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专题02 角平分线的性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）
题型一 作已知角的角平分线
题型二 角平分线性质定理及证明
题型三 角平分线的判定定理
题型四 利用角平分线的性质求角度
题型五 利用角平分线的性质求长度
题型六 利用角平分线的性质求面积
题型七 角平分线辅助线添加问题（作垂直）
题型八 角平分线的性质的实际应用
题型九 角平分线性质的综合应用
【知识点1 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【知识点2 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB【知识点3 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
1
②分别以D、E为圆心，大于2 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【经典例题一 作已知角的角平分线】
【例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在 中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交
、 于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交 、 于点F、G，连接 、
，交于点H，连接 并延长交 于点I，则线段 是（ ）
A． 的高 B． 的中线
C． 的角平分线 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与
性质．
根据题意利用 可证 ，即可得 ，再利用 可证 ，即可得
，用 可证明 ，即可得 ，即可得．
【详解】解：由作图可知， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线．
故选：C．
1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在 中， ，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点O；③作射线 ，交 于点E．
已知 ， ，则 的面积为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．14
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到 和 的距离相等，点E
到 的距离等于 的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：由基本作图得到 平分 B，
∴点E到 和 的距离相等，
∴点 到 的距离等于 的长度，即点 到的距离为 ，
∴ ．
故选：B．
2．（2024·浙江台州·二模）如图，在 中， ，进行如下操作：①以点B 为圆心，
以小于 长为半径作弧，分别交 于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于 长为半径作
弧，两弧交于点 M；③ 作射线 交 于点D，则 的度数为 ．
【答案】 /120度
【分析】本题考查了复杂作图，掌握三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键．先根据三角形的内角
和求出 ，再根据角平分线的性质及外角定理求解．
【详解】解： ， ，
，
由作图得： 平分 ，
，
，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ， 于点 ．(1)尺规作图：作 的平分线，交 于点 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识点．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）由角平分线的定义得出 ，再求出 的度数从而得出 的度数，即可得解．
【详解】（1）解：如图， 射线 即为所求，
（2）解： ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，．
【经典例题二 角平分线性质定理及证明】
【例2】（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图， 的外角 的平分线CE与内角
的平分线BE交于点E，若 ，则 的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设
∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而
得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点
N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，
∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角
两边的距离相等是解题的关键．
1.（2021七年级下·全国·专题练习）在直角三角形 中， ， 平分 交 于点 ，
平分 交 于点 ， 、 相交于点 ，过点 作 平行 ，过点 作 交 于点
．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ．其中正确的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①正确；由平行线的性质及角平分线的定义即
可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即
可得出答案．
【详解】在直角三角形 中， ，
∴ + =90°，
∵ 平分 ， 平分 ，∴∠FAB= ，∠ABE=∠EBC= ，
∴∠FAB+∠ABE = （ + ）=45°，
∴ ，
∴①正确；
∵ ，
∴
∵∠EBC= ，
∴∠EBC= ，
∴ ，
∴②正确；
∵ 的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明 平分 ，
∴③不正确；
∵ ， ,
∴∠BGD=90°， ,
∴ ,
又∵DG∥AB，
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ,
又∵BE平分 ,
∴
∴ ,
即 ，
∴④正确；
综上，正确的结论为①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等，解题关键是熟练运用这些知识点．
2．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在 中， ， ， ，有下列结论：
① ；② ；③连接DE，则 ．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】①根据 证明 ；②由 ，得到角相等，从而推出 ；③连接
，过点D作 ，过点D作 ，根据角平分线的性质，即可判断．
【详解】解：∵在 与 中， ， ，
∴ 故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴， ，
∴ ，
∴ 故②正确；
如图，连接 ，过点D作 ，过点D作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ 是 的角平分线，∵ ，
∴ ，
∴ 故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学
知识是关键．
3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示， ， 在 两边上且 ， 是 内部
的一条射线且 于点 ，
(1)求证 平分 ；
(2)分别作 和 的平分线，相交于 ，求证P同时也在 的平分线 上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键；
（1）根据等腰三角形的性质及 ，证 得 ，即可得出结论
（2）过P作 ， ， ，利用角平分线的点到角两边的距离相等得 ，再
利用角平分线的逆定理即可得结论．
【详解】（1） ，
，
，
在 和 中
，平分 ；
（2）如图：过P作 ， ， ，
， 平分 ， 平分 ，
， ，
，
点P在 的平分线上．
平分 ，
点P在 的平分线 上．
