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专题 02 中心对称与中心对称图形（四大类型）
【题型1 中心对称图形】
【题型2 中心对称的性质】
【题型3 点坐标的对称】
【题型4 图案设计】
【题型1 中心对称图形】
1．（2022秋•香坊区期末）如图各图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一
点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图
形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
2．（2022秋•曲周县期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．（2022秋•十堰期末）下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对
称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
4．（2022秋•平泉市校级期末）若两个图形成中心对称，则下列说法：
①对应点的连线必经过对称中心；
②这两个图形的形状和大小完全相同；
③这两个图形的对应线段一定相等；
④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵两个图形成中心对称，
∴①对应点的连线必经过对称中心，正确；
②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；③这两个图形的对应线段一定相等，正确；
④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合错误，必须旋
转180°才能够重合．
综上所述，正确的由①②③共3个．
故选：C．
5．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，
下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
【答案】D
【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
【题型2 中心对称的性质】
6．（2023春•砀山县校级期中）如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC
＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是
（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
∴AO＝CO＝ AC＝1，∴BO＝ ＝ ＝ ，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝ ，
∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，
∴AP＝ ＝ ＝2 ．
故选：D．
7．（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A B C
1 1 1
关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A ，B ，C ，则对称中心
1 1 1
E点的坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）
【答案】A
【解答】解：如图，连接AA 、CC ，则交点就是对称中心E点．
1 1
观察图形可知，E（3，﹣1）．故选：A．
8．（2022•贵阳模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD交于点 O，AC＝
4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，则点A与点B′
之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，
∴O′C＝OC＝OA＝ AC＝2，
∴AO′＝6，
∵OB＝OD＝O′B′＝ BD＝8，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得
AB′＝ ＝10．
则点A与点B′之间的距离为10．
故选：C．
9．（2022春•连山区期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为 1
的正方形组成的，B（3，3），A（a，0）是x轴上的动点，当AB将图案分
成面积相等的两部分时，a等于（ ）A．1 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，
则有 ，
即 ，
解得a＝1．
故选：A．
10．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形 ABCD的对角线AC、BD交于点
O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形
ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，且△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到
△B'O'C，AC＝2，
∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，
∵AB′＝5，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即菱形ABCD的边长是 ，
故选：D．
11．（2022秋•天山区校级期末）如图，菱形 ABCD的对角线AC、BD交于点
O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB＝4，则AB'的
长是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，且△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到
△B'O'C，AC＝2，
∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，
∵AB＝4，
∴O′B′2＝CB′2﹣O′C2＝15，
∴AB′＝ ＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．12．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第 25页第4
题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O 、O 是其中两
1 2
个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2
【答案】B
【解答】解：如图所示，连接O B、O C，
1 1
∵∠BO F+∠FO C＝90°，∠FO C+∠CO G＝90°，
1 1 1 1
∴∠BO F＝∠CO G，
1 1
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O BF＝∠O CG＝45°，
1 1
在△O BF和△O CG中，
1 1
，
∴△O BF≌△O CG（ASA），
1 1
∴ ＝ ，
∴两个正方形重叠阴影部分的面积是 S ，
正方形ABCD
同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是 S ，
正方形ABCD
∴阴影部分的面积和＝8＝ S ，
正方形ABCD
∴S ＝16，
正方形ABCD
∴正方形ABCD的边长＝ ＝4，
故选：B．13．（2022秋•沙河口区校级月考）经过矩形对称中心的任意一条直线，把这
个矩形分成两部分，设这两部分的面积分别为 S 和S ，则S 与S 的大小关系
1 2 1 2
是（ ）
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：矩形ABCD中，AD＝BC，
AO＝BO＝CO＝DO，
∴△AOD≌△BOC（SSS），
∵∠ECO＝∠FAO，OA＝OC，∠EOC＝∠FOA，
∴△OEC≌△OFA，
同理可证，△DEO≌△BFO，
∴S ＝S ．
1 2
故选：C．
