文档内容
专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道
拓展培优）
题型一 有关切线的说法辨析
题型二 切线的判定定理
题型三 切线的性质定理
题型四 应用切线长定理求证
题型五 由三角形的内切圆求长度
题型六 由三角形的内切圆求角度
题型七 由三角形的内切圆求面积
题型八 由三角形的内切圆求最值
题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十 圆外切四边形模型
题型十一 三角形内心有关应用
题型十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十三 三角形内切圆与外接圆综合
题型十四 圆的综合问题
知识点一 切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；
（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理
解为“二推一”。
知识点二 三角形的内切圆
（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
交点，叫作三角形的内心。
（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。
点拨：（1）设直角三角形的两条直角边长为 斜边长为c，则它的内切圆半径 ；
（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；
（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即 其中 为
的内切圆半径， 分别为 的三边长。
（3）切线长
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。
（4）多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．
总结：
【经典例题一 有关切线的说法辨析】
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）下列说法：
①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的
切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的
直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题二 切线的判定定理】
【例2】（2024·河北沧州·二模）已知P是 上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与 相切
于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（ ）
乙：如图2，①作射线 ；
甲：如图1，①连接 ，以点P 为圆心， 长
②在直线 外任取一点A，以点A为圆心， 长为
为半径画弧交 于点A，连接 并延长；②在
半径作 ，与射线 交于另一点B；③连接 并
上截取 ，直线 即为所求．
延长与 交于点C，直线 即为所求．
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确1．如图，在 中， ， ，点D为 的中点，以2为半径作 ，则下列
说法不正确的是（ ）
A．点A在圆外 B．点C在圆上
C． 与直线 相切 D． 与直线 相交
2．如图，在矩形 中， ， ， 是以 为直径的圆，则直线 与 的位置关系是
．
3．如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交 于点D，过点D作直线
于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【经典例题三 切线的性质定理】
【例3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 为 的切线，切点为 ，连接 、 ， 与交于点 ，延长 与 交于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在 中， ， ， ，则 的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如图， 、 分别切 于点 ， ，点 是 上一点，且 ，则 的度数为 ．
3．在 中， 为直径， 为 上一点．
(1)如图①，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，若 ，求 的大小；(2)如图②， 为 上一点，且 经过 的中点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若
，求 的大小．
【经典例题四 应用切线长定理求证】
【例4】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形 的底边 上，并与其它三边均相切，若
， ， ，且 ，则 长为（ ）
A．b B． C． D．
1．如图， 是 的切线，D、E为切点， 与 相切于点F，分别交 于点B、C．若
的周长为16，则切线长 为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．无法确定
2．已知 、 为圆 的两条切线，连接 交圆于点 ，若 ， ， ，则
．
3．已知点 是 外一点， 分别与 相切于点 ．(1)如图①，若 ，则 ______；
(2)如图②，连接 ，若 ，则 ______°；
(3)如图③，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 ______°．
【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】
【例5】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，点 是
的内心，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
1．如图， 中， ， ， ，点 是 的内心，则 的长度为（ ）A．2 B．3 C． D．
2．如图，在 中， ， ， ，且 的三边都与 相切，则 的半径为
．
3．如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，且 ，
求 的长．
【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】
【例6】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若
∠A=84°，则∠D的度数（ ）
A．42° B．66° C．76° D．82°
1．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若 ，则 的度
数是（ ）A． B． C． D．
2．如图，点 是 的内心．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）连接 ，则 （填“ ”“ ”或“ ”）．
3．如图，在 中，已知 是直径， 是 的切线，点D是切点，点C是 上一点， ，
连接 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)已知 ， ，求 的长．
【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】
【例7】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是 的两个实
数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（ ）
A．π B． C． D．1．如图，在 中，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ， ， ，
则涂色部分(即四边形 )的面积是 ．
3．如图，在 中， 是 的内切圆，三个切点分别为点 ， ．若
．求 的面积．
【经典例题八 由三角形的内切圆求最值】
【例8】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 4 π cm 2 ． ．
1．如图， ， ， ，点 在 上运动，当 最大时，则 的长度是
（ ）
A．15 B．20 C． D．
2．如图，在正方形 中， 是对角线 点 与点 ， 不重合 上的一个动点，过点 作
于点 ， 于点 ，连接 ．
当 ， 时， ；
若 ，则当矩形 的面积最大时， 的内心到边 的距离是 ．
3．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且
点P对应的示数为120°（60°），点C是 上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对
应的示数为60°（120°）．(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；
(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；
(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小
值．
【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例9】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，已知 中， ， 为 的内切圆，
若 ，且 的面积为24，则 的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
1．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，连接 ， ， ，
， ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了
一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾
（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少
步？”根据题意，该内切圆的直径为 步．
3．已知，如图，在 中， ，请根据下列要求解决问题：
(1)利用尺规作出 的内切圆 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，内切圆 的半径为1，求 的周长．
【经典例题十 圆外切四边形模型】
【例10】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，
点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．
若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）A．3 B．4
C． D．