【经典例题三 角平分线的判定定理】
【例3】（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图， 是 内部的一条射线，P是射线 上任意点，
，下列条件中：① ，② ，③ ，④ ，能判定
是 的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形
的判定和性质是解题的关键．
根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明
可判断③的正误；证明 ，可判断④的正误．
【详解】解：∵ ，∴ 是 的角平分线，故①符合要求；
∵ ， ，
∴ 是 的角平分线，故②符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，故③符合要求；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，故④符合要求；
故选：D．
1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；
③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．利用“ ”证明 ，由全等三角形的性
质可得 ， ， ，故①正确；由三角形的外角性质得
，易得 ，故②正确；作 于 ，
于 ，首先证明 ，易得 ，进而证明 平分 ，当 时，
才平分 ，假设 ，可证明 ，可得 ，进而可得 ，而与 矛盾，故③错误；没有条件可以证明 平分 ，故④错误．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，故①正确；
由三角形的外角性质得 ，
∴ ，故②正确；
作 于 ， 于 ，如图所示，
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴当 时， 平分 ，
假设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，与 矛盾，故③错误；
∵没有条件可以证明 平分 ，
∴④错误．
综上所述，正确的个数有2个．
故选：C．
2．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在 中， ， ， 的平分线
与 的外角平分线交于点 ，连接 ，则 的大小等于 ．
【答案】 /34度
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得
出 平分 ，然后利用三角形外角的性质 ，即可求解．
【详解】解：过点D作 于H， 于E， 于F，∵ 的平分线与 的外角平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
故答案为： ．
3．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在 外作 和 ，使
，且 ，连接 相交于P点．
(1)求证： ；
(2) ______（用含 的代数式表示）；(3)求证：点A在 的平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定
理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）根据角的和差可得 ，然后根据 即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）作 于G， 于H，由全等三角形的性质可得 ，再根据角平分线的判定定理
即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：设 与 交于点O，
由（1） 可得： ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
（3）证明：作 于G， 于H，由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，即点A在 的平分线上．
【经典例题四 利用角平分线的性质求角度】
【例4】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形 中， ， ， 平分 ，
平分 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由四边形的内角和可得 ，由角平分线的性质可得 ，最后由三角
形的外角的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形 中， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握四边形的内角
和、角平分线的性质、三角形外角的定义，是解题的关键．1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在 中， 分别平分 ， ， ，
，下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的为（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握知识点是解题
的关键．
由角平分线的定义，即三角形外角的性质可得 ，进而判定①；由角平分线的定义和平角
的定义可求 ，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定
③；由角平分线的性质及判定可得 为 外角 的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角
的性质即可证明 ，再利用平行线的性质可判定④．
【详解】∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故①错误；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ 为 外角 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
故选：B．
2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图， 中 ，点 、 是 与 三等分线
的交点，则 的度数是 ．
【答案】 /52度
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．
过点N作 于G， 于E， 于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可
得 ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出 平分 ，然后根据三
角形内角和等于 求出 再根据角的三等分求出 的度数，然后利用三角形
内角和定理求出 的度数，从而得解．
【详解】解：如图，过点N作 于G， 于E， 于F，∵点 、 是 与 三等分线的交点，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， 平分 ， ， 于E，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线
的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
（1）根据角平分线的性质得出 ，证明 ，得出 即可；
（2）根据角平分线的定义得出 ，根据锐角三角形两锐角互余得出
，根据 ，得出 的度数即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ．
【经典例题五 利用角平分线的性质求长度】
【例5】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接 ，
，垂足为 ，并且 ， ， ， ，点 是 边上一动点，则 的最
小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，由三角形的内
角和定理和角的和差求出 ，角平分线的性质定理得 ，垂线段定义证明 最短，
求出 长的最小值为 ．
重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，如图所示：
，
，
又 ， ， ， ，
，
是 的角平分线，
又 ， ，
，
又 ，
，
又 点 是直线 外一点，
当点 在 上运动时，点 运动到与点 重合时 最短，其长度为 长等于 ，
即 长的最小值为 ．
故选： ．
