文档内容
抢分模拟卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 的子集个数
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】解法一：集合 表示直线 上的所有点，
集合 表示圆 上的所有点，
因为圆心 到直线 的距离为 ，等于圆的半径，
所以直线与圆相切，只有一个公共点,根据一元集的子集个数为2．
故选：B.
解法二：可以将直线方程 代入圆的方程 得：
，整理得 ，解得 ，
所以它们联立方程组的解为 ，故 只有1个元素 ，
根据一元集的子集个数为2．
故选：B.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数 满足 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ， ，且 ，由已知得 ， ，得 ，
又 ，
故 ， ，
同时平方得 ， ，
相加并化简得 ，
而 ，
.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数
是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，4，
从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有：
，共10个，
其中恰好有1个数是质数的基本事件有 ， ，共6个，所以所求概率为
.
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ， ，则向量
在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A【详解】由 得 ．由 得 ，所以 ， ，
所以 ， ，
故向量 在 方向上的投影为 .
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ，不等式
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，又 ，
数列 是首项为1、公差为1的等差数列，
， ，
①，
②，
① ②得， ，
， 不等式 ，
即 ，
故 对任意的 恒成立．又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
，
故选：A．
6．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系 中，点 ，向量 ，且
.若点 的轨迹与双曲线 的渐近线相交于两点 和 （点 在 轴上方），双曲线右
焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于向量 ，点 ，所以 ，
因为 ，所以点 ，则点 的轨迹为 ，
与双曲线 其中一条渐近线 ，联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
因此 .
故选：D7．（2024高三·全国·专题练习）已知半径为 的球 的球心到正四面体 的四个面的距离都相等，
若正四面体 的棱与球 的球面有公共点，则正四面体 的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设正四面体 的棱长为 ，则其高为 ．
当正四面体 内接于球 时， 最小，此时 ，得 ．
当球 与正四面体 的每条棱都相切时， 最大，
因为球 的球心到正四面体 的四个面的距离都相等，
所以当球 与正四面体 的每条棱都相切时，
借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，
且球心 到正四面体的顶点的距离为 ，
利用勾股定理可得 ，得 ．
故正四面体 的棱长的取值范围为 ．
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 ，可得 ，
因为函数 在 上存在单调递减区间，
可得 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ，则 ，且 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，所以 .
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，若 ，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】令 或 ， ,故 或 ， ，
故 ,
取 和 可得 或 ，
故 的值可以为 或 ，
故选：BD
10．（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线 的方程为： 则（ ）
A．曲线 与 轴有4个公共点 B．曲线 关于原点 对称
C．曲线 上的点都在某个矩形内 D．曲线 上的点到原点 的距离均为
【答案】BC
【详解】对于A：由 ，令 ，可得 ，解得 或 ，
所以曲线 与 轴只有 和 共 个公共点，故A错误；
对于B：因为 ，所以点 和点 均在曲线 上，
所以曲线 关于原点 对称，故B正确；
对于C：因为 ，所以 且 ，
即曲线 上的点都在直线 、 、 、 所围成的矩形（包含边上的点）内，
所以曲线 上的点都在某个矩形内，故C正确；
因为 ，且 ，所以 ， ，
所以 ，所以曲线 上的点到原点 的距离 ，故D错误.
故选：BC
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 是方程 的两根，数列 满足， ， . 满足 ，其中 . 则（ ）
A．
B．
C．存在实数 ，使得对任意的正整数 ，都有
D．不存在实数 ，使得对任意的正整数 ，都有
【答案】ABC
【详解】由于 是方程 的两根，故 ， .
并可解出 ， .
用数学归纳法证明：对任意的正整数 ，有 .
当 时，由 知 ，故 ，结论成立；
当 时，有 ，结论成立；
假设当 ，以及 时结论都成立，这里 ，则 ， .
此时有
，
故结论对 也成立.综上，对任意的正整数 ，有 .
由于 是偶数，且由 知 是偶数，
且 ，可知每个 都是偶数.
所以
，
故 .
而 ，故 .
又因为 ，
故 ，从而 .
所以 .
构建 ，则 在 内恒成立，
则 ，可得 成立.
由于 ，知 ， .
故 ，即 .
对于A，有 ，故A正确；对于B，有 ，故B正确；
对于C，由于 ，故存在实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ，故C正确；
对于D，由于 ，故存在实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ，故D错误.
故选：ABC.
