文档内容
专题02 角平分线的性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）
题型一 作已知角的角平分线
题型二 角平分线性质定理及证明
题型三 角平分线的判定定理
题型四 利用角平分线的性质求角度
题型五 利用角平分线的性质求长度
题型六 利用角平分线的性质求面积
题型七 角平分线辅助线添加问题（作垂直）
题型八 角平分线的性质的实际应用
题型九 角平分线性质的综合应用
【知识点1 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【知识点2 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB【知识点3 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
1
②分别以D、E为圆心，大于2 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【经典例题一 作已知角的角平分线】
【例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在 中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交
、 于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交 、 于点F、G，连接 、
，交于点H，连接 并延长交 于点I，则线段 是（ ）
A． 的高 B． 的中线
C． 的角平分线 D．以上都不对
1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点O；
③作射线 ，交 于点E．
已知 ， ，则 的面积为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．14
2．（2024·浙江台州·二模）如图，在 中， ，进行如下操作：①以点B 为圆心，
以小于 长为半径作弧，分别交 于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于 长为半径作
弧，两弧交于点 M；③ 作射线 交 于点D，则 的度数为 ．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)尺规作图：作 的平分线，交 于点 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ，求 的度数．【经典例题二 角平分线性质定理及证明】
【例2】（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图， 的外角 的平分线CE与内角
的平分线BE交于点E，若 ，则 的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
1.（2021七年级下·全国·专题练习）在直角三角形 中， ， 平分 交 于点 ，
平分 交 于点 ， 、 相交于点 ，过点 作 平行 ，过点 作 交 于点
．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ．其中正确的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在 中， ， ， ，有下列结论：
① ；② ；③连接DE，则 ．其中正确的结论有 ．
3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示， ， 在 两边上且 ， 是 内部的一条射线且 于点 ，
(1)求证 平分 ；
(2)分别作 和 的平分线，相交于 ，求证P同时也在 的平分线 上．
【经典例题三 角平分线的判定定理】
【例3】（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图， 是 内部的一条射线，P是射线 上任意点，
，下列条件中：① ，② ，③ ，④ ，能判定
是 的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；
③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．12．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在 中， ， ， 的平分线
与 的外角平分线交于点 ，连接 ，则 的大小等于 ．
3．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在 外作 和 ，使
，且 ，连接 相交于P点．
(1)求证： ；
(2) ______（用含 的代数式表示）；
(3)求证：点A在 的平分线上．
【经典例题四 利用角平分线的性质求角度】
【例4】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形 中， ， ， 平分 ，
平分 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在 中， 分别平分 ， ， ，，下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的为（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图， 中 ，点 、 是 与 三等分线
的交点，则 的度数是 ．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， 平分 ， ， 于E，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
【经典例题五 利用角平分线的性质求长度】
【例5】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接 ，
，垂足为 ，并且 ， ， ， ，点 是 边上一动点，则 的最
小值是（ ）A． B． C． D．
1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图， 中， 为 的角平分线， 交 于点
E， 交 于点F．若 面积为 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，在 中， 平分 ， 于点 ，
的面积为 ， ，则 的长为 ．
3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图， 是AD中点， 平分 ．
(1)若 ，求证： 平分 ．
(2)若 ，求证： ．【经典例题六 利用角平分线的性质求面积】
【例6】（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，
， 和 的面积分别为48和26，则 的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
1．（2024·四川资阳·二模）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 交边 于点 ．若 ， ，点 为线段 上的一个动点，当 最短时， 的
面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以顶点A为圆心，
以任意长为半径作弧，分别交 ， 于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于 的长为半径
作弧，两弧在 内交于点P；③作射线 ，交边 于点D，若 的面积为4，则 的面积
为 ．3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ， 平
分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的面积．
【经典例题七 角平分线辅助线添加问题（作垂直）】
【例7】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ，点O是 、 的
平分线的交点，且 ， ，则点O到边 的距离为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， 为 的中点， 平分 ，
， 与 相交于点 ，若 的面积比 的面积大 ，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形 中， ，点E是 上一点，且
分别平分 ．若 ，则四边形 的面积是 ．
3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容．
已知：如图． 是 的平分线，P是 上任意一点， ， ，垂足分别为点D和点
E．
求证： ．
分析：
图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得 ．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明 的过程．