1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图， 中， 为 的角平分线， 交 于点E， 交 于点F．若 面积为 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得
，再根据 列式求解即可．
【详解】解： 为 的角平分线， ， ，
，
，
，
解得 ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，在 中， 平分 ， 于点 ，
的面积为 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点 作 于 ，由角平分线的性质可得
，进而由 的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图， 是AD中点， 平分 ．
(1)若 ，求证： 平分 ．
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作 ，垂足为H，根据角平分线性质可得 ，再由角平分线判定即可得出
结论；
（2）在 上截取 ，连接 ．先证明 可得 ，再证 可得
即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作 ，垂足为H，∵ 平分 ， ，
∴ ，
又∵ 是 中点，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴： 平分 ．
（2）解：如图：在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
．
在 和 中，
，
， ．
是 的中点，
．
又 ，
，，
，
在 和 中
．
，
，
，
∴
【经典例题六 利用角平分线的性质求面积】
【例6】（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，
， 和 的面积分别为48和26，则 的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的
距离相等是解题的关键．作 于 ，根据角平分线的性质得到 ，证明 ，
，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作 于 ，是 的角平分线， ， ，
，
在 和 中，
，
，
同理， ，
设 的面积为 ，由题意得，
，
解得 ，
即 的面积为11，
故选：A
1．（2024·四川资阳·二模）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 交边 于点 ．若 ， ，点 为线段 上的一个动点，当 最短时， 的
面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的
点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据“垂线段最短”可得 ，根据角平分线的性质得到，证明 ，求出 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵点E为线段 上的一个动点， 最短，
∴ ，
如图，过点D作 于点E，
由基本尺规作图可知， 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故选：B．
2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，
以任意长为半径作弧，分别交 ， 于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于 的长为半径
作弧，两弧在 内交于点P；③作射线 ，交边 于点D，若 的面积为4，则 的面积
为 ．
【答案】16
【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点 作 交 延长线于点 ， ，利用角平
分线性质可求出 ，继而求出本题答案．【详解】解：过点 作 交 延长线于点 ， 于Ｆ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 的面积为4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：16．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ， 平
分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据垂直的定义得 ，由直角三角形两锐角互余可得 ，又角度和差
可得 ，最后根据角平分线的定义即可求解；
（ ）过点 作 ，垂足为 ，根据角平分线的性质得 ，再由三角形面积公式即可求
解；
本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义和两角和差，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【经典例题七 角平分线辅助线添加问题（作垂直）】
【例7】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ，点O是 、 的
平分线的交点，且 ， ，则点O到边 的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题的关键．利用角
平分线的性质结合三角形的面积得出答案．
【详解】解：过点 作 ，垂足分别为 ，连接 ，
， ， ，
，
是 、 的平分线， ，
，
，
，
（ ），
故选：B．
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， 为 的中点， 平分 ，
， 与 相交于点 ，若 的面积比 的面积大 ，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作
于 ， 于 ，得 ，则
，设 的面积为 ，则 ，由
为 的中点，从而 ，根据 的面积比 的面积大 ，列出方程即可求解，掌
握以上知识是解题的关键．
【详解】作 于 ， 于 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 的面积为 ，则 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ 的面积比 的面积大 ，
∴ 的面积比 的面积大 ，
∴ ，
∴ ，∴
故选： ．
2．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形 中， ，点E是 上一点，且
分别平分 ．若 ，则四边形 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质等知识，过点 作
于 ，过点 作 于 ，过点 作 的延长线于 ，根据 分别平分
，得出 ，根据 可得
， ，根据 得 ， ，即
可得 ， ，经过推理变形得 ，即可求解．
【详解】解：过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 的延长线于 ，
分别平分 ，
，，
分别平分 ，
∴四边形 面积为15
故答案为： ．
3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容．
已知：如图． 是 的平分线，P是 上任意一点， ， ，垂足分别为点D和点
E．
求证： ．
分析：
图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得 ．【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明 的过程．
【类比探究】
（1）如图②， 是 的平分线，P是 上任意一点，点M，N分别在 和 上，连接 和
，若 ，求证： ；
（2）如图③， 的周长是12； 、 分别平分 和 ， 于点D，若 的
面积 ，则 长为________．
【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，
[问题解决]利用角角边定理证明 ，根据全等三角形的性质证明结论；
[类比探究]（1）过点P作 于E， 于F，根据角平分线的性质得到 ，证明
，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过O作 与E， 于F，利用角平分线的性质可得 ， ，然后再利用
面积的计算方法可得答案．
【详解】[问题解决]证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
