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抢分专练 04 导数
一、单选题
1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在 上且无零点的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 变形得 ，
从而有 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 ， ，
又 ，而 ，所以 ，
综上， .
故选：D.
2．（2024·河北·二模）某地计划对如图所示的半径为 的直角扇形区域 按以下方案进行扩建改造，在
扇形 内取一点 使得 ，以 为半径作扇形 ，且满足 ，其中
， ，则图中阴影部分的面积取最小值时 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知 ，
则图中阴影部分的面积
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 最小，即图中阴影部分的面积取最小值.
故选：A.
3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知 为函数 的导函数，当 时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
因为当 时，有 恒成立，所以当 时， ，
即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，A 错误，B正确，
，即 ，即 ，CD错误.
故选：B.
4．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，
则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
不等式 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以不等式 的解集是 .
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于x的不等式 恒成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】方法一： ，显然 在 上单调递增，
故存在唯一的 ，使得 ，即 ，
且当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
因此 的最小值为 ，
则 ，即 .
对 两边取对数得 ，则 ，
代入 得 .
设 ，则 ，
所以 在 单调递减且 ，
可知不等式 的解为 ，
因此 .
又 ，则 .
方法二： 即 ，即 ，
而 与 互为反函数，
根据互为反函数的函数图象关于直线 对称，问题转化为 即可，即 恒成立.
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
故 ，即得 .
方法三：
，
构造 ，则转化为 .
，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 有极小值 ，且 ，
则 转化为 ，
即 ，设 ，则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
故 ，即得 .
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】构造函数 ，则 ， ， ，
由 ，令 得 ，令 得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ；
令 ，且 ，则 ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，
因为 ，且 ，所以 ，所以 .
故选：B
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 是 的极值点
B． ，使得C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．函数 的图象是中心对称图形
【答案】BD
【详解】A：因为 ，所以 ，
当 时， ，则 在R上单调递增， 不是极值点，故A错误；
B：由选项A的分析知，函数 的值域为 ，所以 ，使得 ，故B正确；
C：由选项A的分析知，当 时， 在 上单调单调递增，在 上单调递减，
所以若 为 的极小值点时， 在 上先递增再递减，故C错误；
D： ，
而 ，
则 ，
所以点 为 的对称中心，即函数 的图象是中心对称图形，故D正确.
故选：BD．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
均为奇函数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
又因为 为奇函数，
所以 ，
当 时， ，
即 ，所以选项B正确．
又因为 ，
所以 ，
即函数 的周期为4，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以选项C正确．
由 为奇函数可知 ，
即 的图象关于点 成中心对称，
不妨取 ，
则 满足周期为4，关于 成中心对称的条件，
因为 ，可知选项A，D错误．
故选：BC．
9．（2024·全国·模拟预测）函数 在区间 上可能（ ）
A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值
【答案】AD
【详解】因为 ， ，
所以 ，且 ，由图象可知，函数 在 上不可能有零点，故选项B错误；
函数 取不到最低点，故 无最小值，故C错误；
当 ，即 时， 在 上单调递增，故选项A正确；
当 时，即 时， 在 上先递增后递减，有极大值，故D正确，
故选：AD．
10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域均为 ，若
的图象关于直线 对称， ， ，且 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 对称
C． D．
【答案】BC
【详解】由 的图象关于直线 对称，可得 的图象关于直线 对称，
即 的图象关于直线 对称，则
由 ，可得 ，又 ，
所以 ，所以 的图象关于点 对称，即 为奇函数，
所以 ，即 ，即函数 的周期为4，
由 ，可得 ，因为 的周期为4，所以 ，
则 ，即 ，
所以 的图象关于点 对称，故B正确；
因为 的图象关于直线 对称，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 的周期为4，所以 的周期也为4.由 ，
可得 ，所以 ，故C正确；
由 ，可得 ，所以 ，
即
，故D错误.
