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抢分专练 03 圆锥曲线
一、单选题
1．（2024·四川德阳·三模）设 是双曲线 的左、右焦点，O是坐标原点，点
P是C上异于实轴端点的任意一点，若 则C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【详解】令双曲线 的焦点 ，设 ，
则 ，即有 ，
，同理 ，
而 ，故 ，
因此 ，
即 ，所以双曲线C的离心率 .
故选：D
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，焦距为，在第一象限存在点 ，且点 在双曲线上，满足 ，且 ，则双曲线 的渐近
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，
因为点 在第一象限，所以 为锐角，所以 ，
因为 ，所以 ，
由双曲线定义得 ，
在 中，由余弦定理有 ，
整理得 ，
又 ，所以 ，即 ，
解得 ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，即 .
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E： 上三点，且
， ，直线BC与x轴交于点D，若 ，则E的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取BC的中点M，设 ， ， ， ，则 ．
∵A，C在椭圆E上，∴ ，两式相减，得 ，
即 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，连接OM，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，又 ， ，
∴ ，得 ．
∴ ，∴ ，即 ，
∴E的离心率 .
故选：D．4．（2024·河北·二模）已知 ， 是圆 上的两个动点，且 ，若点
满足 ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接 ，
由 ， 是圆 上的两个动点，且 ，
即 ，
又 ，则 ，可得 ，
所以 ，
则动点 的轨迹方程为 ，
且圆心 到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 .故选：D
5．（2024·全国·模拟预测）已知点P为抛物线 上的动点，A，B为圆 上的两个
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，要使 最小，
则当 最大时，此时 与圆 相切，则 ，
所以 ，
要求 的最小值，则需 最大，即需 最小．
设 ，则 ，
所以当 时， ，此时 ，
即 的最小值为 .
故选：C．6．（2024·全国·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右顶点，点 在 上， 为等腰
三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】如图所示：
因为 为等腰三角形，且顶角为 ，
所以 ，过点 作 轴，垂足为 ，
在 中，则 ，故 ，
代入双曲线方程得 ，解得 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：D
7．（2024·四川成都·三模）已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物线 的焦
点为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【详解】设 的坐标为 ，则 ，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，当点 在直线 上及右侧，即 时， ，当且仅当 是 与直线 的交点时取等号，
此时 ，当且仅 时取等号，
当点 在直线 左侧，即 时，点 关于 的对称点是 ，则 ，
，
当且仅当 是 与直线 的交点，且 时取等号，而 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆 的中心为原点，焦点为 ， ，以 为圆心，
为半径的圆交椭圆 于 、 两点，且 ，则椭圆 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接 、 ，根据对称性可知 ，
又 ，所以 为等边三角形，即 ，
所以 点为椭圆的短轴的顶点，
又 ，所以 ，则 ，所以椭圆方程为 .
故选：C
9．（2024·全国·模拟预测）若双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为 ，则
该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】根据双曲线的几何性质可知，右焦点 ，
其到渐近线 的距离为 ，
因为 ，所以 .
故选：D．
10．（2024·全国·模拟预测）设点 ，若在圆 ： 上存在点 ，使得 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知点 ，要使圆 ： 上存在点 ，使得 ，因为点 在直线 上移动，
而当 与圆相切时 取最大值，
此时 ， ，
只有点 移动区域满足 时，
才能找到符合条件的点 ， ，
满足题意的 ．
故选：A．
二、多选题
11．（2024·河北·二模）已知 为坐标原点，焦点为 的抛物线 过点 ，过 且
与 垂直的直线 与抛物线 的另一交点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．直线 与抛物线 的准线相交于点
【答案】ACD
【详解】由抛物线 过点 ，可得 ，则 ，故A正确；
由上可知抛物线 ，准线方程为 ，
所以 ，故B错误；
由已知可得 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，得 ，
解得 或 ，故 ，
所以 ，故C正确；
由直线 的方程 ，令 ，得 ，
所以直线 与抛物线 的准线相交于点 ，故D正确.