,
∴ ( )，∴ ；
[类比探究]（1）证明：如图②，过点P作 于E， 于F，
∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）过O作 与E， 于F，
∵ 、 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，∵ 的面积为18，且 ，
∴ ，
即 ，
故答案为：3．
【经典例题八 角平分线的性质的实际应用】
【例8】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某
地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场
应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角
平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为 ， ， ，现计
划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等， 内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（
）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】C
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， 内部被河水填满无法施工，可得三
角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其
三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个．
【详解】解：
∵ 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， 内部被河水填满无法施工，
∴ 内角平分线的交点不满足条件；
如图：点P是 两条外角平分线的交点，
过点P作 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点P到 的三边的距离相等，
∴ 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有3个．
∴可供选择的地址有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想
的应用，小心别漏解．
2．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 的边 上取点 ，连接平分 平分 ，若 的面积是2， 的面积是9，则 的周长是
．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，过 作 与 ， 于 ， 于 ，连接 ，
利用角平分线的性质和三角形的面积可得 ，根据 的面积 的面积
的面积 的面积，进行计算即可求出 ，进而得到 的周长，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过 作 与 ， 于 ， 于 ，连接 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积 ， 的面积 ，
∴ 的面积 的面积 的面积 的面积
，
∴ ，∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ．
3．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线 ， ， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个
塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
【答案】(1)4处
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案；
（2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图：
、 、 、 ，共4处．
（2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，
到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
【经典例题九 角平分线性质的综合应用】【例 9】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 ， 交于点M，连接 ．下列结论：
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论个数有（ ）
个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由 证明
，得到 ，由三角形的外角性质得： ，得
出 ，①正确；根据全等三角形的性质得出 ， ，②正确；作
于G， 于H，则 ，由 证明 ，得出
，由角平分线的判定方法得出 平分 ，④正确；由 ，得出当
时， 才平分 ，假设 ，由 得出 ，
由 平分 得出 ，推出 ，得 ，而 ，所以
，而 ，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，②正确；
∴ ，
由三角形的外角性质得： ，∴ ，①正确；
作 于G， 于H，如图所示：
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④正确；
∵ ，
∴当 时， 才平分 ，
假设
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
与 矛盾，∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B．
1．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在 中， 交 于D， 平分 交 于
E，F 为 延长线上一点， 交 的延长线于点M，交 的延长线于点 G， 的延长线交
于点 H，连接 ，则下列结论∶① ；② ；③ ；④
若 ，则 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、
②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
而无法判断 ，
∴无法判断 ，故①错误；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ 平分 ，
∴E到 、 的距离相等，设这个距离为
∴ ，故③正确；
在 和 中，，
∴ ，故④正确，
故选：C．
2．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角
平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的
依据是 ，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图2，在四边形 中， ， 和 的平分线 交于边 上一点 ．
过点 作 于点 ．若 ，则 _________ ；
②巧翻折，造全等
如图3，在 中， 是 的角平分线，请说明 ；小明在 上截取 ．连
接 ，则 ．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图4，在 中， 是 的两条角平分线，且 交于点 ．
请判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②见解析；（3） ，见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定
与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）直接利用 证明 即可得出 ；
（2）①如图：过点 作 ，垂足为点 ，利用角平分线的性质证得 ，即 为 的
中点，进而求得 的长即可；②在 上截取 ．连接 ，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
（3）在 上截取 ，连接 ；再证明 得到 ， ；再证明
，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）证明：根据作图可得 ，又 ，
，
，
即 ；
故答案为： ；
