文档内容
专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优）
题型一 根据垂直平分线的性质求长度
题型二 根据垂直平分线的性质求周长
题型三 根据垂直平分线的性质求角度
题型四 利用垂直平分线的性质求最值
题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系
题型六 垂直平分线的判定方法
题型七 作已知线段的垂直平分线
题型八 尺规作垂线
题型九 垂直平分线的判定与性质综合
题型十 垂直平分线的判定与性质应用
题型十一 垂直平分线常见辅助线添加
知识点一：垂直平分线的性质与判定
1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB．
2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的作法
①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；
③尺规法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；
（2）过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
4.总结
注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c²
【经典例题一 根据垂直平分线的性质求长度】
【例1】如图， 的平分线与 的垂直平分线 交于点 ， 于点 ，若 ， ，
则 的长为（ ）A．1 B．3 C． D．9
1．如图，在 中，分别以顶点A，B为圆心，大于 长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），
两弧相交于点M，N，连接 ，分别与边 ， 相交于点D，E，若 ， 的周长为17，则
BC的长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．17
2．如图所示 中， ， 的垂直平分线 交 于 ， 的周长是 ，则
．
3．如图， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，求：
(1) 的度数；
(2)若 的周长是 ，求 的长．【经典例题二 根据垂直平分线的性质求周长】
【例2】如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ．
作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，则 的周长为（）．
A．25 B．21 C．16 D．17
1．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 边于点 ， 的垂直平分线交 边于点 ，
则 的周长是（ ）
A． B．10 C．12 D．
2．如图， 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，交边 于点 ，那么
的周长为 ．
3．如图，在 中，点 是 边上的一点．连接 ， 垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ．
连接 ．(1)若 的周长为19， 为6，求 的周长
(2)若 ， ，求 的度数．
【经典例题三 根据垂直平分线的性质求角度】
【例3】如图， ，点O是AB， 的垂直平分线 ， 的交点，则 的度数为（ ）
A．145° B．150° C．160° D．165°
1．如图，已知 中， ，尺规作图如下：分别以点 、点 为圆心，大于
长为半径作弧，连接两弧交点的直线交 于点 ，连接 ：以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交
于点 ，分别以点 ， 为半径，以大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ，延
长交 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 分别是 的垂直平分线，垂足分别为 ，且 ， ，，则 ．
3．如图，在 中， 分别垂直平分 和 ，交AB于 两点， 与 相交于点 ．
(1)若 的周长为 ，求AB的长；
(2)若 ，求 的度数．
【经典例题四 利用垂直平分线的性质求最值】
【例4】如图，在 中， ，D为 的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，M为直线 上任意一点．若 ， 面积为10，则 长度的最小值
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=105°，在BC，CD上分别找一点M、N，使得△AMN
周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为 （ ）A．100° B．105° C．120° D．150°
2．如图，在 中， ， 边上的垂直平分线DE分别交 、AB于点 、 ，若 的周长
是 ，则直线DE上任意一点到 、 距离和最小为 ．
3．已知直线 同侧有两点 ．
(1)在直线 上求作一点 ，使 最小（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)在直线 上求作一点 ，使 最大；
(3)在（1）和（2）的条件下，若 ， ，求 的最小值．
【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】
【例5】如图，已知 ， 和 的垂直平分线交于点D，连接 ， ， ，下列角度关系正确
的是（ ）A． B．
C． D．
1．如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 是一个筝形，其中 ，
，得到如下结论：① ；② ；③ ，其中正确的结论有
（填序号）．
3．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【阅读理解】如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．小聪同学是
这样思考的：延长 至 ，使 ，连接 ．利用 与 全等将边 转化到 ，在中利用三角形三边关系即可求出中线 的取值范围．在这个过程中小聪同学证 与 全
等的判定方法是：__________；中线 的取值范围是__________．
【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【理解与应用】如图2，在 中， ，点 是 的中点，点 在 边上，点 在 边上，
若 ．证明： ．
【问题解决】如图3，在 中，点 是 的中点， ， ，其中 ，
连接 ，探索 与 的关系，并说明理由．
【经典例题六 垂直平分线的判定方法】
【例6】如图， ，则有（ ）
A． 垂直平分 B． 垂直平分
C． 与 互相垂直平分 D． 平分
1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古
奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄 滑动时，伞骨 的点 固定不
动，且满足 ，伞柄 平分 ，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B． 平分
C．线段 垂直平分线段 D．
2．如图， ， ，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结
论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是 .
