文档内容
专题02 垂直于弦的直径重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
题型一 根据垂径定理求半径
题型二 根据垂径定理求长度
题型三 根据垂径定理求角度
题型四 根据垂径定理求面积
题型五 利用垂径定理求平行弦问题
题型六 利用垂径定理求同心圆问题
题型七 利用垂径定理求解其他问题
题型八 垂径定理的推论
题型九 垂径定理的实际应用
题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证
题型十二 垂径定理中的最值问题
知识点一、圆的对称性
（1）对称中心
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆
心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。
1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量
都分别相等。
3. 将整个圆分为 等份，每一份的弧对应 的圆心角，我们也称这样的弧为 的弧。圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图
形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
知识点二、垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
几 何 语 言：垂径定理的几个基本图形：
垂径定理在基本图形中的应用：
2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推
三．
注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．【经典例题一 根据垂径定理求半径】
【例1】（2024·浙江杭州·一模）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点E，连接 ．若
，则 的半径长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）线段 是 的直径，弦 于点 ．若
，则 半径长为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2024·贵州遵义·一模）如图， 是 的直径，将弧 沿弦 折叠后，弧 刚好经过圆心 ．
若 ，则 的半径长是 ．3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，AB是 的弦，C是 的中点．
(1)连接 ，求证： 垂直平分AB；
(2)若 ， ，求 的半径．
【经典例题二 根据垂径定理求长度】
【例2】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段 ， 分别为 的弦， ， ，
是 的平分线，若 ，则弦 长为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则
这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，连接 ，
， ，则弦 的长为 ．
3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ， ，弦 ，垂足为
点 ，求 的长度．
【经典例题三 根据垂径定理求角度】
【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， 是直径， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·安徽亳州·二模）如图， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点．若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知 为 的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径 所在的直
线上找一点P，连接 交 于点Q（异于点P），使 ，则 ．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图， 是 的直径， 于点 ，连接 并延长交
于点 ，且 恰为 的中点．
(1)求 的度数；
(2)证明： 是 的中点．
【经典例题四 根据垂径定理求面积】【例4】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别
交于A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上
运动时， 面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于
A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动
时， 面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中） 的直径 ，弦 ，且 于E，则 的
面积 .
3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于点B、C．
(1)求证：
(2)当 时，求大圆与小圆的面积之差．
【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】
【例5】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接
BE，若AB=2 ，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，
则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
2．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与
AB之间的距离是 ．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在 上， 经过圆心O的线段 于点
F，与 交于点E，已知 半径为5．（1）若 ， ，求 的长；
（2）若 ，且 ，求弦 的长；
【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，
O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置
在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯
底有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6 B． C． D．
2．（23-24九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形 的边 和 分别是
两圆的弦，则矩形 面积的最大值是 ．
3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】
【例7】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C
是圆上的点，则此圆的面积为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·湖北·模拟预测）西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．
如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点 是这条弧所在圆的圆心，点 是 的中点， 与 相交于点
．经测量， ， ，那么这段弯道的半径为（）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示
折痕，则 的度数是 ．
3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1) ， 均为格点，且 经过 ， 两点，作出 的中点 ；(2) ， 均为格点，且 ， ， 均在圆上，作出 的中点 ；
(3) ， ， ， 四点都在圆上，且 ，作出 的中点 ；
(4) ， 均是 上的点，且 ， 都在格线上，在圆上作一点 ，使得 是 的中点．
【经典例题八 垂径定理的推论】
【例8】（2022九年级上·全国·专题练习）下列命题中错误的有（ ）．
（1）弦的垂直平分线经过圆心 （2）平分弦的直径垂直于弦
（3）梯形的对角线互相平分 （4）圆的对称轴是直径
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，在 中， 为直径， ，点 为弦 的中点，
点 为 上任意一点（点 不与点 重合），则 的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图， 是 的弦， 是 的中点，连接 并延长交
于点 ．已知 ， ，则 的半径为 ．3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ，以点C为圆心， 长为半
径的 与 相交于点 ．
(1)若弧 的度数为 ，则 ______°；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【经典例题九 垂径定理的实际应用】
【例9】（2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液
体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由 去掉两个弓形后与矩形 组合而
成的图形，其中 ，若 的半径为25， ，则该平底烧瓶的高度为
（ ）
A．20 B．40 C．60 D．801．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为 ，
若油面的宽 ，则油槽中油的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·北京海淀·期末）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，
图1所示是一个竹筒水容器，图 为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为 ，开口 宽为 ，
这个水容器所能装水的最大深度是 ．
3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、
完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高 （优弧 中点到 的距离）， ， ，求拱门
的圆弧半径．【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【例10】（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 的顶点A、B、C均在 上，点A是 中点，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，则下列结
果中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知 和 是 的两条等弦， ， ，
垂足分别为 ， ， ， 的延长线交于点 ，连接 ，下列四个说法中： ，
， ， ，正确的是 ．3．（23-24九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图， 是 的直径，点C为 的中点， 为 的弦，
且 ，垂足为E，连接 交 于点G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作
于点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）在 中， ， 为两条弦，下列说法：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则
，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24九年级·全国·课后作业）如图， 是四边形 的外接圆， 平分 ，则正确结论
的序号是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知 为 的直径， ， 绕点 旋转，
， 两点不与 ， 重合．
(1)求证： ；
(2) 成立吗？为什么．
【经典例题十二 垂径定理中的最值问题】
【例12】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 为 直径，且 ，点 为 中点，点 为线段
上一动点，点 ， 在 上且满足 ，当 垂直于 时，若 ，则 的最小
值为（ ）A． B． C．1 D．
1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦， 于点
是 上一动点，连接 是 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形 中， ， ，C为 的中点，D 为
上一点，且 ，连接 ，在 绕点O旋转的过程中，当 取最小值时， 的周长
为 ．3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中， 是弦 上的一个动点，连接 ，过点
作 交 于点 ．
(1)试说明当点 在 的什么位置时， 的长取得最大值？
(2)若 ，求 长的最大值．
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）在 中，弦 长为 ，圆心 到 的距离为 ，则 的
半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌
溉工具）的工作原理．如图 ，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，
且 被水面截得弦AB长为 米， 半径长为 米，若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦AB所在直
线的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：
“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过
以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设 所在圆的圆心为 ，经测量：弦
，过弦 的中点 作 交圆弧于点 ，且 ，则该车轮的半径等于（ ）A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，已知 的半径为 ，AB是 的弦， ， 为AB中点，
是圆上的一点(不与 、 重合)，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．
5．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，
将边长为 的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的 ， ，
三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 为 的内接三角形，O为圆心， 于点
D， 于点E，若 ，则 ．7．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为 ．
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， 是圆O的直径， 垂直弦 于点C， 的延长线交圆O于
点E，连接 ，若 ，则 的长为 ．
9．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点，
， ， ，则 的长为 ．
10．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形 中， ， ，C为 的中点，D 为
上一点，且 ，连接 ，在 绕点O旋转的过程中，当 取最小值时， 的周长为 ．
11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ，以点 为圆心， 为半径的
圆交 于点 ，交 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
12．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 为
直径的半圆 ，若 ， 为水面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)请在图1中画出线段 ，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出
的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少．
13．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证： ；
(2)若 ， ，大圆的半径 ，求小圆的半径r的值．
14．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 是 的一条弦， ，垂足为 ，交 于
点C、D．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的半径长．
15．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，等腰 的底边 交⊙O于点 、 ．
(1)求证： ．
(2)连接 、 ，若 ； ，求 的半径．
