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抢分模拟卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A．（0，ln3） B．（－1，ln3） C．（0，1] D．[－3，ln3）
【答案】C
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故选：C．
2．已知 ，且 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若 ，符合 ，但此时 ，不满足充分性，
若 ，符合 ，但是 ，不满足必要性.
故选：D
3． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
故选：A．
4．如图，已知AB是圆 的直径， 是圆 上一点， ，点 是线段BC上的动点，且 的面
积记为 ，圆 的面积记为 ，当 取得最大值时， （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知： ，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
可知直线 对应的一次函数解析式为 ，可设 ，
可得 ，
则 ，且 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
且 ，可知当 时，即点 与点 重合时， 取到最大值，
此时 ，且 ，所以 .
故选：A.
5．在 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A．16 B．19 C．21 D．24
【答案】B
【详解】因为 展开式的通项为 ，
所以 的展开式中含 项为 ，
所以展开式中含 项的系数是 .故选：B
6．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳
S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在 位置时，测出 ；行
星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了 位置，测出 ， ．若地球的
轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据： ）（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接 ，在 中， ，又 ，则 是正三角形， ，
由 ， ，得 ， ，
在 中， ，由正弦定理得 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 .
故选：A
7．已知椭圆 （ ）的左、右焦点为 、 ，圆 与 的一个交点为
，直线 与 的另一个交点为 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，圆 过椭圆的两个焦点，
因为 为圆与椭圆的交点，所以 ，
因为 ，
设 ，可得 ， ，所以 ，所以 ，
在 中， ，
即 ，解得 或 ，
解得 或 （舍去），
此时点 为椭圆短轴的顶点，
又 ，解得 （负值舍去），
且 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ．故选：B．
8．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为
解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的
树形图，则在图②中第2023行的黑心圈的个数是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】设题图②中第 行白心圈的个数为 ，黑心圈的个数为 ，
依题意可得 ，且有 ，
故有 ，
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
为常数数列，且 ，
所以 是以 为首项，1为公比的等比数列，
故 故 所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z 满足 （i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的虚部为
C．
D．若复数ω满足 ，则 的最大值为
【答案】AC
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ，A正确；
对于B，由上可知，z 的虚部为 ，故B错误，
对于C，因为 ，所以 ，故C正确；
对于D，记复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 ，
则由 可得 ，即点 在以B为圆心，1为半径的圆上，所以， 的最大值为 ，即 的最大值为 ，D错误.
故选：AC
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为 ，变量 增加1个单位时， 平均增加2个单位
B．已知随机变量 ，若 ，则
C．两组样本数据 和 .若已知 且 ，则
D．已知一系列样本点 的经验回归方程为 ，若样本点 与 的残
差相等，则
【答案】BC
【详解】若有一个经验回归方程 ，随着 的增大， 会减小，A错误；
曲线关于 对称，因为 ，所以 ，
所以 ，B正确；
因为 ，
所以 ，
故 ，C正确；
经验回归方程为 ，且样本点 与 的残差相等，
则 ，所以 ，D错误.
故选：BC.
11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如
图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体 ，且
， ， ， ， 为其表面上的一个动点，球 为能够
使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中 为球 上的一个动点，以下说法正确的是（ ）A． 最大值为 .
B．若 在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为
C．
D．若 满足 ，则 的轨迹长度为 注： 表示椭圆 的
周长大小
【答案】BD
【详解】
根据题目条件可知，球 为该几何体的外接球，其半径 .
对于A，由于当 位于长方体的某个顶点，而 位于其对径点处时，
有 ，故A错误；
对于B，由于公共正方体的外接球和几何体的交线是公共正方体的 个面各自的外接圆，
这些圆的半径都是 ，所以其轨迹长度为 ，故B正确；对于C，设 到平面 的距离为 ，由于点 都在球 上，所以 ，
从而 到平面 的距离的取值范围是 ，再记 的面积为 ，
则 的取值范围是 ，从而不等式 并不一定成立，故C错误；
对于D，由 ，可知此时 的轨迹分为以下几个部分：
①两个同时包含 两点（且位于一条边上）的面 和 上都各有两段轨迹，
两个同时包含 两点（位于一组对边上）的面 和 上都各有一段轨迹，
这些轨迹都是椭圆的一部分，且可以拼成一个完整的椭圆，其半长轴为 ，半焦距为 （从而半短轴为
）；
②四个恰包含 两点中的一点的面 上都各有一段轨迹，
每段轨迹都是一个圆的 ，对应圆的半径 满足 ，
解得 ，从而圆弧部分的总长度为 ，
所以 的轨迹长度为 ，故D正确.
故选：BD.
第 II 卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2024年春耕期间，某农业局将含甲､乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每
人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲､乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有
种.（用数字作答）
【答案】390
【详解】①6人分成 的形式，则共有 种分组方式，
若甲､乙同组，则还需选择两人成组，共有 种选法，故共有 种分组方式；
②6人分成 的形式，则共有 种分组方式，
其中甲､乙同组，剩下四人还可以分为 的形式，共有 种分法，
或者分为 的形式，共有 种分法，故共有 种分组方式；
③6人分成 的形式，共有 种分组方式，
其中甲､乙同组，剩下四人还可以分为 的形式，
所以共有 种分组方式，故共有 种分组方式.
综上，共有 种分组方式，所以共有 种分配方法.故答案为：390.
13．已知数列 满足 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则 ．
【答案】3
【详解】 ， ， ，
故数列 的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数
列，
则 ， ，
故 ，故 ．
故答案为： .