故选：ACD
12．（2024·全国·模拟预测）已知圆 关于直线 对称，则下列
结论中正确的是（ ）
A．圆 的圆心是 B．圆 的半径是4
C． D． 的取值范围是
【答案】ACD【详解】将圆的方程化为标准方程可得 ，所以该圆的圆心为 ，半径为2，故选项
A正确，选项B不正确．
由已知可得，直线 经过圆心，所以 ，整理可得 ，故选项C正确．
由选项C知 ，所以 ，所以 的取值范围是 ，故选项D正确．
故选：ACD．
13．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线 的焦点，点 在C上，过点
的直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为 B．抛物线C的焦点为
C．直线 与C不相切 D．
【答案】BD
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ，焦点坐标为 ，故A错误， B正确．
可求得直线 ，又直线与对称轴不平行，
由 得 ，
所以 ，故C错误．
设过点B的直线方程为 ，与抛物线在第一象限交于 两点，
联立消去y并整理可得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，故D正确．
故选：BD．
14．（2024·河南开封·三模）椭圆 的焦点为 ， ，上顶点为A，直线 与C的
另一个交点为B，若 ，则（ ）
A．C的焦距为2 B．C的短轴长为
C．C的离心率为 D． 的周长为8
【答案】ABD
【详解】由于 ，所以 ,
故 ，
因此 ，故 ，
所以椭圆 ，
对于A，焦距为 ，故A正确，对于B，短轴长为 ，B正确，
对于C，离心率为 ，C错误，
对于D， 的周长为 ，D正确，
故选：ABD
三、填空题
15．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上不与
顶点重合的任意一点，I为 的内心，记直线 的斜率分别为 ，若 ，则椭圆E的离
心率为 ．
【答案】 /
【详解】设 ，设圆与 轴相切于点M，N，T，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ．
由椭圆的第二定义可知 ，
所以 ，所以 ，
由等面积法得到 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
故答案为：
16．（2024·全国·模拟预测）已知 为椭圆 的两个焦点，过原点的直线交椭圆C于P，Q
两点，且 ，则 的内切圆半径为 ．
【答案】1
【详解】因为椭圆 ，所以 ，
连接 ，由椭圆的对称性知， ．
又 ，所以四边形 为矩形．
设 ，
则 得到 ．
设 的内切圆半径为r，圆心为 ，
所以则 ，
因为 ， ，所以 ，
即 ，解得 ．
故答案为： .
17．（2024·河北·二模）阅读下列两则材料：
材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线 ，若存在直线 ，使得对于曲线 上任意一点
，要么点 在直线 上，要么曲线 上存在与点 相异的一点 ，使得点 与点 关于直线 对称，则称
曲线 关于直线 对称，直线 称为曲线 的轴，曲线 与其轴的交点称为曲线 的顶点．
材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数 的图象的研究发现：反比例函数
的图象是双曲线，其两条渐近线为 轴和 轴，两条渐近线的夹角为 ．
①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线 ，由此可求得其离心率为 ．
②若 ，则将 与 联立可求得双曲线的顶点坐标为 ， ．
完成下列填空：
已知函数 的图象是双曲线 ，直线 和 轴是双曲线 的两条渐近线，则双曲线 的
位于第一象限的焦点的坐标为 ．
【答案】 /
【详解】直线 和 轴是双曲线 的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线 的焦点所在的对称轴是直线 .
由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得 ，
解得： 或 ，所以双曲线 的位于第一象限的顶点为 .
若将双曲线 绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线 ，则双曲线 的离心率
，
设双曲线 的位于第一象限的焦点的坐标为 ，则 ，所以 ，所以 ，所
以双曲线 的位于第一象限的焦点的坐标为 .
故答案为：
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱
的中点，则平面 截正方体所得的截面面积为 ，若 为平面 上的动点，且
直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为 ．【答案】
【详解】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，
可知平面 与正方体相交的截面即为正六边形 ，其边长为 ，
因此面积为 ．
由上可知， 平面 ，且垂足H为 的中点，
如图2，动直线 是以 为轴、直线 与直线 的夹角为 的圆锥的母线，
点Q的轨迹为圆锥底面圆．
图2因为 ，所以底面圆的半径 ，
所以点Q的轨迹长度为 ．
故答案为： ；
四、解答题
19．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，双曲线C的虚
轴长为2，有一条渐近线方程为 ．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l
与双曲线的右支交于另外一点B，连接 并延长交双曲线左支于点P，连接 与 ，其中l垂直于
的平分线m，垂足为D．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线m与直线 的斜率之积为定值；
(3)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)3
【详解】（1）因为虚轴长为2，即 ，所以 ．又因为有一条渐近线方程为 ，所以 ，
所以双曲线C的标准方程为 ；
（2）由题意，点A与点P关于原点对称．
设 ，则 ．
由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k，
记直线m的方向向量为 ，又直线m为 的平分线，
则 ．
因为 ，
所以 ，
同理 ，
又 ，代入 得，
，化简得 ．
所以 ，即直线 与直线m的斜率之积为定值；
