专题01整式的乘法重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题01 整式的乘法重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘及其逆用 题型二 科学记数法 题型三 幂的乘方及其逆用 题型四 积的乘方及其逆用 题型五 幂的混合运算 题型六 同底数幂的除法及其逆用 题型七 计算单项式乘单项式 题型八 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型九 计算单项式乘多项式及求值 题型十 单项式乘多项式应用 题型十一 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十三 多项式的化简求值 题型十四 多项式乘多项式与图形面积 题型十五 多项式乘法中的规律性问题 题型十六 整式乘法混合运算 题型十七 多项式除法 题型十八 整式四则运算 知识点一 同底数幂的乘法 aman amn m, n (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 法则： 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. amanap amnp m, n, p （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整 数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的 amn aman m, n 指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 知识点二、幂的乘方、积的乘方法则 幂的乘方法则 (am)n amn m, n (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. ((am)n)p amnp a0 m,n, p 特别说明：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数)amn   amn   anm （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些 幂变形，从而解决问题. 积的乘方法则 (ab)n anbn n (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (abc)n anbncn n 特别说明：（1）公式的推广： ( 为正整数). anbn abn （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 10 10 1 1  210  2 1.     2 2  计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点三、同底数幂的除法法则 同底数幂的除法 am an amn a m、n mn 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （ ≠0， 都是正整数，并且 ） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂 a0 1 a 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即 （ ≠0） a 00 特别说明：底数 不能为0， 无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫 0次单项式. 知识点四、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行 有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不 变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(abc)mambmc 即 . 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项 式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项 式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的 项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： xaxb x2 abxab . 【经典例题一 同底数幂相乘及其逆用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若 （ ， 都为正整数 ，则m的最小 值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 1．（2024七年级上·上海·专题练习）若 ，则 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）规定 ．（1）求 ； （2）若 ，求 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作 ；如果 ，那么 ． 例如：因为 ，所以 ． (1)根据上述规定，填空： ① ______； ； ②若 ， ， ，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______； (2)若 ，求t的值． 【经典例题二 科学记数法】 【例2】（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这 次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为 立方千米，太阳的 体积约为地球体积的 倍，则太阳的体积是（ ）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 1．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘 洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为 ，则中国 空间站绕地球运行 走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约 块大理石，每块大理石重约 ．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学 记数法表示）． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达 米，底边长 米， 用了约 块大石块，每块重约 千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【经典例题三 幂的乘方及其逆用】 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列4个算式中，正确的算式有（ ） ① ；② ；③ ；④ ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若 ， ，其中m，n为正整数，则 ． （用含有a，b的式子表示） 3．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对 于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式， 请阅读下列材料：若 ， ，则 的大小关系是 ______ （填“ ”或“ ”．） 解： ， ，且 ， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题：(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较 的大小； (3)比较 与 的大小； (4)已知 ， ， ．求 之间的等量关系． 【经典例题四 积的乘方及其逆用】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 （ ） A．1 B．2 C．2000 D． 1．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知 为正整数，且 ，求 的值为 ． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 （m，n是正整数， 且 ），则 ． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若 ，求x的值． (2)若 ，求x的值． (3)已知 ， ，用含p，q的式子表示 ．【经典例题五 幂的混合运算】 【例5】（23-24七年级下·浙江衢州·期末）计算： ，正确结果是（ ） A． B．1 C．2 D．4 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）已知 ， ，则 的值为 ． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) ； (2) ． (3) ； (4) ． 【经典例题六 同底数幂的除法及其逆用】 【例6】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知 ， ，则 的值为（ ） A．12 B．9 C．33 D．41．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知 ， ，则 的值为 ． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若 ， ，求 的值．这 道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 ，所以 ，所以 ． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算： ． 解： ． 任务： (1)若 ，则 的值为_______． (2)若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值． (3)计算： ． 【经典例题七 计算单项式乘单项式】 【例7】（23-24七年级下·全国·期末）若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如果单项式 与 是同类项．那么这两个单项式的积是 （ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算： 的结果是 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【经典例题八 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例8】（23-24八年级上·全国·课后作业）若 ，则 （ ） A．8 B．9 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）若 ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 2．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．(1)求 的值， (2)先化简，再求值： ． 【经典例题九 计算单项式乘多项式及求值】 【例9】（24-25八年级上·全国·期中）如图是L形钢材的截面， 个同学分别列出它的截面面积的算式， 你认为正确的有（ ）个 ； ； ； ； A． B． C． D． 1．（2024·山东临沂·模拟预测）已知 ，那么 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若 ，代数式 的值是 ． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知 ，求 的值． 分析：考虑到满足 的 的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将 整体 代入．解：原式 请你用上述方法解决问题：已知 ， (1)求 的值． (2)求 的值． 【经典例题十 单项式乘多项式应用】 【例10】（2024·浙江·三模）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛 的赛制（任意两支球队之间都要比赛一场）．若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比 赛，则比赛总场数比原计划减少（ ） A． 场 B． 场 C． 场 D． 