14．在区间 的两端存在两只兔子，在区间的内部标出了一些点，兔子可以经过标点沿区间跳动，并
且其跳动之前与其跳动之后的位置关于所经过的标点相对称，而且只允许进行不越出区间 的跳动，
每只兔子都不依赖于另一只兔子或进行跳动或停止行动.若使两只兔子就一定可以位于标点所分出的同一
个小区间，最少能跳 次.
【答案】2
【详解】把区间 中由标出点所分成的小区间称为小段.
如图：
易看出，如果所标出的点为 ， ， ，则两只兔子不可能一步就跳到同一个小段中.
下面证明，不论有多少个标出点，也不论它们如何分布，两只兔子都各至多需要两步就能跳到同一个小段
中，确切地说，要证明它们各至多需要两步就能都跳到最长的小段中.利用对称性，只需对开始时位于区
间 左端点处的兔子A证明这一结论.
设最长小段的长度为 ，它的左端点为 （如果长度为 的小段多于一个，则考察它们中的任意一个）.
如果 ，如图：
则兔子A只需越过分点 ，直接到达小段 之中，一步即可（如果 ，则兔子A本来就在小段
之中，无需跳动）.
如果 ，如图：在长度为 的区间 中至少包含一个标出点 ，因若不然，包含这个区间的小段的长度就大于
，导致矛盾.兔子A越过标出点 ，落到点 ；如果点 不在小段 中，则兔子
A再跳一次，越过标出点 ，落入小段 中，一共不多于两步.
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)若 为△ 边上的高线，求 的最大值；
(2)已知 为 上的中线， 的平分线 交 于点 ，且 ，求 的面
积．
△
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：由余弦定理得
，
所以 （当且仅当 时取等号）．
又因为 ，
所以 ．
故 的最大值为 .
方法二：由 知，点A在 的优弧 上运动（如图所示）．
显然，当点A在 的中垂线上时，即点 位于点 处时，边 上的高最大．
此时 为等腰三角形，
又 △ ，故 为正三角形，
根据 得△ ．故 的最大值为 .（2）方法一：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
由正弦定理得 ，
结合（1）可得 ，所以 ，
所以 ．
因为 平分 ，所以 ，
所以 ．
又因为 是 边上的中线，所以 ，
所以 ．
方法二：同方法一可得 ．
又因为 ，所以 是以角 为直角的直角三角形．
由于 平分 △ 是 边的中线，且
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
方法三：由 得 ，
则 ．
又因为 ，所以 ．
由 是角平分线知 ，
在 中易得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
16．第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在 的
游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)从抽取的50名游客中满意度评分在 及 的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取
的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在 的概率．
【答案】(1) ，
(2) ．
【详解】（1）由题知， ，
，解得 ．
（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在 的人数为 ，
满意度评分在 的人数为 ，
抽取的5人中，满意度评分在 的人数为2，设为 ，满意度评分在 的人数为3，设为
，
从5人中随机抽取2人的不同取法为 ，
，共有10种不同取法，
设“2人中恰有1人的满意度评分在 ”为事件 ，
则事件 包含的取法为 ， ，共有6种不同取法．
．
17．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之
为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆 的直径， ，椭圆所在平
面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为 ，图一中，点 是椭圆上的动点，点 在底面上的投影
为点 ，图二中，椭圆上的点 在底面上的投影分别为 ，且 均在直径AB的同一侧.(1)当 时，求 的长度；
(2)（i）当 时，若图二中，点 将半圆均分成7等份，求 ；
（ii）证明: .
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【详解】（1）
如图，取CD中点 ，过 作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点 ，交BC延长线于点 ，
与 交于点 ，
因 则 ， ，过 作GH的垂线，交圆 于J、K
两
点.
过 作 交JK于点 ，又由 圆M，因 圆M,则 ,又因 ,故 平面
,
因 平面 ,故 ，所以 为椭圆面与圆 所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成
角，
所以 .则 为等腰直角三角形， .
设 ，如图作圆 所在平面的俯视图，则 ，
由 ，所以 ，则有 ，所以 ，所以 ，当 时， ;
（2）（i） 时， ，
所以 ， …
所以
（ⅱ）
证明：由（1）知 ，也即 是关于 的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数 的图象，
如图，将 绘制于函数 图象上，
并以 ，（ ）为边作矩形，则矩形的面积即为 ，
所以 即为这些矩形的面积之和.
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
因此该斜截圆柱的侧面积为 ，
所以函数 与坐标轴围成的面积为 ，
又因为无论点 是否均匀分布在半圆弧AB上，
这些矩形的面积之和都小于函数 与坐标轴围成的面积.
所以 ，得证.
18．已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，讨论 的极值；
(2)若 是 的两个不同的零点，求证： ．【答案】(1) 有极大值 ，无极小值．
(2)证明见解析
【详解】（1）由 求导得： ，
当 时， ，
根据导数的几何意义求知曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为该切线与直线 垂直，由斜率之积为 得： ，
解得 ，所以 ，
因为 的定义域为 ，所以由 可解得 （舍去）或 ，
即当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
即 有极大值 ，无极小值．
（2）因为 是 的两个不同的零点，
所以 ， ，
两式相减可得 ，故 ，
，
不妨设 ，则 ， 根据上式可知，
要证 ，只需证明 ，即证 ．
设 ，
则 ，
在 上单调递减， ，
故 ．19．约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，我们
就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为 .
(1)当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
(2)当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
(3)记 ，求证： .
【答案】(1)8
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当 时,正整数 的4个正约数构成等比数列，
比如 为8的所有正约数，即 .
（2）由题意可知 ， ，
因为 ，题意可知 ，所以 ，
化简可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因此可知 是完全平方数.
由于 是整数 的最小非1因子， 是 的因子，且 ，所以 ，
所以 为 ，
所以 .
（3）由题意知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，即 .
