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抢分专练 04 导数
一、单选题
1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在 上且无零点的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北·二模）某地计划对如图所示的半径为 的直角扇形区域 按以下方案进行扩建改造，在
扇形 内取一点 使得 ，以 为半径作扇形 ，且满足 ，其中
， ，则图中阴影部分的面积取最小值时 的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知 为函数 的导函数，当 时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
4．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，
则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于x的不等式 恒成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 是 的极值点
B． ，使得
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．函数 的图象是中心对称图形
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
均为奇函数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．C． D．
9．（2024·全国·模拟预测）函数 在区间 上可能（ ）
A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值
10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域均为 ，若
的图象关于直线 对称， ， ，且 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 对称
C． D．
三、填空题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，将
图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象，若 在区间 上
恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
12．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形 和 是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影
部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿 ， ， ， 折起，得到一个无盖长方体，则该
长方体体积的最大值为 ．13．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 恒成立，则 的最大值为 .
14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上有2个极值点，则实数 的取
值范围是 .
15．（2024·全国·模拟预测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记 的中点为E，且
，四棱锥 体积的最大值为 ，则球O的表面积为 ，此时
．
16．（2024·广西贺州·一模）已知直线 与曲线 的某条切线平行，则该切线方程为
17．（2024·河北·模拟预测）若 ，则 的大小关系为 （用“<”号
连接）．
18．（2024·辽宁鞍山·二模） 的极大值为 ．
四、解答题
19．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为 ，过点F的直线与C交于
点 ， ，C在点A，B处的切线交于点P．
(1)求 的值．
(2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：
．20．（2024·河北·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数 的图象上任意一点 关于直线 的对称点 都在函数 的图象上，且存在 ，使
成立，求实数 的取值范围．
21．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 是线段 上靠近点 的三等分点， ，求 的最大值．
22．（2024·北京东城·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的最小值；
(3)若 ，求实数 的值.
23．（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）
24．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.
25．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线平行于
直线 ．
(1)当 时，求b的值；
(2)当 时，若 在区间 各内有一个零点，求a的取值范围．
26．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一的极值点 ，证明： ．
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上的最小值为1，求a的值．
28．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
29．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： 在 上有唯一的极大值点；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)求证：函数 有两个零点．
30．（2024·湖南邵阳·模拟预测）对于定义在 上的函数 ，若存在距离为 的两条平行直线
和 ，使得对任意的 都有 ，则称函数 有一个宽度为 的通道， 与 分别叫做函数 的通道下界与通道上界．
(1)若 ，请写出满足题意的一组 通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
(2)若 ，证明： 存在宽度为2的通道；
(3)探究 是否存在宽度为 的通道？并说明理由．