故选：BC
三、填空题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，将
图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象，若 在区间 上
恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】【详解】设 的最小正周期为T，则由图象知 ，
所以 ，则 ，
由 在 处取得最小值，可得 ， ，
得 ， ．因为 ，所以 ，
所以 ；
（或由题意可得 ， ，亦可得 ）
，
由 ，得 ，
所以由题意得 ，解得 ，
即实数m的取值范围是 ．
故答案为： .
12．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形 和 是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影
部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿 ， ， ， 折起，得到一个无盖长方体，则该
长方体体积的最大值为 ．【答案】
【详解】由题意设 ，因为 面积为 ，所以 ，
根据题意有： ，
所以 ，
则长方体的体积为 ，
，令 ，有 ，
所以 时， ，函数在 上单调递增，
时， ，函数在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
故答案为：
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 恒成立，则 的最大值为 .
【答案】7
【详解】当 为正偶数时，
当 时， ，不符合题意，所以 为正奇数，
则当 时， 恒成立，
只需研究 时， 恒成立即可，
当 时， 成立，
则当 时， 因为此时 小于0，所以恒成立，
当 时， 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，又因为 为正奇数，
所以 的最大值为7.
故答案为：7
14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上有2个极值点，则实数 的取
值范围是 .
【答案】
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数 在 上有2个极值点，即 在 上有两解，
即 在 上有两解，
令 且 ，可得 ，
当 时，可得 ， 单调递增，不符合题意，（舍去）；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，当 时， 取得极小值，极小值为 ，
要使得 在 上有两解，则满足 ，当 时，解得 ；
当 ，即 ，
设 ，其中 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，所以 ，
所以不等式 ，可得 ，
由 可得 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15．（2024·全国·模拟预测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记 的中点为E，且
，四棱锥 体积的最大值为 ，则球O的表面积为 ，此时
．
【答案】 1
【详解】因为 ，
则平面 过球O的球心O．
又 的中点为E，则点E是以 为直径的球截面的小圆圆心，连接 ，如图，则 ，四边形
为梯形．
令球O的半径为R，设 ，
则 ，四棱锥 的体积最大，当且仅当梯形 的面积最大，并且点D到平面 的距离最大，
显然球面上的点D到平面 的最大距离为R．
梯形 面积 ，
令 ，
，
求导得 ．
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此当 时， ，
此时 ，
于是四棱锥 体积的最大值为 ，解得 ，
所以球O的表面积为 ．
故答案为： .
16．（2024·广西贺州·一模）已知直线 与曲线 的某条切线平行，则该切线方程为
【答案】【详解】 ，设切点为 ，则 ，解得 ，所以切点为 ，
故切线方程为 ，即 .
故答案为： .
17．（2024·河北·模拟预测）若 ，则 的大小关系为 （用“<”号
连接）．
【答案】
【详解】令函数 ，求导得 ，
即函数 在 上单调递增， ，则 ，即 ，
令函数 ，求导得 ，
即函数 在 上单调递减， ，则 ，即 ，
所以 的大小关系为 .
故答案为：
18．（2024·辽宁鞍山·二模） 的极大值为 ．
【答案】
【详解】 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
故 有极大值 .
故答案为： .四、解答题
19．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为 ，过点F的直线与C交于
点 ， ，C在点A，B处的切线交于点P．
(1)求 的值．
(2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求证：
．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ．
所以C的方程为 ．
由于直线AB的斜率必存在，故可设直线AB的方程为 ．
将其代入 中，得 ，
此时 恒成立，
所以 ．
（2）由 ，得 ，则 ，
所以抛物线C在点A处的切线方程为 ，即 ①
同理，得抛物线C在点B处的切线方程为 ．②
联立①②，得 ，则 ，
所以点P的坐标为 ．
设 ，则直线MN的方程为 ．
由 得， ，即 ．
所以 ．
由 得， ，即 ．
所以 ．
所以 ．
20．（2024·河北·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数 的图象上任意一点 关于直线 的对称点 都在函数 的图象上，且存在 ，使
成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）由 ，得 ，
所以切线 的斜率 .
所以切线 的方程为 ，即 .