3．如图， 中， ， 平分 ， 于 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】
【例7】已知 ，用尺规作图的方法在 上确定一点P，使 ，则符合要求的
作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．1．如图，在 中，点 在边 上， ，分别以 为圆心，大于 的一半长度为半径作圆
弧，交于一点 ．连接 ，交 于点 周长为 周长为16，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，已知线段 ，分别以点 为圆心，5为半径作弧相交于点 ．连接 ，点E在 上，连
接 ．若 与 的周长之差为4，则 的长为 ．
3．如图，在 中， ．
(1)尺规作图：在 边上找一点D，使 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下若 ，求 的长．【经典例题八 尺规作垂线】
【例8】如图，已知 ，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于 长为
半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线 分别交直线a，b于点D、C，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
1．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．
其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，在 中， ，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线 交 于点 D，交 于点 E，连结 ，则
．
3．已知： ，点M、N．求作：
① 的平分线 ；
②点P在 上，且 ．【经典例题九 垂直平分线的判定与性质综合】
【例9】如图， 中， ，点M，N分别在 ， 上，将 沿直线 翻折，点A的对
应点D恰好落在 边上（不含端点B，C），下列结论：①直线 垂直平分 ；② ；③
；④若M是 中点，则 ．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
1．如图， 中， 为 的中点，点 为 延长线上一点， 交射线 于点 ，连接 ，
则 与 的大小关系为
A． B． C． D．以上都有可能
2．如图，在 中， ， ， 分别为 ， 边上的高， ， 相交于点 ，连接
，则下列结论： ； ； ； 若 ，则 周长等于
的长 其中正确的有 写出所有正确结论的序号3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ， 是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ．根据________可以判定 ________，得出
________．
这样就能把线段 ， ， 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围
是________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角
形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．
【问题解决】
（2）如图，在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于点 ，
求证： ．
【拓展应用】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，
直接写出 的长．【经典例题十 垂直平分线的判定与性质应用】
【例10】如图，在公路 异侧、 同侧有两个村庄 ， ，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要
求，服务区到两个村庄 ， 的距离必须相等，到两条公路 ， 的距离也必须相等，符合条件的服务区
有（ ）
A． 处 B． 处 C． 处 D． 处
1．如图，电信部门要在 区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 ， 的距离必
须相等，到两条高速公路 和 的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A． 的平分线和线段AB的交点处
B． 的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
C． 的平分线和线段AB的交点处
D． 的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
2．如图，在 中， 的角平分线 与 的垂直平分线 交于点 ， 于点 ，
，交 的延长线于点 ．若 ， ，则 的长为 ．3．【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条
件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结
论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长
中线法”
【初步感知】
（1）如图1，在 中 ， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．小
明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到 点E，使 ，连 接 ．可以判定
， 从而得到 ．这样就能把线段 、 、 集中在 中，利用三角
形三边的关系，即可求出中线 的取值范围是______ (请直接写出答案)
【实践应用】
（2）为了测量学校旗杆 和教学楼 顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们
首先取地面 的中点D，用测角仪测得此时 ，测得旗杆高度 ， 教学楼高度
，求 的长 ．
【拓展探究】
( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接 ， ，点 F 是 的中点，连接
并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由．
【经典例题十一 垂直平分线常见辅助线添加】【例11】如图，已知 的平分线与BC的垂直平分线相交于点 ，垂足分别为 、
，则 （ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
1．如图， 中， ， 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于D， 交
的延长线于E， 于F，现有下列结论：① ；② ；③ 平分 ；
④ ；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图， 中， 的角平分线 与 的中垂线 交于点 ，过点 分别作 所在直线
的垂线，垂足分别为 ，若 ，则 的长为 ．3．如图， 中， 的角平分线 和 边的中垂线 交于点D， 的延长线于点M，
于点N．若， ， ，则 的长为？
1．如图，在 中， 垂直平分 ，点 P为直线 上的
任意一点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
2．已知 是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（ ）
A．与AB距离相等的点在MN上 B．与点 和点 距离相等的点在 上
C．与 距离相等的点在AB上 D．AB垂直平分
3．如图，在 中， 是 的垂直平分线，交 于点D，交 于点E，连接 ，已知 ，
的周长为 ，则 的周长是（ ）A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ，分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧交于 ， 两点，直线 交 于点 ，连接 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 延长线于
点 ，连接 ，若 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 为 的外角平分线上一点并且 在 的垂直平分线上，过 作 于 ，
交 的延长线于 ，则下列结论： ； ； ；
．其中正确的结论是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
6．如图，在 中， ，分别作边 的垂直平分线 ，垂足分别是 ．
甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（ ）
甲： ；
乙：点 在线段 的垂直平分线上；
丙：直线 上到点 的距离之和最小的点是点A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确
C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确
7．如图，在 中， 的角平分线 与 的垂直平分线 交于点D， 于点E，
，交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图， 的周长为24， 的垂直平分线交 于点D，垂足为E，若 ，则 的周长是
9．如图，在 中， ， 分别为 ， 的垂直平分线，如果 ，那么 的周长为
．
10．如图，点 是 外的一点，点 ， 分别是 两边上的点，点 关于 的对称点 恰好
落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上，若 ， ， ，则线段
的长为 ．
11．如图，在 中， 的角平分线 与 的垂直平分线 交于点 ， 于点 ，，交 的延长线于点 ．若 ， ，则 的长为 ．
12．如图， 是 的角平分线，点B在射线 上， 是线段 的中垂线交 于E，
．若 ， ，则 ．
13．如图， 的面积为 ， 垂直 的平分线 于点 ，则 的面积为 ．
14．如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边 于 ， 两点， 与 相
交于点 ．
（1）若 ，则 的周长为 ；
（2）若 ，则 的度数为 ．
15．如图，在 中，AB的垂直平分线 交 于点 ，交AB于点 ，连接 ，点 为CE的中点，
连接AD，此时 ， ．试说明： ．16．尺规作图：如图所示，一条铁路经过 、 两地，计划修一条经过 到铁路的最短公路 ，并在公路
上建一个维修站 ，使得 到 、 距离相等．
17．如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点D， 边的垂直平分线 交 于点E， 与
相交于点O，连接 ， ， ．若 的周长为 ， 的周长为 ．求线段 的长．
18．如图，在 中， ， ．
(1)尺规作图：
①作边 的垂直平分线交 于点D；
②连接 ，作 的平分线交 于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求 的度数．
19．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．(1)如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．小聪同学是这样思考的；
延长 至 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即
可求出中线 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：_____；中线 的
取值范围是 ．
(2)如图2，在 中， ，点 是 的中点，点 在 边上，点 在 边上，若 ．
试猜想线段 、 、 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，在 中，点 是 的中点， ， ，其中 ，连接 ，
探索 与 的关系，并说明理由．
20．如图，在 中， 垂直平分 平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， 与 的周长之差为 ，且 的面积为 ，求 的面积．