第 II 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·黑龙江大庆·模拟预测） 的展开式中的常数项为 ．
【答案】
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，令 ，求得 ，
由于 ，
故其展开式中的常数项为
故答案为： .
13．（2024·湖南·一模）如果直线 和曲线 恰有一个交点，那么实数 的取
值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，当 时， 为双曲线的上半部分；
当 时， 为椭圆的下半部分.
又 即 ，故作出 的图象：考虑临界条件，当 与椭圆下半部分相切时，有 ，
整理得 ，则 ，
由图象 解得 .
当 与双曲线 的渐近线平行时也为临界条件.
故实数 的取值范围为 .
故答案为：
14．（2024·广东·模拟预测）已知 为 的外接圆圆心，且 ．设实数 满足
，则 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：由题可得，以 的中点 为原点， 方向为 轴， 的中垂线为 轴，
建立如图所示平面直角坐标系：因为 ，所以 ，记圆心 ，半径为 ，
所以圆 的方程为 ， ，
不妨设 ，所以 ,
, ,
因为 所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以可得 ，
将 代入上式可得 ， ①，
因为 ， ②，
将①的平方和②的平方相加可得： ，
所以 ，
所以 ，
将 带入可得， ，即 ，
即 ，所以 ，所以 的取值范围为 。
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可得： 的定义域为 ， ，
当 时，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增；
综上所述：当 时， 在 内单调递减；
当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增.
（2）构建 ，
则 ，
由 可知 ，
构建 ，因为 在 内单调递增，则 在 内单调递增，
且 ，
可知 在 内存在唯一零点 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，
即 ，所以 .
16．（2024·全国·模拟预测）在四棱柱 中，平面 平面 ， ，底面
为菱形， ， 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；(2)若 ， ，求三棱锥 的表面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）如图，连接 ，设 ，连接 ，
几何体 为四棱柱，
四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
是 的中点， ， ，
分别为 的中点，
， ， ， ，
，
四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）设 是 的中点，连接 ，过 作 ， 交 的延长线于点 ，连接 ，易知
，
四边形 为平行四边形， ， ，， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 ， ， ．
又 ，
， ，
．
易知 ， ， 是边长为1的正三角形，即 ．
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，三棱锥 的表面积为 ．
17．（2024·全国·模拟预测）为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的情况，
得到了存储文件个数 与占用网盘空间 （单位：GB）的数据如下：
4
存储文件个数 20 30 50 60
0
占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5
(1)若 与 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件个数
分别为 ，根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月中至少有
一个月占用网盘空间超过 的概率．
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件可得 ，
，
，
，
，，
．
线性回归方程为 ．
（2）令 ，得 ．
这6个月中占用网盘空间超过 的有2个月，分别记为 ，
其余4个月分别记为 ．
从这6个月中随机选取2个月，所有不同情况有 ， ，共
15种，
记事件 为“这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过 ，
则事件 包含的情况有 ，共9种，
故所求概率 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若点 ，求 外接圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，
将 与 联立，化简得 ，所以 ， ， ，
所以 ，
得 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）
设 外接圆的一般方程为 ，
由 ，得 ①，
由 ，得 ②，
因为 两点既在抛物线上又在圆上，
所以①、②两个方程的解均为 和 ，
故 ，得 ， ，
将 代入 ，化简得 ，
解得 ，满足 ，
所以 外接圆的方程为 ．19．（2024·北京顺义·二模）已知点集 满足 ， ，
.对于任意点集 ，若其非空子集A，B满足 ， ，则称集合对
为 的一个优划分.对任意点集 及其优划分 ，记A中所有点的横坐标之和为 ，B中
所有点的纵坐标之和为 .
(1)写出 的一个优划分 ，使其满足 ；
(2)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 ；
(3)对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 且 .
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【详解】（1）由题因为 ，
所以若使 ，则可以 ，
此时 ，满足题意.
（2）根据题意对于任意点集 ，不妨设 ，
且 ， ， ，
若 ，则 ，令 ，
则 ，此时恒有 ；
若 ，则 ，可令 ，此时 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，令 ，
此时 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，则
令 ，
此时 ，则 ，满足题意；
所以对于任意点集 ，都存在 的一个优划分 ，满足 .
（3）不妨设 ，
若 ，则B取其中一点即可满足；
若 ，
则必存在正整数k使得 ，
则有 ，于是 ，
又因为
，当且仅当 时取等号；
于是取 ，即可满足 且 ，命题得证.