（2）①如图：过点 作 ，垂足为点 ，
和 的平分线 交 于点 ，
，即 ，
；
②如图：在 上截取 ．连接 ，
是 的角平分线，
，
又 ，
．
，
又 ，；
（3） ，理由如下：
，
是 的两条角平分线，且 交于点 ．
，
；
在 上截取 ，连接 ，则 ，
，
，
，
又 ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
．
3．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角
平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的
依据是 ，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图2，在四边形 中， ， 和 的平分线 交于边 上一点 ．
过点 作 于点 ．若 ，则 _________ ；
②巧翻折，造全等
如图3，在 中， 是 的角平分线，请说明 ；小明在 上截取 ．连
接 ，则 ．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图4，在 中， 是 的两条角平分线，且 交于点 ．
请判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②见解析；（3） ，见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定
与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）直接利用 证明 即可得出 ；
（2）①如图：过点 作 ，垂足为点 ，利用角平分线的性质证得 ，即 为 的
中点，进而求得 的长即可；
②在 上截取 ．连接 ，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
（3）在 上截取 ，连接 ；再证明 得到 ， ；再证明
，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）证明：根据作图可得 ，又 ，，
，
即 ；
故答案为： ；
（2）①如图：过点 作 ，垂足为点 ，
和 的平分线 交 于点 ，
，即 ，
；
②如图：在 上截取 ．连接 ，
是 的角平分线，
，
又 ，
．
，
又 ，
；（3） ，理由如下：
，
是 的两条角平分线，且 交于点 ．
，
；
在 上截取 ，连接 ，则 ，
，
，
，
又 ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
．
1．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，交 于点 ， 于点 ，且 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质
并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 ，利用“ ”证明
和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，然后求出 的周长．
【详解】解： 平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
的周长 ，
，
，
，
，
，
，
的周长为 ．
故选：B
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图， 在 中， ， 的平分线 交 于点E，
于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则 为 （ ）A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得 ，
，证得 ，可得 ，再根据三角形周长可得 ，
即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的周长为 4 ， 的周长为12，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点 是 的三个内角平分线的交点，若 的周长为
，面积为 ，则点P到边 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过
点P作 于D， 于E， 于F，根据角平分线的性质得到 ，根据三角
形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点P作 于D， 于E， 于F，如图，
∵点P是 的内角平分线的交点，
∴ ，
又 的周长为 ，面积为 ，
∴ ，
∴
∴
∴点P到边 的距离是3cm
故选：A．
4．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 ， 交于点M，连接 ．下列结论：
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论个数有（ ）
个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由 证明 ，得到 ，由三角形的外角性质得：
，得出 ，①正确；根据全等三角形的性质得出
， ，②正确；作 于G， 于H，则 ，由证明 ，得出 ，由角平分线的判定方法得出 平分 ，④正确；
由 ，得出当 时， 才平分 ，假设 ，由
得出 ，由 平分 得出 ，推出 ，
得 ，而 ，所以 ，而 ，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，②正确；
∴ ，
由三角形的外角性质得： ，
∴ ，①正确；
作 于G， 于H，如图所示：
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④正确；
∵ ，
∴当 时， 才平分 ，
假设
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
与 矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形
全等是解题的关键．
5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 平分 ，过点P作 ，
分别交 ， 的延长线于点M，N，连接 ， 平分 ．则下列结论：① 平分
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有
（ ）A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由 平分 ， ， ，可得 ，如图，作 于 ，由
， 平分 ，可得 ，则 ，证明 ，则
， ， ，即 平分 ，可判断①的正误；同理，
，则 ， ， ，即
，可判断④的正误；由 ，
，可得 ，可判断②
的正误；由 平分 ， 平分 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
， ，可得 ，可判断
③的正误．
【详解】解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
如图，作 于 ，又∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，即 平分 ，①正确，故符合要求；
同理， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，④正确，故符合要求；
∴ ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的
性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角
的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
6．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）如图， 平分 交 于点 ， 于点 ，若 ，
， ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，作 于 ，由角平分线的性质定理得
出 ，再结合 ， ，计算即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定
理是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 于 ，
