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抢分模拟卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A．（0，ln3） B．（－1，ln3） C．（0，1] D．[－3，ln3）
2．已知 ，且 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3． 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AB是圆 的直径， 是圆 上一点， ，点 是线段BC上的动点，且 的面
积记为 ，圆 的面积记为 ，当 取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
5．在 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A．16 B．19 C．21 D．24
6．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳
S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在 位置时，测出
；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了 位置，测出 ， ．若
地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 （ ）的左、右焦点为 、 ，圆 与 的一个交点为，直线 与 的另一个交点为 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为
解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图 的分形规律生长成一个图
的树形图，则在图 中第2023行的黑心圈的个数是（ ）
①
② ②
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z 满足 （i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的虚部为
C．
D．若复数ω满足 ，则 的最大值为
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为 ，变量 增加1个单位时， 平均增加2个单位
B．已知随机变量 ，若 ，则
C．两组样本数据 和 .若已知 且 ，则
D．已知一系列样本点 的经验回归方程为 ，若样本点 与 的残
差相等，则
11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如
图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体 ，且
， ， ， ， 为其表面上的一个动点，球 为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中 为球 上的一个动点，以下说法正确的是
（ ）
A． 最大值为 .
B．若 在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为
C．
D．若 满足 ，则 的轨迹长度为 注： 表示椭圆
的周长大小
第 II 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2024年春耕期间，某农业局将含甲､乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每
人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲､乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有
种.（用数字作答）
13．已知数列 满足 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则 ．
14．在区间 的两端存在两只兔子，在区间的内部标出了一些点，兔子可以经过标点沿区间跳动，并
且其跳动之前与其跳动之后的位置关于所经过的标点相对称，而且只允许进行不越出区间 的跳
动，每只兔子都不依赖于另一只兔子或进行跳动或停止行动.若使两只兔子就一定可以位于标点所分
出的同
一个小区间，最少能跳 次.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）若 为 △边上的高线，求 的最大值；
（2）已知 为 上的中线， 的平分线 交 于点 ，且 ，求
的面积．
△16．（15分）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园
游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评
分在 的游客人数为18．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）从抽取的50名游客中满意度评分在 及 的游客中用分层抽样的方法抽取5人，
再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在 的概率．
17．（15分）如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何
体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆 的直径， ，
椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为 ，图一中，点 是椭圆上的动点，点
在底面上的投影为点 ，图二中，椭圆上的点 在底面上的投影分别为 ，且 均在
直径AB的同一侧.
（1）当 时，求 的长度；
（2）（i）当 时，若图二中，点 将半圆均分成7等份，求
；
（ii）证明: .
18．（17分）已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，讨论 的极值；
（2）若 是 的两个不同的零点，求证： ．
19．（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为
.
（1）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（2）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
（3）记 ，求证： .