场 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）在长方形 内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b 的正方形纸片（ ），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方 形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ，当 时，若知道下列条件，能求 值的是（ ） A．边长为a的正方形的面积B．边长为b的正方形的面积 C．边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D．边长a与b之差 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，正方形 的边长为 ，点E在 边上，四边形 也 是正方形，它的边长为 （ ），连接 、 、 ，则 的面积为 （用 或 表示）． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把 看作字母，m看作 系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式 ，所以 ，则 ． (1)若多项式 的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未 被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为 ，右下角的面积为 ，当 的长变化时，发 现 的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．【经典例题十一 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例11】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且 ，则a的 值不可能是（ ） A．10 B．11 C．12 D．14 1．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习） ，则 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式： _____ ； (2)已知a，b，m均为整数，若 ，求m的值．【经典例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例12】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知多项式 与 的乘积展开式中不含x的 一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）使 的积中不含 和 的p，q的值分别 是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 2．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含 的项，则常数a的值 为 ． 3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法 ”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）① ； ② ； ③ _________； ④ _________． 规律总结：（2） _________．应用规律：（3）①若 ，求 的算术平方根； ②若 的结果不含 的项，求 的立方根． 【经典例题十三 多项式的化简求值】 【例13】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若 且 ，则代数式 的值等于（ ） A．5 B． C．3 D． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果 ，化简 的结果是（ ） A．4 B． C． D．8 2．（2024·广东深圳·三模）已知 ，则 的值为 ． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 【经典例题十四 多项式乘多项式与图形面积】 【例14】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方 形面积的多项式： ① ；② ；③ ；④ ，你认为其中 正确的有（ ）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 1．（23-24七年级下·江苏·期中）如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、 乙两个长方形，面积分别为 ， ，则 的值是（ ） A． B． C．27 D．3 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，有边长分别为a， 的 类、 类正方形纸片和长为 ， 宽为 的 类长方形纸片若干张．若要拼一个边长为 的正方形，需要1张 类纸片、1张 类纸片和2 张 类纸片；若要拼一个长为 、宽为 的长方形，则需要 类纸片 张． 3．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出 这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．(2)小明想用类似方法解释多项式乘法 ，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张； (3)如果要拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要1号卡片 张． 【经典例题十五 多项式乘法中的规律性问题】 【例15】（24-25八年级上·云南昆明·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 （ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则 展开 式中所有项的系数和是（ ）A．128 B．256 C．512 D．1024 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… … 按照上述规律，则 展开式中所有项的系数和是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察：下列等式 ， ， ， 据此规律，当 时，代数式 的值为 ． 3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）发现与探索：你能求 的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ① ；② ； ③ ；… （1）由此我们可以得到： ______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：（2） ； （3） ． 【经典例题十六 整式乘法混合运算】 【例16】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）对于任意自然数n，代数式 一定能被一个 整数整除，那么这个整数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．12 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）当 时，代数式 的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【经典例题十七 多项式除法】 【例17】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知 ，其中n是正整数，那么 的值是（ ） A．3 B．5 C．7 D．91．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习） 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 ，由此可以推断出正确的计算结果是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以 得商式 ，余式 ，则多项式A 为 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知 ， 是多项式，王虎同学在计算 时，将 看成了 ，结果得到 (1)求多项式 ； (2)求 ． 【经典例题十八 整式四则运算】 【例18】（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算 的结果为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如果 ，那么代数式 的值是（ ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）化简： 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2)1．（24-25六年级上·上海·期中） 的计算结果是（ ）． A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小雅用电脑设计的一个运算程序框图．若输入x的值为 10，输出的结果是数m，若输入x的值为5，输出的结果是数n，则 的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的多项式 与 的乘积展开式中不含 的二次 项，且一次项系数为5，则 的值为（ ） A． B． C． D．3 4．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若 乘积中不含 项和 项，则 、 的值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ） A．1 B．2 C．2000 D． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知 ， ，则 的值是 ．7．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）若多项式 展开后 不含x的一次项，则 ． 8．（24-25八年级上·北京东城·期中）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就 是一例，这个三角形给出了 （ 1，2，3，4，5，6）的展开式（按 的次数由大到小顺序排列）的 系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中各项的系数；第五行 的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着 展开式中各项的系数． （1） 展开式中 的系数为 ； （2） 展开式中各项系数的和为 ． 9．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ，则 ． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）长方形 内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角 与右下角的阴影部分的面积的差为 ，当 的长度变化时，按照同样的方式放置， 始终不变，则 ， 应满足 ．11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B为整式，且 ， ． (1)如果A与B的乘积中不含 和 项，求m、n的值； (2)在数轴上将表示m的点记为M，表示n的点记为N，在（1）的条件下，数轴上的点P满足P到点M的 距离是P到点N的距离的2倍，求点P表示的数． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算， 常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别 为 ， 的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知 ，求 的值； (3)已知 ， ， 为正整数，求 的值． 15．（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以 多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把 所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数 低于除式的次数． 例如：计算 ，可用如图的竖式进行计算．因此商式是 ，余式是1．(1)计算 ，商式是________，余式是________； (2)计算 ，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数， ， ，求m的值．