专题02乘法公式重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题02 乘法公式重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方公式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 乘法公式中的多结论问题 题型九 乘法公式的相关计算 题型十 乘法公式中的“知二求三” 题型十一 乘法公式与几何图形的综合应用 题型十二 利用乘法公式求最值 知识点一、平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 特别说明：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项， 又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： (ab)(ba) （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (3x5y)(3x5y) （2）系数变化：如 (m3n2)(m3n2) （3）指数变化：如 (ab)(ab) （4）符号变化：如 (mn p)(mn p) （5）增项变化：如 (ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4) （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 ab2 a2 2abb2 完全平方公式：(ab)2  a2 2abb2 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里 的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正 确. 知识点四、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ，则 与 的大小关系是 （ ） A． B． C． D．不能确定 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读解答： (1)填空： ________； ________； ________； (2)类推： ________（其中 为正整数，且 ）； (3)利用（ ）的结论计算： ； ． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形 ，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪 拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，点D、C、H、G分别在长方形 的边上，点E、F在 上，若正方形 的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形 的面积等于 （ ）A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样 分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是 米， 请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种 图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算： ； (3)【拓展】计算： ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海·期中） 的计算结果是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ， ， ，则 ． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）阅读理解． 已知 ，求 的值． 解：由 ，可得 ． 整理得 ． 得 ． 请仿照上述方法，完成下列问题： (1)已知 ，求 的值． (2)已知 ，求 的值． 【经典例题四 通过完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a， b， c满足 则 的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·全国·期中）已知 ，则 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，求 的值． 【经典例题五 求完全平方公式中的字母系数】 【例5】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知 是完全平方式，则 的值为（ ） A．1 B． 或1 C．6或 D． 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若 是一个完全平方式，那么 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值为 ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题 的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征．因为， 是一个完全 平方式，故将 写成 根据多项式对应项的系数相等，得到 ． (1)若 是完全平方式，则m的值为 ；若 （n为常数）是完全平方式，则n的值 为 ；(2)已知： ，请求出b的值． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（23-24八年级上·江西宜春·期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把 它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为 ，宽为 ，然后按图（2）拼成一个正 方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得 到 个代数恒等式：① ；② ；③ ；④ 其中正确的有（ ）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（23-24七年级下·浙江·期中）如图．长方形 的周长是 ，以 为边向外作正方形 和正方形 ，若正方形 和 的面积之和为 ，那么长方形 的面积是 ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒 等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若 ， ，求 的值； (2)正方形 、正方形 如图②所示方式摆放，边长分别为 ， ．若 ， ，请直 接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由 个正方体和 个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；(4)已知 ， ，利用 中的恒等式求 的值． 【经典例题七 整式的混合运算】 【例7】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若规定 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列属于整式乘法计算错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）若 ，则 ． 3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；(6) ． 【经典例题八 乘法公式中的多结论问题】 【例8】（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有 个依次排列的整式：第一项是 ，第二项是 ，用第二项减去第一项，所得之差记为 ，记 ；将第二项与 相加作 为第三项，记 ，将第三项与 相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将 得到四个结论：① ；②当 时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 ； ④第2022项为 ；⑤当 时， ；以上正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知整式 ， ，则下列说法中正确的有（ ） ①不存在这样的实数 ，使得 ； ②无论 为何值， 和 的值都不可能同时为正； ③若 ，则 ； ④若 ，则 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023下·浙江·七年级期末）下列四个结论，其中正确的是 ． ①若 ， ，则 可表示为 ； ②若 的运算结果中不含 项，则 ； ③若 ， ，则 ；④若 ，则x只能是2． 3．（2023下·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）已知三个实数 ， ， 满足 ， 且 ，那么则下列结论一定正确的是 ．