理列方程求出 的长即可得答案．
【详解】（1）证明：如图，过点 作 于 ，
∵等腰 的底边 交⊙O于点 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
（2）解：如（1）中图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，（负值舍去）
∴ 的半径为 ．【点睛】本题考查垂径定理、等腰三角形“三线合一”的性质、含 角的直角三角形的性质及勾股定理，
垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧； 角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关
性质及判定定理是解题关键．