（3）由（2）可知 ．
又 ，所以 ，
将 代入 得，，
所以 ．
设直线m的方程为 ，
将 代入 得 ，
所以直线m的方程为 ．
由点到直线距离公式得，
．
又直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，
将 代入 得 ，
所以直线 的方程为 ．
将其与 联立得 ．
设 ，则 ．
由 得 ，
所以 ．所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当且仅当 时， 的最小值为3．
20．（2024·全国·模拟预测）已知A，B分别为双曲线 的左，右顶点，四点
中恰有三点在双曲线E上．若P为直线 上的动点，
与E的另一交点为 与E的另一交点为D．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)过点B作 于点Q，是否存在定点G，使得 为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)存在定点
【详解】（1）方法一：由题意可知点 与点 关于原点对称，
故双曲线一定过 和 两点．
当双曲线过点 时，
有 方程无解；当双曲线过点 时，
有 解得
故双曲线E的方程为 ．
方法二：由题意可知点 与点 关于原点对称，
故双曲线一定过 和 两点．
设双曲线E的方程为 ，
当双曲线过点 时，
有 方程无解；
当双曲线过点 时，
有 解得
故双曲线E的方程为 ．
（2）
如图，由（1）知 ，设 ，则直线 的方程是 ，
联立
消元 ，得 ，
由韦达定理得 ，即 ，
代入直线 的方程得 ，即 ．
直线 的方程是 ，
联立
消元 ，得 ，
由韦达定理得 ，即 ，
代入直线 的方程得 ，即 ．
所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程是 ，整理得 ．
因为 ，
所以直线 的方程为 .
（3）如图，由（2）得直线 ： 过定点 ．
因为 ，所以 为直角三角形，
取 的中点 ，则 ，即 为定值．
综上，存在定点 ，使得 为定值．
21．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （ 为参数）．以坐标
原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．已知点A在圆C
上．
(1)求A到直线l距离的最小值；
(2)若点B在圆C上，且 ，直线OA的斜率为2，直线OA，OB与直线l分别交于点M，N，求
的值．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）将圆C的参数方程 （ 为参数）中的参数消去，得圆C的普通方程为 ．
直线l的极坐标方程可化为 ，将 ， 代入上式，得l的直角坐标方程为 ．
圆C的圆心（0，0）到直线l的距离为 ，
故A到直线l距离的最小值为 ．
（2）如图所示
因为点A在圆C上，点 在圆C上,
所以 ，
又 ，
所以 为等腰直角三角形，
故 ．
因为直线OA的斜率为2，
所以直线OA的方程为 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以直线OB的方程为 ，
由 ，得 ，可得 ，
由 ，得 ，可得 ，
故 ，所以 ．
22．（2024·全国·模拟预测）已知直线l： 与拋物线E： 交于A，B两点，与x
轴交于点M， ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线 ， ，若 与 的交点为P，P到y轴的距离为d，直线
， 与y轴的交点分别为C，D，且 ，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）设 ， ，由 ，可得 ，
满足 ，
则 ， ，
由题意知 ， ，所以
，
∴ ，∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）设 ，拋物线E在点A处的切线方程为 ，
由 ，可得 ，
由切线与抛物线只有一个公共点得 及 ，
可得 ， 故 的方程为 ，即 ，
同理可得 的方程为 ，设 ，
由 ，
可得 ．
得 ， ，
则 ，
则 ，得 ，
又 ， ，
所以 ，得 ，
故直线l的方程为 或 ．
23．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，斜率为k的直线l经过抛物线 的焦点F，且与抛物线E相交于A，B两点，直线 交抛物线E的准线于点C．
(1)当 时，求抛物线E的方程；
(2)当抛物线E的准线为 时，证明：直线 轴．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意设直线 ，
联立 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
即抛物线E的方程为 ．
（2）由题意得，抛物线E的方程为 ，
设直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，
设直线l的方程为 ，
代入方程 得 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 轴．24．（2024·河北·二模）已知椭圆 的离心率 ．
(1)若椭圆 过点 ，求椭圆 的标准方程．
(2)若直线 ， 均过点 且互相垂直，直线 交椭圆 于 两点，直线 交椭圆
于 两点， 分别为弦 和 的中点，直线 与 轴交于点 ，设 .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） .
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，
因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）（ⅰ）当直线 中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线 与 轴重合，不符合题意.
故直线 的斜率均存在且不为0.
设直线 的方程为 ， ,
联立方程 ，消去 并整理得 ，
因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以 ，
根据韦达定理得， ，
则 ，
同理可得 ，
因为 三点共线，所以 ，
易知 ，
则 ，
因为 ，所以 .
（ⅱ）结合（ⅰ）可知 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以数列 的前 项和 .
