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抢分模拟卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 的子集个数
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数 满足 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数
是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ， ，则向量
在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ，不等式
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系 中，点 ，向量 ，且.若点 的轨迹与双曲线 的渐近线相交于两点 和 （点 在 轴上方），双曲
线右焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知半径为 的球 的球心到正四面体 的四个面的距离都相等，
若正四面体 的棱与球 的球面有公共点，则正四面体 的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，若 ，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线 的方程为： 则（ ）
A．曲线 与 轴有4个公共点 B．曲线 关于原点 对称
C．曲线 上的点都在某个矩形内 D．曲线 上的点到原点 的距离均为
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 是方程 的两根，数列 满足， ， . 满足 ，其中 . 则（ ）
A．
B．
C．存在实数 ，使得对任意的正整数 ，都有
D．不存在实数 ，使得对任意的正整数 ，都有
第 II 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·黑龙江大庆·模拟预测） 的展开式中的常数项为 ．
13．（2024·湖南·一模）如果直线 和曲线 恰有一个交点，那么实数 的取
值范围是 ．
14．（2024·广东·模拟预测）已知 为 的外接圆圆心，且 ．设实数 满足
，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
16．（15分）（2024·全国·模拟预测）在四棱柱 中，平面 平面 ，
，底面 为菱形， ， 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；(2)若 ， ，求三棱锥 的表面积．
17．（15分）（2024·全国·模拟预测）为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料
的情况，得到了存储文件个数 与占用网盘空间 （单位：GB）的数据如下：
4
存储文件个数 20 30 50 60
0
占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5
(1)若 与 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件
个数分别为 ，根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月
中至少有一个月占用网盘空间超过 的概率．
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
．
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）已知直线 与抛物线 交于 两点，
且 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若点 ，求 外接圆的方程．
19．（17分）（2024·北京顺义·二模）已知点集 满足 ， ，.对于任意点集 ，若其非空子集A，B满足 ， ，则称集
合对 为 的一个优划分.对任意点集 及其优划分 ，记A中所有点的横坐标之和为
，B中所有点的纵坐标之和为 .
(1)写出 的一个优划分 ，使其满足 ；
(2)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 ；
(3)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 且 .