1．已知四边形ABCD，下列命题：①若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形
ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 ；③若四边形ABCD内存在一点到四条
边的距离相等，则 ，其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，正方形 ，正方形 和正方形 都在正方形 内，且 ． 分别与
， ， ， 相切，点 恰好落在 上，若 ，则 的直径为 ．
3．如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面 是正方形，容器乙的底面 是
矩形．如图②，已知正方形 与矩形 满足如下条件：正方形 外切于一个半径为5米的圆
，矩形 内接于这个圆 ， ．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方
米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加 立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水
2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为 时，我们把容器甲的水位高度记
为 ，容器乙的水位高度记为 ，设 ，已知 （米）关于注水时间 （小时）的函数图像如图
③所示，其中 平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求 的值；
②求图③中线段 所在直线的解析式．
【经典例题十一 三角形内心有关应用】
【例11】（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，点 为 的内心， ， ， ，则
的面积是（ ）A． B． C． D．
1．如图，在 中， ，点 在 边上，过 的内心 作 于点 ．若 ，
，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，点 在 上，直径 ， ，垂足为 ，点 是 的内心， ，点 在
其上， ，则 ．
3．如图，等腰三角形 内接于 ， ，点 是 的内心，连接 并延长交 于点 ，
点 在 的延长线上，满足 ．试证明：
(1) 所在的直线经过点I；
(2)点D是 的中点．
【经典例题十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】【例12】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
且 ， ， ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ， ，则 的
周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
2．如图， 中， ， ， 是边 上的高， ， 分别是 ，
的内切圆，则 与 的面积比为 ．
3．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在 中，三边分别为 是的内切圆，
切点分别为 ．求 的半径．
思路分析：如图1．连接 ，则存 ， ，设．
于是有 ，
∴ ．（其中S表示 的面积，p表示 的周长的一半）
用语言叙述：三角形的内切圆的半径 ．
若已知 的三边长 ，如何求 的面积 呢？
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长
求它的面积的秦九韶公式：若
则秦九韶公式为 ．
例如：在 中，若 ，利用秦九韶公式求 的面积 ．
解： ，
……
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求 面积的剩余步骤，并求出 的内切圆的半径．
(2)如图2，在 中， 为它的内切圆，则 的长为______．【经典例题十三 三角形内切圆与外接圆综合】
【例13】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图， 中， ， ，内心为I，连接 并
延长交 的外接圆于D，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
1．（2024·四川南充·一模）如图，点 是 外接圆的圆心．点 是 的内心．连接 ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）在 中， ，在斜边 上分别截取 ，
， ，O是 的外心，如图所示，则O到 的三边距离之和是 ．3．（2024·上海·模拟预测）已知 的内心为O， ．
(1)如果 的外心也为O，求证： 为等边三角形，并尺规作线段 ；
(2)延长 交边 于E，求证： = ．
【经典例题十四 圆的综合问题】
【例14】（2024·山东淄博·一模）如图， 是 的直径，半径 ， 为 上一动点， 为
的中点，连接 ．若 的半径为2，则 的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于
点D，与 相交于点G．则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点G
为 的中点，则 ；④ ．其中不一定正确的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
2．（2024·江苏泰州·二模）如图， 中， ， ， ，点P为 的中点，点Q
为 边上一动点，将 绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点 ，旋转过程中 的取值范围为
．
3．（2024·四川达州·模拟预测）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一
点，连接 ， ，且 是 的切线．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
1．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图， 和 是 的两条切线， 、 是切点，连接 交 于点
、 ，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．4
2．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图， 是 的直径， 与 切于点 ，点 在 上，
连接 与 交于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若 ，则 的长为
（ ）
A．2 B．2❑√2 C．3 D．2❑√3
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数
学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其
中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图， 中，
的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出 的内切圆直径 ，下列表达
式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形 的 边为直径作半圆 ，过点 作直线切半圆
于点 ，交 边于点 ，若 的周长为12，则直角梯形 周长为（ ）．A．12 B．13 C．14 D．18
5．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图， 的内切圆 与 相切于点D、E、
F，已知 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 与 相切于点 ， 与弦 相交于点 ，
，若 ， ，则 的长为 ．
7．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图， 为 的直径， ， 分别与⊙O相切于点B，
C，过点C作 的垂线，垂足为E，交 于点D．若 ，则线段 的长为 ．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线 与 相切于点 ，连接 交 于点 ．（1）如图①，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 °；
（2）如图②，延长 交 于点 ，连接 ，若 ，则 °；
（3）如图③，点 是 上一点，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，
则 °．
9．（2024·广东·模拟预测）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 的切线交 的延长
线于点 ，连接 ，且 ，若 ，则 的长为 ．
10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点 是 外一点， 分别与 相切于点 ．
（1）如图①，若 ，则 ；
（2）如图②，连接 ，若 ，则 ；
（3）如图③，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 °．
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知 中， ．(1)作一个圆，使圆心O在 边上，且与 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ，求（1）中所作的 的半径．
12．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在 中， ， 为 的直径， 与 相交
于点D，过点D作 于点E， 延长线交 于点F．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
13．（2024·湖南·模拟预测） 如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交
于点D，过点D作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形， ，D为的中点， 的延长线交于点E， 的切线 与 交于点F．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 ， ，求 的长．
15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线 与 相切于点 ，连接 交 于点 ．
(1)如图①，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 ______ ；
(2)如图②，延长 交 于点 ，连接 ，若 ，则 ______ ；
(3)如图③，点 是 上一点，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，则
______ ．