14．（2022春•温州期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形 ABCD的BC边
在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线y＝﹣2x+4恰好平分平行四
边形ABCD的面积，则点D的坐标是 ．【答案】（ ， 3 ）
【解答】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．
∵B（﹣1，0），
∴T（ ， ），
∵直线y＝﹣2x+4平分平行四边形ABCD的面积，
∴直线y＝﹣2x+4经过点T，
∴ ＝﹣2× +4，
∴m＝ ，
∴D（ ，3），
故答案为：（ ，3）．
15．（2021秋•任城区校级月考）如图，直线 a、b垂直相交于点O，曲线C关
于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．
若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】12【解答】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点
是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
16．（2022秋•南昌期中）如图，直线 MN过 ABCD的中心点O，交AD于点
M，交BC于点N，已知S ＝4，则S ＝ ．
ABCD 阴影▱
▱
【答案】1
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM∥CN，OA＝OC，
∴∠MAO＝∠NCO，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S ＝S ，
△AOM △CON
∴S ＝S +S ＝S ＝ S ＝1，
阴 △AOM △BON △BOC 平行四边形ABCD
故答案为：1．
17．（2021秋•雷州市校级月考）如图所示的图形是一个中心对称图形，点 O
是AC与BD的交点，且是对称中心．
（1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？（2）试说明△ABO≌△CDO．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心，
∴AO＝CO，
∵AO＝4cm，
∴CO＝4cm；
（2）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心，
∴AO＝CO，BO＝DO，
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（SAS）．
【题型3 点坐标的对称】
18．（2022秋•仙居县期末）点 A（﹣1，2）关于原点对称的点 B的坐标是（
）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），
故选：A．
19．（2023•大东区模拟）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
则a﹣b的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，故选：B．
20．（2023春•东港市期中）在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的
对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32
【答案】B
【解答】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），
∴a+5＝3，b＝4，
∴a＝﹣2，
∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8．
故选：B．
21．（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象
限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣ 或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣ ＜a＜1 D．a＞1
【答案】B
【解答】解：点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在
第一象限，
则 ，
解得：a＜﹣ ．
故选：B．
【题型4 图案设计】
22．（2022春•梅江区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣5，
2），B（﹣4，5），C（﹣3，3）
（1）画出△ABC．
（2）若△A B C 与△ABC 关于原点 O 成中心对称，则点 A 的坐标是
1 1 1 1
（ 5 ，﹣ 2 ） ．△A B C 的面积是 2. 5 ．
1 1 1【答案】（1）图形见解答；
（2）（5，﹣2）；2.5．
【解答】解：（1）如图：
∴△ABC即为所求；
（2）∵△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，
1 1 1
∴点A 的坐标是（5，﹣2），
1
∵△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，
1 1 1
∴△A B C 的面积＝△ABC的面积
1 1 1
＝2×3﹣ ×1×3﹣ ×1×2﹣ ×1×2
＝6﹣1.5﹣1﹣1
＝2.5，
故答案为：（5，﹣2）；2.5．23．（2023春•雨花区校级期末）已知点 A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣
2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对
称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为： ．
23．（2021秋•南关区校级期中）图①、②均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、C在格点上．在给定的网格
中按要求作图，所有图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中作以AC为腰的等腰△ABC，且三边长均为无理数，并写出
△ABC的面积为 6 ．
（2）在图②中作以AC为边的四边形ACDE，使四边形为中心对称图形，且
面积为8．
【答案】（1）画图见解答；6．
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求．
△ABC的面积为4×4﹣ ﹣ ﹣ ＝6．
故答案为：6．
（2）如图②，四边形ACDE即为所求．
24．（2021春•浦东新区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点 A的坐
标（﹣2，0）．
（1）图中点B的坐标是 （﹣ 3 ， 4 ） ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （ 3 ，﹣ 4 ） ；点A关于y轴对
称的点D的坐标是 （ 2 ， 0 ） ；
（3）四边形ABDC的面积是 1 6 ；
（4）在 y 轴上找一点 F，使 S ＝S ，那么点 F 的所有可能位置是
△ADF △ABC（ 0 ， 4 ）或（ 0 ，﹣ 4 ） ．
【答案】（1）（﹣3，4）；
（2）（3，﹣4），（2，0）；
（3）16；
（4）（0，4）或（0，﹣4）．
【解答】解：如图，
（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣
3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣2，0）关于y轴对称点D（2，0），
故答案为：（3，﹣4），（2，0）；
（3）S ＝2S ＝2× ×4×4＝16，
平行四边形ABCD △ABD
故答案为：16；
（4）因为S ＝ S ＝8＝S ，
△ABC 平行四边形ABCD △ADF
所以 AD•OF＝8，∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，
∴点F（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