，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
7．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在 中， 于E， 于F， 为 的平分
线， 的面积是 ， ， ， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据 的面积是
，列式得 ，即可得到答案．
【详解】解：在 中， 于E， 于F， 为 的平分线，
，
的面积是 ，
，即 ，
，
，
故答案为： ．
8．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 在 中， ， 是角平分线， 是边
上的高， 延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；②
； ③ ，④ ．其中结论正确的个数是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运
用三角形的外角的性质解决问题是关键．由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判
断②，根据题意可知 ， ， ， ，可判断③，由 ， ，可得
，从而可判断④，即可得答案．
【详解】解： 是 角平分线
，故①符合题意；
是边 上的高，即
，故②符合题意；
是 角平分线， 平分
，
，
由②可知，
，故③不符合题意；
，
，故④符合题意；
故答案为：3．
9．（2024·重庆·三模）如图，四边形 中， 平分 ， 于点E，
，则 的长为 ．【答案】
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作 交 的延长
线于点F，证明 ，则 ，证明 ，则
，得到 ，即可得到 的长．
【详解】解：过点C作 交 的延长线于点F，
∵ 平分 ， 于点E， 于F，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为：
10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形 中， ，且 平分
．若 ，则 的度数为 ．【答案】 /18度
【分析】
本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长 ， ，过点 作 ， ，
，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：分别延长 ， ，过点 作 ， ， ，
， ，
，
，
， ，
又 平分 ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 垂足分别为A、D， 分别平分 交点 E恰好在 上．
(1) 成立吗？ 为什么？
(2)求证： ．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）过点 作 ，证明 ， ，得到 ，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
过点 作 ，
∵ 分别平分
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ．
12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图， 是 中 的平分线， 于点E，
于点F， ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到 ，根据
即可求出 的长．
【详解】解：∵ 是 中 的平分线， 于点E， 于点F，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
13．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， 为 边上一点， 于点 ，
于点 ， ．
(1)求证： 平分 ；(2)若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的
关键．
（1）连接 ，证明 ，得 ，再利用角平分线的性质即可解决问题；
（2）结合（1） ，根据 ，代入值计算即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
于点 ， 于点 ，
，
在 和 中，
，
，
，
于点 ， 于点 ，
平分 ；
（2）解： ，
，
，
，
， ，，
，
故答案为：4．
14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图， 中， 是 的角平分线， 于点 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) 的度数为
(2) 的面积为27
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的特征，角的平分线的性质定理，熟练掌握直角三角
形的特征和性质定理是解题的关键．
（1）先利用内角和定理计算 ，再利用角的平分线计算 ．最后利用直角三角形的特
征计算即可．
（2）过点D作 于点F，利用角的平分线的性质定理，结合面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：过点D作 于点F，如图，∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的面积为 ．
15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平
分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1， 平分 ， 平分 的外角， 平分
的外角，则点E为 的“幸福点”．
根据定义，解决下列问题．
(1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”）
①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题）
②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题）
③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题）
(2)如图2，若点I是 的“幸福点”，设 ， ，试猜想α和β之间的数量关系（用含
α的代数式表示β），并证明你的猜想；
(3)如图3，在 中， ，点D是 的一个“幸福点”，过D作 ，交 的延
长线于点E，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)真，真，真
(2)
(3)
【分析】（1）根据“幸福点”的定义和角平分线的性质进行判断即可；
（2）根据“幸福点”的定义可得 ， ，求得 ，再根基三角形内角和定理求得 ，即可得 ，即可求解；
（3）过点D作 的延长线于点G，连接 ，根据“幸福点”的定义可得 ，再根据等腰
直角三角形的判定与性质得， ，设 ，则 ， ，由（2）得，
，过点D作 交 的延长线于点G， ，可得
，证明 ，可得 ， ，即可求解．
【详解】（1）解：①每个三角形都有3个“幸福点”，是真命题；
②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部，是真命题；
③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等，是真命题；
故答案为：真，真，真；
（2）解：∵点I是 的“幸福点”，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点D作 的延长线于点F，连接 ，
∵点D是 的一个“幸福点”，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
同理可得， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由（2）得， ，
∴ ，
过点D作 交 的延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 ．【点睛】本题考查命题与定理、新定义、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与
性质、全等三角形的判定与性质，理解新定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