令 ，得 ，令 ，得 ，所以切线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
所以切线 与坐标轴围成的三角形的周长为 .
（2）设 ，则 ，
由题意知 在 的图象上，
所以 ，所以 .
由 ，
得 ，即 ，
因为存在 ，使 成立，所以存在 ，使 成立，
设 ，则 ，又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 单调递增，
所以当 时， ，
可得 ，即实数 的取值范围是
21．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 是线段 上靠近点 的三等分点， ，求 的最大值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1） ，由正弦定理得
，
又 ，
所以 ，
由 整理得 ，即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，即 ；
（2）由余弦定理 ，得 ①，
由 得 ，即 ，
解得 ．
下面用三种方法求 的取值范围．
思路1：用余弦定理切入．
因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，
将①代入得 ，
同理，由 ，得 ，
故 ．
思路2：用正弦定理切入．因为 为锐角三角形，所以
解得 ，
由正弦定理得 ．
思路3：用极限方法求解．
因为 为锐角三角形，
当 时， ；当 时， ；
故 ．
接下来换元构造函数求最值．
设 ，则 ．
设 ，则 ，
由 得 ，又 ，
所以 ，由 得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故 ．
所以 ．
方法二：思路1，齐次化不等式处理
由 得 ，
两边平方得 ，令 ，则 ，
则 ，当 即 时等号成立，
故 的最大值为 ．
思路2：正弦定理函数处理
由 ，得 ，
两边平方得 ．
又因为 ，则 ，
代入得 ．
又因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
当 即 时， 的最大值为 ，
所以 ．
方法三：设 的中点为 外接圆的圆心为O，则 ，
所以 ，
，所以 ，
，
所以 ，所以 ．所以 ，当且仅当A,O,D三点共线时等号成立，此时 为锐角三角形．
22．（2024·北京东城·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的最小值；
(3)若 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1） ，
则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
（3）函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，即 ，即 ，
由（2）得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又当 时， ，
因为 ，所以 ，
此时 不恒成立，故 不符题意；
当 时，若 ，则 ，
则 ，即 ，即 ，
由上可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ①，
若 ，则 ，即 ，即 ，
由上可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ②，
由①②可得 ，
综上所述， .
23．（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；(2)设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 .
函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，则 .
令 ，其中 ，
则 .
令 ，解得 ，令 ，解得 .
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
.
又 ，函数 在 上有两个零点，的取值范围是 .
24．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1） 定义域为 ，
当 时， ， ，
由于 ，
令 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ，故 ；
（2）当 时， ，
，
设 ，则 ，令 ，
，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，即 ，
即 ，故 ，所以 ，
则 在 恒成立，
当 时，同理可得 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值， ，
故 ，所以 的最大值为 ；
（3） ，令 ，
当 时， ，由于 恒成立，故无解，舍去；
当 时， ，
令 ， ，
，下面证明 , ，
令 ， ，则 ， ，其中 ，
令 ， ，则 ， ，其中 ，
令 ， ，则 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
故 ，故 在 上单调递增，
故 ，故 在 上单调递增，
故 ，即 , ，
则 ， ，
则 ，
，
由于 ，而 ，故 ，
则 ，故 在 上单调递增，
又 趋向于0时， 趋向于2，故 ，
故令 ，解得 ，此时 有解，故存在零点，
故 的取值范围是 .
