文档内容
专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优）
题型一 二次函数的定义
题型二 由二次函数的定义求参数的值
题型三 根据二次函数的定义求参数的取值
题型四 二次函数的一般形式
题型五 根据实际条件判断二次函数的图象
题型六 二次函数关系式——销售问题
题型七 二次函数关系式——几何图形
题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题
题型九 待定系数法求二次函数解析式
知识点01 函数回顾
1．知识回顾：
（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变
化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量．
k
（2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中 叫做比例系数．
（3）一次函数：形如 ，其中 、 为常数，且 ．
特殊情况：当 时， 称为常值函数；
当 时， 称为正比例函数．
知识点02 二次函数的定义
y=ax2 +bx+c(a,b,c a≠0) y x
二次函数的定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.它的
定义域为一切实数．
知识点03 二次函数注意问题
二次函数应注意的问题：
（1）a、b、c三个系数中，必须保证 ，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式： 等．
（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量 的取值范围是任意实数．
【经典例题一 二次函数的定义】
【例1】下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
1．下列是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．有下列函数：
①y=5x-4；② ；③ ；④ ；⑤ ；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
3．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x—1；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】
【例2】如果函数 是二次函数，则k的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
1．若 是二次函数，则 （ ）
A．7 B．
C． 或7 D．以上都不对
2．已知函数 的图象是抛物线，则 ．
3．若函数 是关于x的二次函数，求m的值．
【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】
【例3】若函数 是二次函数，则 满足的条件为（ ）．
A． 为常数，且 B． 为常数，且
C． D． 可以为任意实数
1．若函数 是二次函数，则常数 满足的条件为（ ）
A． B． C． D． 为任意实数
2．已知函数 是二次函数，则常数a 的取值范围是 ．
3．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．
（1）若这个函数是一次函数，求k的值；
（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？【经典例题四 二次函数的一般形式】
【例4】关于函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．二次项系数是1B．一次项系数是9 C．常数项是 D． 是关于 的一次函数
1．二次函数 ，下列说法错误的是（ ）．
A． B．二次项为
C．一次项系数为 D．常数项为
2．二次函数 的二次项系数是 ．
3．把二次函数 化为 的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项．
【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】
【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与
注水时间t之间函数关系的大致图像是（ ）
A． B．C． D．
1．如图，已知 、 是反比例函数 图象的点，轴交于点 轴，交 轴于点 ，动点
从坐标点 出发，沿 （图中“ ”所示路线）匀速运动，终点为 过 作 轴，
轴，垂足分别为 、 ，设四边形 的面积为 ， 点运动时间为 ，则 关于 的函数图象
大致为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，在矩形ABCD中， ，点 和 同时从点 出发，点 以 的速度沿 的方向
运动，点 以 的速度沿 的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为 ，△AEF的面积
为 ， 关于 的函数图象如图2，图象经过点 ，则 的值为 ．3．已知平行四边形的高与底边的比是 ，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，
并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况．
【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】
【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价
x（元/千克）有如下关系： ．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表
达式为（ ）
A． B． C． D．
1．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价
格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．某商店从厂家以每件 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为 元，则
可卖出 件，那么卖出商品所赚钱 元与售价 元之间的函数关系为 ．
3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，
每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少
元/千克？
【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】【例7】如下图所示，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂
画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x之间的函数关系式是
_________________．
1．如图所示，在 中， ，且 ，设直线 截此三角形所得的阴影部分的面积
为 ，则 与 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．用 长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积 与矩形的长 之间的函数关系式．
解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为 ，所以宽为 ．
因为矩形的面积为 ，
所以 与 之间的函数关系式为 ，整理为 ．
3．矩形 中， ， ，点 为射线 上的动点 与点 不重合）将矩形沿某一直线对折，
使点 与点 重合，折痕与边 交于点 ，与边 交于点 ．
(1)如图1，若 ，求 的长；(2)当 在边 上时，设 ， ，求 与 之间的函数关系式，并直接写出定义域；
(3)当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】
【例8】一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是x(x>0)，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x
之间的函数关系式为_____．
1．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则
该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y
（单位：元）与x之间的函数关系式为 ．
3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不
高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量 （千克）是销售单价 （元）的一
次函数，且当 时， 时， ．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式．
【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】
【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像沿直线 翻折，它能够与另一个二次函数的
图像重合，另一个二次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．1．如图，函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数 的图象经过点(1，0)和(3，0)，则其函数解析式为 ．
3．已知抛物线 经过点 、 ，求抛物线的解析式．
1．如果函数 是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m为全体实数
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 是关于 的二次函数，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D．
4．下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
6．用一根长 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积 与它的一边长 之间的函数关系式为
（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
8．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则
该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．长方形的周长为 ，其中一边 ，面积为 ，那么 与 的关系是 ．
10．已知函数 ，当 时，它是二次函数．
11．在函数① ，② ，③ ，④ 中，y关于x的二次函数
是 ．（填写序号）
12．如果二次函数 （ 是常数）与 （ 是常数）
满足 ，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数 与
互为旋转函数，则 的值为 ．
113．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第 个图形中点的个数
与 的关系式是 ，它是 函数．14．若二次函数 的图像经过点 ，则 的值是 ．
15．已知 是y关于x的二次函数，求m的值．
16．已知函数 的图象是一条抛物线，求这条抛物线表达式．
17．已知函数 ．
(1)当a为何值时，此函数是二次函数；
(2)当a为何值时，此函数是正比例函数．
18．已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的
表达式．19．抛物线 经过 、 、 三点，求抛物线解析式．
20．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 为10米），围成中间隔有一道篱
笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边 为 米，面积为 平方米，求
与 之间的函数解析式，并求自变量 的取值范围．