【类比探究】
（1）如图②， 是 的平分线，P是 上任意一点，点M，N分别在 和 上，连接 和
，若 ，求证： ；
（2）如图③， 的周长是12； 、 分别平分 和 ， 于点D，若 的
面积 ，则 长为________．【经典例题八 角平分线的性质的实际应用】
【例8】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某
地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场
应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为 ， ， ，现计
划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等， 内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（
）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
2．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 的边 上取点 ，连接平分 平分 ，若 的面积是2， 的面积是9，则 的周长是
．
3．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线 ， ， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个
塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
【经典例题九 角平分线性质的综合应用】
【例 9】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 ， 交于点M，连接 ．下列结论：
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论个数有（ ）
个．
A．4 B．3 C．2 D．11．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在 中， 交 于D， 平分 交 于
E，F 为 延长线上一点， 交 的延长线于点M，交 的延长线于点 G， 的延长线交
于点 H，连接 ，则下列结论∶① ；② ；③ ；④
若 ，则 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角
平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的
依据是 ，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图2，在四边形 中， ， 和 的平分线 交于边 上一点 ．
过点 作 于点 ．若 ，则 _________ ；
②巧翻折，造全等
如图3，在 中， 是 的角平分线，请说明 ；小明在 上截取 ．连
接 ，则 ．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在 中， 是 的两条角平分线，且 交于点 ．
请判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
3．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角
平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的
依据是 ，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图2，在四边形 中， ， 和 的平分线 交于边 上一点 ．
过点 作 于点 ．若 ，则 _________ ；
②巧翻折，造全等
如图3，在 中， 是 的角平分线，请说明 ；小明在 上截取 ．连
接 ，则 ．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图4，在 中， 是 的两条角平分线，且 交于点 ．
请判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
1．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，
交 于点 ， 于点 ，且 ，则 的周长为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图， 在 中， ， 的平分线 交 于点E，
于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则 为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点 是 的三个内角平分线的交点，若 的周长为
，面积为 ，则点P到边 的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 ， 交于点M，连接 ．下列结论：
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论个数有（ ）
个．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 平分 ，过点P作 ，分别交 ， 的延长线于点M，N，连接 ， 平分 ．则下列结论：① 平分
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有
（ ）
A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
6．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）如图， 平分 交 于点 ， 于点 ，若 ，
， ，则 的长为 ．
7．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在 中， 于E， 于F， 为 的平分
线， 的面积是 ， ， ， ．
8．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图， 在 中， ， 是角平分线， 是边
上的高， 延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；②
； ③ ，④ ．其中结论正确的个数是 ．9．（2024·重庆·三模）如图，四边形 中， 平分 ， 于点E，
，则 的长为 ．
10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形 中， ，且 平分
．若 ，则 的度数为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 垂足分别为A、D， 分别平
分 交点 E恰好在 上．
(1) 成立吗？ 为什么？(2)求证： ．
12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图， 是 中 的平分线， 于点E，
于点F， ， ， ，求 的长．
13．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， 为 边上一点， 于点 ，
于点 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ， ，则 的长为 ．
14．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图， 中， 是 的角平分线， 于点 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，求 的面积．
15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平
分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1， 平分 ， 平分 的外角， 平分
的外角，则点E为 的“幸福点”．
根据定义，解决下列问题．(1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”）
①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题）
②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题）
③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题）
(2)如图2，若点I是 的“幸福点”，设 ， ，试猜想α和β之间的数量关系（用含
α的代数式表示β），并证明你的猜想；
(3)如图3，在 中， ，点D是 的一个“幸福点”，过D作 ，交 的延
长线于点E，若 ， ， ，求 的长．