25．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C： 的焦距为 ，离心率
，过点 作两条直线 ， ，直线 交椭圆于A，B两点，直线 交椭圆于M，N两点，A，B，
M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为 ， 且 ，判断是否存在非零常数 ，使得 ．若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）解：由题意得 ， ，
所以 ， ，
则 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）如图所示：由题意可知A，M是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，M关于坐标原点O对称，
设 ，则 ， ， ，且 ， ．
设直线 ： ， ，
联立方程可得 ，消去y，得 ，
则 ，所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
同理，设直线 ： ， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为直线AM与BN的斜率分别为 ， ，所以 ，
，所以 ，
所以存在非零常数 ，使得 ，且 ．
26．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系 中，椭圆 的左，右焦点分别为
． 也是抛物线 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且 ．
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，射线 与椭圆
交于点 ，点 为直线 上一动点，且 ，求证：点 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，解得 ．
由于点M在 上，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，
则 ，即 ，又 ，所以 ，
所以椭圆方程为 ．
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为 ，
与椭圆方程 联立，消去y得 ．
因为点 在椭圆内，所以 ，
设 ，则 ，
，
所以 ．
当 时， ，则直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立得 ．
设 ，则 ．
由 ，得
，所以点Q在定直线 上．
当 时，由条件可得 ， ，
则点 也在直线 上．
当k不存在时，由条件可得 ，可知点 也在直线 上．
综上，点Q在定直线 上．
27．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C： （ ），直线l： 交C于A，B两点．过原
点O作l的垂线，交直线 于点M．对任意 ，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
(1)求C的方程；
(2)若直线 ，且 与C相切于点N，证明： 的面积不小于 ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）
设点 ， ，由题可知，当 时，显然有 ；
当 时，直线OM的方程为 ，点 ．
联立直线AB与C的方程得 ， ，
所以 ， ，
因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，
所以 ．
即 ， ，
化简得 ．
将 代入上式得 ，
则 ，
所以曲线C的方程为 ．
（2）
（法一）设直线 ： ，联立C的方程，得 ．
由 ，得 ，点 ，
设AB的中点为E，因为 ， ，则点 ．
因为 ，
所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，
所以△AMN面积为△ABM面积的 ．
记△AMN的面积为S，点 到直线AB： 的距离 ，
所以 ，
当 时，等号成立．所以命题得证．
（法二）设直线 ： ，联立C的方程，得 ．
由 ，得 ，点 ．
所以直线MN与x轴垂直．
记△AMN的面积为S，
所以
．
当 时，等号成立．
所以命题得证．
28．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为 ，过点F的直线与C交于
点 ， ，C在点A，B处的切线交于点P．
(1)求 的值．
(2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ．
所以C的方程为 ．
由于直线AB的斜率必存在，故可设直线AB的方程为 ．
将其代入 中，得 ，
此时 恒成立，
所以 ．
（2）由 ，得 ，则 ，
所以抛物线C在点A处的切线方程为 ，即 ①
同理，得抛物线C在点B处的切线方程为 ．②
联立①②，得 ，
则 ，
所以点P的坐标为 ．
设 ，则直线MN的方程为 ．由 得， ，即 ．
所以 ．
由 得， ，即 ．
所以 ．
所以 ．
29．（2024·湖南常德·三模）已知O为坐标原点，椭圆C： 的上、下顶点为A、B，椭圆上
的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 ，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四
边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
【答案】(1)
(2)是定值，
【详解】（1）由题意可得 ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，化简得： ①，
又 在椭圆上， ②，
由①②得 ，
又 ，∴ ，
故椭圆C的标准方程 ；
（2）设直线 的平行线与椭圆相交于点 、 （ 在上方），
直线 的平行线与椭圆相交于点 、 （ 在上方），
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
又 ，∴ ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
设直线EF的倾斜角为 ，直线GH的倾斜角为 ， ，
∴ ，则 ，
，
∴四边形面积为：
，
故该四边形的面积为定值 .
30．（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆 和抛物线 ， 的焦点 是
的上顶点，过 的直线交 于 、 两点，连接 、 并延长之，分别交 于 、 两点，连接
，设 、 的面积分别为 、 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；(3)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）椭圆 的上顶点坐标为 ，
则抛物线 的焦点为 ，故 .
（2）若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个公共点，不符合题意，
所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，点 、 ，
联立 可得 ， 恒成立，则 ，
.
（3）设直线 、 的斜率分别为 、 ，其中 ， ，
联立 可得 ，解得 ，
点 在第三象限，则 ，
点 在第四象限，同理可得 ，
且，
当且仅当 时，等号成立.
的取值范围为 .