（只需要填序号） ① ；② ；③ ；④ 【经典例题九 乘法公式的相关计算】 【例9】（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）计算： (1) (2) 1．（2023上·江苏南京·七年级南京市人民中学校考期中）计算： 2．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． ．（2023上·江西南昌·八年级统考期中）（ ）化简： （ ）先化简，后求值： ，其中 ． 3．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值： (1) (2) ．【经典例题十 乘法公式中的“知二求三”】 【例10】（24-25八年级上·江苏南通·期中）若 ， ，则 的值为（ ） A． B． C．5 D．10 1．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）已知 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）若 ，则 ， ． 若 ，则 ． 3．（24-25八年级上·福建·期中）阅读理解： 若 满足 ，求 的值． 解：设 ， 则 ， ， ． 解决问题： (1)若 满足 ，则 ___________； (2)若 满足 ，求 的值； (3)如图，在长方形 中， ，点 是 上的点，且 ，分别以 为边在长方形 外侧作正方形 和正方形 ，若长方形 的面积为 ，则图中阴影部 分的面积和为多少？【经典例题十一 乘法公式与几何图形的综合应用】 【例11】（2024八年级·全国·竞赛）若 与 互为相反数，则 的值为（ ） A．2 B．6 C．8 D．64 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）设 ， ， ．若 ，则 的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知 ， 满足 ，则 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的 正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2 的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1： ； 方法2： ． (2)观察图2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系． ； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值； ②已知 ，求 的值． 【经典例题十二 利用乘法公式求最值】 【例12】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则M的最小值是（ ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 1．（23-24八年级上·重庆·期末）多项式 的最小值为（ ） A．18 B．9 C．27 D．30 2．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足 ， ，则 S的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问 题．观察下列式子： ① ， ∵ ，∴ ．因此代数式 有最小值 ； ② ． ∵ ，∴ ．因此，代数式 有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式 的最大值为________； (2)求代数式 的最小值； (3)如图，在四边形 中，对角线 、BD相交于点 ，且 ，若 ，求四边形 面积的最大值． 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现： ， ， ， ， ， ， ， ，依据上述规律，通过计算判断 的 结果的个位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式 是关于 、 的完全平方式，则 的值 为（ ） A．21 B．19 C．21或 D． 或19 4．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）不论 、 为什么实数，代数式 的值（ ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．总不小于4 D．可能为负数 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形 中， ，点P为长方形内部一点，过 点P分别做 于点E、 于点F，分别以 为边做作正方形 ，正方形 ，若两个正方形的面积之和为 ， ， ，则长方形 的面积为（ ） A．17 B．21 C．24 D．28 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那么m的值 是 ． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期中）观察以下等式： ； ； ； ． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数， ，则 的最大值为 ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，C是线段 上的一点，以 为边在 的两侧作正方形． 若 ，两个正方形的面积和 ，则图中阴影部分的面积为 ．9．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ， ， ，则 ． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国北宋数学家贾宪在1050年左右发现了一个如图所示的奇 妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形．在这个“三角形”中，第三行的三个数 恰好 对应着两数和的平方 展开式 的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数 恰好对应着两数和的立方 展开式 各项的系数，等等．小明根据贾宪三角 形得出如下结论： ① ； ② 展开式的项中只有一项的系数是10； ③ 展开式的项中共有6项的系数是7的整倍数： ④ ． 在以上的推断中正确的是 ．（只填写序号） 11．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)(2) (3) (4) (5) (6) 12．（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，其中 ， ． 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是 m，边长之差是n． (1)如图1，用含m、n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和：________，当 ， 时， A、B两个正方形纸片的面积之和为________． (2)如图2，如果A、B两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求m、n的值． (3)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得 图4，如果图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，那么A、B两个正方形纸片的面积之和为________． 14．（24-25七年级上·天津和平·期中）小天在课外研究代数式 与 的关系，做了如下工 作：(1)计算：根据表格中所给的字母 和 的值，分别计算代数式 和 的值，填在表格空白 处． ， ， 的值 的值 (2)猜想：比较两个代数式的计算结果，直接写出 与 有什么关系？ (3)验证：小天发现可以用几何图形说明上述猜想． 下图是用三种不同大小的正方形与长方形，拼成的一个大正方形，用两种方法表示大正方形的面积： 方法1：__________________，方法2：__________________． 由以上过程可知，（2）中的猜想成立． (4)应用：利用上面发现的结论，求下列两个式子的值． ① ； ② ． 15．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、 乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． (1)【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到 之间的等量关系式： ；②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ； (2)【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知 ，求 和 的值； (3)【拓展升华】 如图4，在 中， ， ，点 是边CE上的点，在边 上取一点， ，使 ， 设 ，分别以 ， 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若 ， 的面积等于 ，直接写出正方形 和正方形 的面积和．