25．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线平行于
直线 ．(1)当 时，求b的值；
(2)当 时，若 在区间 各内有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，
所以 ．
（2）令 ，
有 ，
在区间 内各有一个零点，
也即 在区间 内各有一个零点，
则 ，
（i）当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
易知当 时， 取得最小值1，
所以 ，
当 时， ，于是 在 上递增，
则 与 在 上有一个零点矛盾，舍去．
（ii）当 时，令 ，则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
即 ，使 ，且当 时， 单调递减；
当 时 单调递增，
所以 ，
，
当 时， ，
故 ，使 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，故 ，
因为当 时， ，当 时， ，
故 ，使 ，
综上， ．
所以 的取值范围为 ．
26．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 存在唯一的极值点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，此时 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递减；
当 时， 在 上有零点 ，
当 和 时， ，所以 在 和
上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增．
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单
调递增．
（2）由题意可知 ，
若 存在唯一的极值点 ，
由（1）可知 且 ．
因为 ，
要证 ，
只需证 ①．
因为 ，所以 ．
将 代入①整理可得，只需证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即原不等式成立．
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；(2)若函数 在区间 上的最小值为1，求a的值．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，
故 ， ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）方法一：因为 ，
所以 ，显然 单调递增，
因为 在区间 上有最小值，则 在 上存在零点，
即存在唯一的 ，使得 ，即 ．
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
因此 的最小值就是 ,
令 ，则易知 在 上单调递减，且 ，
所以由 的最小值为 ，求得 ，
代入 得 ，结合 ，解得 ，此时 ．
方法二：因为 在区间 上的最小值为1，
所以 ，即 ，解得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
将 代换成 ，得 ，
则当 时，有 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， ，
当且仅当 时取到等号，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
综上， .
28．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）由于 ，则切点坐标为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， 等价于 ，
令 ， ，
恒成立，则 恒成立， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ，不符合题意；
当 时，由 ，得 ，
时， ，函数 单调递减， ，不符合题意；
当 时， ，因为 ，所以 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增， ，符合题意．
综上所述， ．
29．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： 在 上有唯一的极大值点；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)求证：函数 有两个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)证明见解析.
【详解】（1）因为 ，设 ，
则 对 恒成立，
所以 在 上单调递减．
又 ，
由零点存在性定理可知 在 上有唯一的零点 ，
和 随x变化而变化的情祝如下．
x
0
递增 极大值 递减
所以 在 有唯一的极大值点．
（2）令 ，
由条件知 恒成立，所以 ．
因为 ，且 在定义域上连续，
所以 是 的一个极大值点，则 ．
又 ，
所以 ，解得 ．
当 时， ，
，当 时， ， ，故 在 上单调递增，
所以当 时， ；
设 ，则 ，令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，即 .
当 时， ，
又因为 ，
所以 ．
综上可知，当 时， 恒成立．
（3） ，则 ．
由（2）可知 在 上单调递增，
又因为 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
当 时， ，所以 ，
故 在 上单调递减，又 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
当 时，由上可知 ，
故 在 上没有零点．
综上可知，函数 有且只有两个零点．
30．（2024·湖南邵阳·模拟预测）对于定义在 上的函数 ，若存在距离为 的两条平行直线
和 ，使得对任意的 都有 ，则称函数 有一个宽度为 的通道， 与 分别叫做函数 的通道下界与通道上界．
(1)若 ，请写出满足题意的一组 通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
(2)若 ，证明： 存在宽度为2的通道；
(3)探究 是否存在宽度为 的通道？并说明理由．
【答案】(1) 与 ；
(2)证明见解析；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）函数 的定义域为R， 在R上单调递增，
而 ，则 ，即 ，因此 ，
取 ，得通道下界 的直线方程： ，通道上界 的直线方程： ，
显然直线 与 的距离为2，因此通道宽度不超过3，
所以通道下界与通道上界的直线方程分别为 与 .
（2）函数 的定义域为R，而 ，
即 ，则 ，
取 ，得通道下界 的直线方程： ，通道上界 的直线方程： ，
显然直线 与 的距离 ，
所以 存在宽度为2的通道.
（3）函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，则 ，显然当 时，恒有 ，即 ，
假设存在宽度为 的通道，设通道下界与通道上界的直线方程分别为 ， ，
则对任意 ， 恒成立，即 ，
令 ，
当 时，则 ，而 ，不符合题意；
当 时，对任意 ， ，函数 在 上单调递减，值域为 ，
因此不存在 ，使得对任意 ， 成立，即不存在宽度为 的通道；
当 时，对任意 ， ，函数 在 上单调递增，值域为 ，
因此不存在 ，使得对任意 ， 成立，即不存在宽度为 的通道，
综上， 不存在宽度为 的通道.
